简谐振动的运动学方程

x0
注意v0 ：上式不能完全确定 ，有两个可能的 值，还需根据
和 的正、负判断哪x 个 t 值正确。
二、简谐振动的 图线和相轨迹
[例题] 质点作简谐振动的曲线 x t 如图所示，试根据图推
动学简谐振动的运动学
一、简谐振动的运动学方程
d2x dt2
2 0
x
0
x x
x
Asin0t B cos0t Acos(0t )
Aei0t Bei0t
我们一般用 x Acos(0t ) 来作讨论。
A 和 是待定常数，需要根据初始条件来决定，它就是简 谐振动的运动方程。
下面简要分析简谐振动的三个特征量：周期（频率）、振 振幅和初相，这三个量完全确定一个简谐振动。
0
三、扭摆的摆动
M z c
I z
Mz
Iz
d 2
dt 2
令
c Iz
02
c
d 2
dt 2
02
0
具体运动形式不同，但有完全相同的数学方程式。
任何物理量x（如长度、角度、电流等）的变化规律满足方程
d 2x dt 2
02 x
0
，且常量 0 决定于系统本身的性质，
则该物理量作简谐振动。
§2 简谐振动的运动学简谐振动的运
● 周期
Acos0(t T ) Acos(0t )
0T
2
T
2 0
Ts 2
m, k
Tp 2
l, g
Tt 2
I. c
或f 1 0 (Hz) T 2
● 振幅
物体离开平衡位置最大位移的绝对值。它的大小决定于振 动的初始状态。
x
Acos(0t
),v
dx dt
0
Asin(0t
)
将初始条件 t 0, x x0, v v0 代入得
尽管在物理学的各个分支学科里振动和波的具体内容不同，在 形式上它们却具有极大的相似性。所以本章及下一章的意义绝
不局限于力般地，只要某一物理量在某 一量值附近随时间作周期性变化，都可称为振动。振动虽然多
种多样，但遵从的基本规律是相同的。在振动中，最简单、最
三、本章的思考题及练习题
1. 思考题：教材327--328页； 2. 练习题：9.2.5 9.2.8 9.2.10 9.3.3 9.6.1
§1 简谐振动的动力学特征
一个物体经过其平衡位置来回往复地运动，称为机械振动。
例如钟摆的振动，弦管乐器中琴弦或空气柱的振动，列车通过 时桥梁的振动、固体内晶格离子的振动等，最简单、最基本的 振动是简谐振动（simple harmonic motion）。
混沌是在决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动。
二、本章的基本要求
1、掌握简谐振动的特征和规律，并能依据谐振动的动力学特征 判断振动是否为简谐振动；
2、掌握描述简谐振动的三种方法：解析法、位移——时间图线 法及旋转矢量法；
3、学会分析同频率、同方向和相互垂直的两简谐振动的合成； 4、了解阻尼振动、受迫振动的特点和共振发生的条件； 5、了解带星号的基本内容。
质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫简谐振动。
讨论的步骤为：
（1）先确定振动系统的平衡位置，并以平衡位置为坐标原点， 建立坐标系；（2）让振动系统偏离平衡位置，然后分析系统 的受力情况，求出系统所受的合外力；（3）根据牛顿运动定 律，导出简谐振动的运动微分方程。
一、弹簧振子的振动
一端固定、质量可忽略、劲度系数为 K 的弹簧，在另一端 固结一个质量为 m 的物体，就构成一个弹簧振子。把它平放在 光滑水平面上。
基本的振动是简谐振动，可以证明，任何复杂的振动都可以看 作是不同频率的简谐振动的合成。因此，掌握简谐振动的特征
和规律非常重要，振动是波动的基础，一切波动都是某种振动 的传播过程。本章的基本内容可分为三部分：第一，简谐振动； 第二，振动的合成与分解；第三，阻尼振动和受迫振动。主要 是利用质点和刚体运动规律来研究振动这种特殊的而又具有普 遍意义的运动形式。
x0 v0
Acos
0
A
s
in
A
x02
v02
02
● 初相
在 A 和 0 已知的前提下，还有一个量是十分重要的，那
就是 0t ，这个量叫相位。“相”即相貌的意思，在英
文中是“phase”，意思是运动状态，也就是它的位置和速度。
是t 0 时的相位，叫初相位，简称初相。 arctg( v0 ) 0 x0
第九章 振 动
（Chapter 9 Oscillations）
前言 简谐振动的动力学特征 简谐振动的运动学 简谐振动的能量转换 简谐振动的合成 振动的分解(选学) 阻尼阻动 受迫振动 “不守规矩”的摆 • 混沌行为（自学） 参数振动 • 自激振动（自学）
前言
一、本章的基本内容及研究方法
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学分成力 （包括声）、热、电、光等子学科。然而，某些形式的运动是 横跨所有这些学科的，其中最典型的要算振动和波了。在力学 中有机械振动和机械波，在电学中有电磁振荡和电磁波，声是 一种机械波，光则是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不 开振动和波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重要性了。
近30年来（1975年学术界才创造了“混沌”〈chaos〉一 词），人们不仅在自然界和实验室中观察到了许多混沌现象， 而且认识到混沌产生的条件、所经历的途径及其特征，在理论 上发现了一些产生混沌现象的普遍规律。目前对混沌现象的研 究已经成为一个跨学科的十分活跃的新方向，有人认为混沌理 论是继相对论、量子论之后，20世纪物理学的第三个重大的革 命。
动力学特征：
（1）在怎样的力（或力矩）的作用下物体作简谐振动；
（2）根据力（或力矩）和运动的关系，求出简谐振动的动力 学方程。
质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零， 则此位置称为平衡位置。
若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位
移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称线性回 复力。
O
x
kx
m
d2x dt 2
d2x dt 2
02 x
0
式中0
k m ，是由系统自身性质决定的常量。二阶线性微分
方程即为简谐运动的动力学方程。
二、单摆的摆动
sin 3 5 (当 很小时)
3! 5!
f
mg
ma
m
d
2 (l
dt 2
)
d 2
dt 2
g l
令
g l
02
d 2
dt 2
02