数值分析应用实例

非线性方程求根

问题：在相距100m的两座建筑物（高度相等的点）之间悬挂一根电缆，仅允许电缆在中间最多下垂1m，试计算所需电缆的长度。

设空中电缆的曲线（悬链线）方程为

]

,

[

,

)

(

50

50

2

-

∈

+

=

-

x

e

e

a

y

a

x

a

x

（1）

由题设知曲线的最低点))

(

,

(0

0y与最高点))

(

,

(50

50y之间的高度差为1m，所以有

1

2

50

50

+

=

+-

a

e

e

a a

a)

(

（2）

由上述方程解出a后，电缆长度可用下式计算：

)

(

)

(a

a

a

x

a

x

L

e

e

a

dx

e

e

dx

x

y

ds

L

50

50

50

50

50

2

1-

-

-

-

=

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

=

'

+

=

=⎰

⎰

⎰（3）

相关Matlab命令：

1、描绘函数]

,

[

,

)

(

)

(1500

500

1

2

50

50

∈

-

-

+

=

-

a

a

e

e

a

a

y

a

a

的图形；

2、用fzero 命令求方程在1250=a 附近的根的近似值x ，并计算)(x y 的函数值；

3、编写二分法程序，用二分法求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出对分次数；

4、编写Newton 迭代法程序，并求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出迭代次数。

5、编写Newton 割线法程序，并求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出迭代次数。

线性方程组求解应用实例

问题：投入产出分析

国民经济各个部门之间存在相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品（称为投入）经过加工变为自己的产品（称为产出），如何根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会需求，是投入产出分析中研究的课题。考虑下面的例子：

设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表1所示（数字表示产值）。

表1 国民经济三个部门间的关系单位：亿元

假定总投入等于总产出，并且每个部门的产出与它的投入成正比，由上表可以确定三个部门的投入产出表：如表2所示。

表2 三个部门的投入产出表

上表中的数字称为投入系数或消耗系数，在技术水平没有明显提高的情况下，可以假定投入系数是常数。

（1）如果今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，问这3个部门的总产出分别应为多少？

（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问它们的总产出应分别增加多少？

（3）投入产出分析称为可行的，是指对于任意给定的、非负的外部需求，都能得到非负的总产出。为了可行，投入系数应满足什么条件？

模型：设有n 个部门，记一定时期内第i 个部门的总产出为i x ，其中对第j 个部门的投入为ij x ，外部需求为i d ，则

n i d x x i n

j ij i ,,,,Λ211=+=∑=

记投入系数为ij a ，且n j i x a x j ij ij ,,,,,Λ21==，即ij a 是第j 个部门的单位产出所需要的第i 个部门的投入。因此我们有：

n i d x a x i n

j j ij i ,,,,Λ211=+=∑=

用矩阵乘法描述，即

d x A I d Ax x =-⇔+=)(

其中n n ij T n T n a A d d d d x x x x ⨯===)(,),,,(,),,,(ΛΛ2121。对于给定的投入系数ij a 及各部门的外部需求d ，求出上述方程组的解，就可以得到各部门的总产出。