摩擦力中的自锁模型

力学中的自锁现象及应用
力学中有一类现象称为“自锁现象”，利用自锁现象的力学原理开发出了各种各样的机械工具，广泛应用于工农业生产中，在日常生活中利用这一原理的现象也随处可见。

1摩擦力基础知识
摩擦是在物体相互接触且有作用力时产生的，摩擦力大小与主动力有关。

在一般条件下，摩擦满足古典摩擦定律：1.当法向载荷较大时,摩擦力与法向压力呈非线性关系,法向载荷愈大,摩擦力增加得愈快；2.有一定屈服点的材料(如金属),其摩擦阻力才与接触面积无关.粘弹性材料的摩擦力与接触面积有关；3.精确测量,摩擦力与速度有关,金属与金属的摩擦力随速度的变化不大；4.粘弹性材料的静摩擦因数不大于动摩擦因数。

其中静摩擦力与垂直力的比例系数为μ，静摩擦力)N (,max μμ=≤F N F ]3[。

2自锁现象的定义
一个物体受静摩擦力作用而静止，当用外力试图使这个物体运动时，外力越大，物体被挤压的越紧，越不容易运动，即最大静摩擦力的保护能力越强，这种现象叫自锁（定）现象]5[。

最简单的自锁情况就是斜面自锁]4[。

先看一个简单的例子，如图(2-2-1).
有一三角斜坡，底脚为G 。

重力G 沿斜面方向的分力为F 2,垂直于斜面方向的分力为F 1。

斜坡和方木块的摩擦系数μ满足
θθμsin cos > （2.1）
可推得
图（2-2-1）斜面自锁示意图
21F sin G cos G F =>==θθμμ最大静摩擦力F （2.2） 可以看出不论木块质量如何，木块都将保持静止。

甚至加一和重力相同方向的力在木块上，不论力的大小，木块仍保持静止。

3自锁现象产生原因
从（2.2.1）式可发现自锁现象的产生与摩擦系数和角度θ有关，因此可以引进摩擦角的概念。

假设上例中斜坡底脚θ可变。

我们把法向反作用力N 与摩擦力F 的合力R 称为支持
面对物体的全反力。

全反力和法线的夹角为α。

当摩擦力F 达到最大值F max ，这时的夹角α达到最大值β，把β称为摩擦角]6[。

(2.3) 此式表明：摩擦角β的正切等于静摩擦因数μ。

即：
（2.4） 由几何关系可推得β等于底脚θ。

由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束反力必在摩擦角之内。

进而可知如果作用于物体的主动力的合力Q 的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，总有一个全反力R 与之平衡，物体保持静止；反之，如果主动力的合力Q 的作用线在摩擦角之外，则无论这个力多么小，
物体也不可能保持平衡
图（2-2-1）斜面自锁原因示意图 μ
μβ===N N N F //tan βμtan =
]7[。

出现自锁现象的实质原因是，自锁条件满足时，保持物体静止的力会随外力的增大而同比例增大。

摩擦因数一定时。

自锁的发生只和摩擦角有关和力大小无关]8[。

4几种简单的自锁现象
4.1水平面上的自锁现象
如图（2.4.1a ），重力为G 的物体，放置在粗糙的水平面上，当用适当大小的水平外力（如F 1）推它时，总可以使它动起来。

但当用竖直向下的力去推（如F 2），显然它不会动。

既使F 2的方向旋转一个小角度（如F 3），就算用再大的力它也不一定会运动。

只有当力的方向与竖直方向的夹角超过某一角度值时（如F 4），才可能用适当的力将它推动，而小于这一角度，无论用多大的力都不可能推动它。

这是因为所施力的水平分力在增大的同时，正向下的压力也同比例的增大。

前者引起物体有运动趋势，后者提供最大静摩擦的条件保障。

当物体与支持面之间粗糙，一旦存在相对运动趋势，就会受静摩擦力作用，设最大静摩擦因数为μ，则最大静摩擦力为N M F f μ=。

如图（2.4.1b ）中，水平面对物体的作用力F '（支持力与静摩擦力的矢量和）与竖直方向的夹角α，满足μα==N F f tan 。

α称为摩擦
角，无论支持力F N 如何变，α保持不变，其大小仅由摩擦因数决定。

现讨论发生自锁的条件。

设用斜向下的推力F 作用于物体，方向与竖直方向成θ时，如果满足)cos (sin mg F F +≤
θμθ，无论用多大的力也推不动物体。

若重力
mg 的影响无关紧要，有αμθtan tan =≤，即αθ≤，这是物体发生自锁的条件。

如果这一条件不满足，即αθ>，则物体所受动力大于阻力，物体就会运动。

4.2竖直面的自锁现象
Ｆ2 Ｆ3 x f ＦN Ｆ′
如图（2.4.2）紧靠在竖直墙壁上的物体，在适当大的外力作用下，可以保持静止。

当外力大到重力可以忽略，无论用斜向上的力，还是用斜向下的力，发生自锁的条件与水平面的情况是相同的。

如改用与竖直墙壁的夹角来示，临界角α0可表达为μα1arctan 0=。

与水平面情况不同的，只是保证物体静止的最小力条件。

当用斜向上的力维持物体平衡时，不一定满足自锁条件，而若用斜向下的力使物体平衡，一定首先满足自锁条件才可能发生。

而生产、生活中更多是发生在竖直方向的自锁现象。

4.3 斜面上的自锁现象
如图（2.4.3）一斜面上的物体，在没有外力影响，或有适合的外力作用时，可保持静止。

其自锁条件由2.3节的讨论可知自锁条件是主动力的合力Q 和斜面垂直方向的夹角δ满足βδ≤。

它是介于水平面和竖直面间的一种情况，和它们没有本质的不同。

在此不在做过多的分析。

图（2.4.2）竖直面上物体自锁示意图
F 2
5达到自锁的途径
5.1通过控制角度达到“自锁”
在机械设计中常用到下面的力学原理。

如图(2.5.1a)，只要使连杆AB 与滑块m 所在平 面间的夹角θ大于某个值，那么无论连杆AB 对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑 动，且连杆AB 对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定,工程力学上称之为“自锁”现象。

为使滑块能“自锁”，讨论θ应满足什么条件。

设滑块与所在平面间的动摩擦因数为μ。

滑块m 的受力分析如图(2.5.1b)所示,将力F 分别沿水平和竖直两个方向分解,则根据平衡条件,在竖直方向上有
θsin F mg FN +=, （2.5） 在水平方向上有 FN F F f μθ≤=cos . （2.6） 由以上两式得 θμμθsin cos F mg F +≤. （2.7） 因为力F 可以很大，所以μmg 可以忽略,那么上式可以变为
θμθsin cos F F ≤, （2.8） 则θ应满足的条件为μθcot arc ≥. （2.9） 分析知道通过控制角度使推力在摩擦力方向上的分力总是小于最大静摩擦力，从而达到自锁的目的。

5.2通过控制摩擦因数达到“自锁”
门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A 、骨架B ，弹簧C(劲度系数为k)、锁舌D(倾斜角θ=45°)、锁槽E ，以及连杆、锁头等部件组成，如图(2.5.2a)所示。

B
F A
θ m 图（2.5.1a ）连杆结构示意图 F
mg N F
θ f F
图（2.5.1b ）滑块受力示意图 A B C D E 拉门方向
E之间的摩擦因数均为μ，且受到的最大静摩擦力N
fμ
=( N为正压力)。

有时锁门外出，既使加很大力时，也不能将门关上(此种现象称为自锁)，此刻暗锁所处的状态如图(2.5.2b)所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x，正压力很大，暗锁仍然满足自锁条件。

其受力分析如图(2.5.2c)所示，由力的平衡条件可知
45
sin
45
cos
2
1
=
-
+
+。

N
f
f
kx（2.10）
45
sin
45
cos
2
=
-
-。

f
N
F（2.11）
F
fμ
=
1（2.12）
N
fμ
=
2（2.13）由(2.10)~(2.13)式得正压力的大小
2
22
1
2
45
cos
2
45
sin
)
1(μ
μ
μ
μ-
-
=
-
-
=
kx
kx
N。

若0
2
12=
-
-μ
μ,得414
.0
=
μ，则N趋于∞。

摩擦因数是物体粗糙程度的反映，在其他条件相同的情况下，μ(最大静摩擦因数)越大物体受的最大静摩擦力就越大，物体越不容易被拉动。

如果μ达到一定程度，使其他力在摩擦力方向上的合力总是小于最大静摩擦力时，物体就达到了自锁。

5.3通过控制弹力达到“自锁”
图（2.5.2c）受力分析图
图（2.5.2a）暗锁示图
如图(2.5.3a)所示，由两根短杆组成的一个自锁定起重吊钩，将它放入被吊桶的罐口内，其张开一定的夹角压紧在罐壁上，当钢绳匀速向上提起时，两杆对罐壁越压越紧，若罐和短杆的承受力足够大，就能将重物提升起来。

罐越重，短杆提供的压力越大，称为“自锁定机构”。

若罐质量为m ，短杆与竖直方向夹角为θ=60°，求吊起该重物时，短杆对罐壁的压力(短杆质量不计)。

对O 点受力分析如图(2.5.3b)所示，两根短杆的弹力F(沿杆)的合力与绳子的拉力(mg F T =)等大反向，故
mg F =θcos 2 （2.14）
对短杆对罐壁的作用力F 进行分解如图(2.5.3c)所示。

杆对罐壁的压力
θsin F F 1= (2.15) 由(2.14)、(2.15)两式得
mg F 23
1= 这是一个借助巧妙的机械装置达到自锁的模型。

它的原理是当自锁机构的两边与罐接
图（2.5.3b ）O 点受力分析 图（2.5.3c ）力F 的分解
图（2.5.3a ）起重吊钩示意
图
触后，产生弹力和摩擦力托起罐，且罐越重，杆提供的压力越大。

这种机械装置自锁的应用在日常生活中是比较普遍的。

6自锁现象的应用
自锁现象在力学中应用极其广泛，在生活、生产中也随处可见。

6.1登高脚扣
在实际生活工作当中，人们有时需要登高，如电业工人要攀爬电线杆。

而登高杆对人来说是很困难的。

人们巧妙的运用自锁原理发明了高脚扣，它的发明方便了人们的工作生活。

一般脚扣是一对用机械强度较大的金属材制作，用于承受人体重量。

脚扣弯成略大于半圆形的弯扣，确保扣住电线杆，保证足够的接触面。

内侧面附有摩擦因数较大的材料，扣的一端安装脚踏板。

使用时，弯扣卡住电杆，当一侧着力向下踩时，形成两侧向里的挤压，接触面产生向上的摩擦力，且向下踩的力越大，压力也越大，满足自锁条件，因而不会沿杆滑下]9[。

只需两脚交替上抬就可爬上电线杆。

6．2劈
具有构成尖锐角度的两个平面形状的坚硬物体，称楔或尖劈。

属于斜面类简单机械。

两成尖锐角度的平面称为劈面，劈的尖端称为劈刃，宽端称为劈背。

我国周口店北京猿人遗址处发现的两面石器是尖劈的原始形式，距今约有40～50万年，新石器时代的石斧、石矛，商周时代的青铜器和兵器等，都说明尖劈是人类最早发明并广泛使用的一种简单工具。

尖劈可以用来卡紧物件。

如果尖劈的锐角足够小，它可以嵌入木头缝或墙缝里，这是由于摩擦力的作用使尖劈静止在木头缝中或墙缝里，称为摩擦自锁]10[。

像木器家具中常在横接处打入木楔就是应用尖劈摩擦自锁的原理。

尖劈摩擦自锁力学分析 假设楔子两面对称，受压力均为F 。

则可只分析一面。

楔子顶角为2α。

则压力F 分解如图（3-2-2）。

力F 和力N 的夹角为楔子顶角一半，即α。

则有
αsin F R = （3.2.1） αcos F N = （3.2.2）
摩擦力M 的分解如图(3-2-3)
力O 和力M 的夹角为α
μF M =
有αcos M O = （3.2.3）
当O R <
即
αμααcos cos sin F M O F R ==<= （3.2.4）
化简得
μα<tan
当楔子满足μα<tan 时即能自锁。

图（3-2-2）力F 的分解 图（3-2-3）力M 的分解
图（3-2-1）劈
6.3螺旋千斤顶
螺旋千斤顶又称机械式千斤顶，是由人力通过螺旋副传动，螺杆或螺母套筒作为顶举件。

普通螺旋千斤顶靠螺纹自锁作用支持重物，构造简单，推动手柄，使丝杆的螺纹沿着底座螺纹槽慢慢旋进而顶起重物。

并在顶起重物后，重物和丝杆能保持状态，停在任何位置不自动下降。

即达到自锁状态。

螺旋千斤顶工作时螺旋可以看成是一个绕在圆柱体上的斜面]12[。

将其展开，这个斜面的倾角θ就是螺纹升角θ。

丝杆相当位于斜面上的物体。

千斤顶支撑的重物是加载于丝杆上的轴向载重。

这个载重相当于放在斜面上重为G 的物体。

为使丝杆螺纹在重物的重压下不会自动下旋，相当于物体不会沿斜面自动下滑，即物体在斜面上自锁。

要保证螺纹升角θ小于等于丝杆与底座螺纹槽之间的摩擦角。

即可自锁。

只要螺纹升角满足丝杆材料与底座材料之间的自锁条件，在材料强度的允许范围内，无论多种的物体它都能举起。

是名副其实的力举千金。

6.4矩形螺纹副
螺纹副即螺母，广泛存在与人们的生活当中，任何机械都或多或少有螺母的存在。

而自锁螺母能更好的工作，接下来分析螺母自锁的条件。

设螺母为矩形。

为了便于分析，假定作用在螺母上的轴向载荷F 集中作用于中径的圆上的一点。

给螺母加一水平力Ft 使螺母克服载荷F 作转动，这种转动可看成是一滑块 在水平力Ft 的推动下沿螺杆螺纹斜面等速旋转滑动。

将螺纹沿中径展开，则相当于滑块沿斜面等速向上滑动，斜面倾角λ称为螺纹升角]13[。

作用于螺母的力有外载荷F 、水平力Ft 、螺杆斜面法向反力N 和摩擦力 μN F m =（μ为摩擦系数）
，法向反力N 和摩擦力Fm 的合力R 称为螺杆对螺母的总反力，R 和N 的夹角为摩擦角，用ρ表示。

螺母受力如图（3-4-2）
F F m N R F t 图（3-4-2）螺母受力示意
图（3-4-1）矩形螺纹副剖面图
由几何关系可知 μμρ===N N N F m //tan 。

（3.4.1） 外载荷F 与总反力R 的夹角为)(ρλ+ 。

显然，作用于螺母上的三个力F 、Ft 、R 是平衡的，即可构成力封闭三角形，如图(3-4-3）所示。

由此得
)tan(ρλ+=F F t （3.4.2） Ft 相当于旋转螺母时必须在螺纹中径d2 处施加的圆周力，它对螺纹轴心线的力矩，即为旋转螺母（或拧紧螺母）所需克服螺纹副中的阻力矩
2/)tan(2/22d F d F T t ρλ+== （3.4.3） 等速松退转动时，则相当于滑块在载荷F 作用下沿斜面等速下滑。

这时滑块上的摩擦力Fm 向上，总反力R 和力F 的夹角为）ρλ-(。

由力封闭三角形（ 图3-4-4）可知 )tan(ρλ-=F F t （3.4.4）
由此可见，若λ<ρ，则Ft 为负值，这就表明要使滑块沿斜面下滑，就必须给螺母施加一个与拧紧方向相反的力矩，否则，无论轴向载荷F 有多大，滑块（相当于螺母）都不会在其作用下自行下滑（松退），于是，螺纹副的自锁条件为ρλ≤。

这样当螺纹紧固机器零件处于自锁状态时，尽管受到很大的压力，仍然不会移动。

螺纹虽小但任何机械都或多或少用到螺母。

没有螺母也不会现代机械，也不会有工业革命。

美国《纽约时报周刊》在1999年4月18日的“最佳选”特刊中，将螺母列为过去一千年最重要的发明之一]14[。

图（3-4-3）角为)(ρλ+图（3-4-4）角为）ρλ-(时
6．5铁路路基
常常可以看到工地上卡车卸下的沙石总是呈一个锥形，而且锥面与地面的夹角总是成一个常值。

当沙堆高度超过某个极限（或者锥角过大）时，沙石就会下滚，直到再次平衡。

这个极限角度α与沙堆的摩擦角m θ有着密切的联系。

在理论情况下，只有当m αθ≤时，沙堆才会处于平衡的静止状态。

铁路建设中路基斜坡与地面的夹角α的设计也与摩擦角β有着密切关系。

为了火车行车的安全，铁轨及其路基必须坚实，决不能让路基塌陷。

而摩擦自锁在这里便得到了很好的应用，理想情况下，当βα≤，路基中的沙石摩擦自锁，则即使路基上作用再大的合力，整个路基也能保持平衡而不变形塌陷。

6.6 斜坡上车辆的停放
车辆停放在斜坡上，实际上是车轮在斜坡上的磨擦自锁现象[10]。

由于车轮与斜坡间的滚动磨擦系数μ和车轮半径R 的比值较小，磨擦角也小，车辆一般只能停放在较小倾角的斜面上。

在斜面倾角θ较大（即R /arctan μθ>)时，车将沿斜面下滑。

为了防止下滑，人们常在车轮后下方垫以石块，由于石块的垫入，增大了滚动磨擦系数，也就增大了最大滚动磨擦角m ax θ；当斜坡倾角小于或等于增大后的磨擦角m ax θ 就满足了max θθ≤，车辆将不再下滑。

否则，车辆将继续向下滑动。

6.7 油井所用单弯螺杆动力钻具自锁现象的消除
油井在用单弯螺杆动力钻具造斜时，发生钻头加不上钻压的现象。

通过理论分析，认
图（3-5）沙堆角度示意
为是扶正器自锁造成的]15[。

所谓扶正器自锁，就是扶正器相对的上下缘同时接触井壁，使所加的钻石完全被摩阻所抵消。

扶正器在井眼内是否会发生自锁，主要取决于扶正器母线与井眼轴线的夹角是否大于自锁角。

自锁角的大小主要取决于井眼直径、扶正器直径和长度。

根据分析，缩短了扶正器长度，使扶正器外径以球状小斜角向本体过渡，结果克服了自锁，消除了钻头加不上钻压的现象，使油井顺利完成。

结论
自锁现象是力学中的特殊现象，在生活和工业生产当中应用广泛，论文对力学自锁现象的定义、产生原因及生活工程中的实际应用进行了总结和研究，得出以下结论：1自锁现象十分普遍，理论浅显，是高技术机械的基础，利用自锁原理可以设计一些机巧的机械、解决巨大的问题、更好的服务生活；
2自锁现象有利有弊，要善于发现是否是自锁问题。

破坏了自锁条件即可解除不需要的自锁。

3利用自锁原理设计的机械都能满足设计要求，解决实际问题。

所以自锁机械具有实用性。

通过对力学自锁现象的研究和应用分析，深入的了解了自锁现象产生的机理和生活中常见自锁现象的实质，明白了自锁产生的条件和避免发生自锁的方法，为自锁现象更为广泛的应用于实际打下理论基础。