测量平差 误差理论的基本知识

第七章
第一节
误差理论的基本知识
测量误差概念
在各项测量工作中，长期的测量实践证明， 对于某一客观存在的量，如地面某两点之间的 距离或高差、某三点之间构成的水平角等，尽 管采用了合格的测量仪器和合理的观测方法， 测量人员的工作态度也认真负责，但是多次重 复测量的结果总是有差异的，这说明观测值中 存在着测量误差，或者说，测量误差是不可避 免的。
误差区间 （3″） 0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24 24以上 ∑
正误差
相对个数（k/n） 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495 个数 （ k） 91 81 66 44 33 26 11 6 0 358
则有：
mhAB nm站
水准测量高差的中误差，与测站 数n的平方根成正比
当水准路线通过平坦地区时，各测站 的视线长度大致相等，每公里的测站数也 接近相等，因而每公里的水准测量高差中 误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两 点间的水准路线为S公里时，A、B两点间 高差中误差为：
mhAB S mkm
2
mz
2
20.6 2 2 2 mz sin (119 45 00 ) 5 15011 cos 119 45 00 19.4 206265
2 m 2 2 sin m S S cos
误差绝对值
相对个数（k/n） 0.254 0.226 0.184 0.123 0.092 0.073 0.031 0.017 0 1.000
①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超
过一定的限度;（有界性） ②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机
会要多；（密集性）
③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等， 可相互抵消；（对称性） ④同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零， 0 即： lim （抵偿性） n n
2 2 2
1 3 7 z x1 x 2 x 3 10 10 10
一般函数
函数形式：
中误差关系式：
2 2
Z f ( x1 , x2 xn )
f 2 f x m1 x 1 2 f 2 m2 x n
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中
误差。
式中：
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
第二组观测值的中误差：
(1) 2 2 2 (6) 2 0 2 (1) 2 7 2 12 0 2 (3) 2 (1) 2 m2 3.2 10
2 lim
n 2 2 2 2 [ ] 1 2 n lim n n n
f ()
1
e

2 2 2
lim
n
[2 ] [] lim n n n
评定精度的指标
精度：指在对某量进行多次观测中，各 观测值之间的离散程度。 中误差 评定精度的标准 容许误差 相对误差
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
m K1 1 m K2 2 0.01 1 D1 100 10000 0.01 1 D2 200 20000
容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观
当各观测值xi为同精度观测时，设它们的 中误差为m，即：m1=m2=…=mn=m，则前 式将变为：
mZ m n
在同精度观测时，观测值代数和（差）的 中误差，与观测值个数n的平方根成正比。
设用长度为L的钢尺量距，共丈量了n 个尺段，已知每尺段量距的中误差为m， 求全长S的中误差mS。 解：因为：S=L+L+…+L （式中共有n个L） 而L的中误差为m，则得：
二、偶然误差
在相同的观测条件下，对某一量进行一 系列的观测，如果误差出现的符号和数值 大小都不相同，从表面上看没有任何规律 性，这种误差称为“偶然误差”。偶然误 差是由人力所不能控制的因素或无法估计 的因素(如人眼的分辨能力、仪器的极限精 度和气象因素等)共同引起的测量误差，其 数值的正负、大小纯属偶然。
观测值与理论值之差
负误差
个数 （ k） 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181 相对个数 （k/n） 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505 个数 （ k） 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值m与相应 观测值D之比，通常以分子为1的分式 来表 示，称其为相对（中）误差。即:
K m D 1 D m
一般情况 : 角度测量没有相对误差，只有距 离测量才用相对误差来评定。
mS m n
量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比
当使用量距的钢尺长度相等，每尺段 的量距中误差都是m，则每公里长度的量 距中误差mkm也是相等的。当对长度为S公 里的距离丈量时，全长S的中误差将为：
mS S mkm
在距离丈量中，距离S的量距中误差 与长度S的平方根成正比。
为了求得A、B两水准点间的高差，从A点 开始进行水准测量，经n站后测完至B点，已 知每测站的高差中误差均为m站，求A、B两 点间高差的中误差mhAB。 因为A、B两点间的高差等于各测站的观测 高差之和，即：hAB=h1+h2+…+hn
倍数函数
函数形式： Z=kx
式中Z为观测值的函数，k为常数（无误差），x为观测值
中误差关系式： mZ=kmx
即：观测值与常数乘积的中误差，等于观测 值中误差乘常数。
例题：在1：500比例尺地形图上，量得A、B 两点间的距离d=163.6mm，其中误差 md=±0.2mm。求A、B两点实地距离D及其 中误差mD。 解：D=kd=500×163.6（mm） =81.8 （m）（k为比例尺分母） mD=kmd=±500×0.2（mm） =±0.1 （m） ∴ D=81.8±0.1(m)
2
mz
2 mn
2
解：应用误差传播定律的一般公式得：
2 2
z S sin 例题： 设有某函数： 式中观测值：S=150.11m±0.05m， 119 4500 20.6 求z的中误差mZ。
z 2 z m 2 mz mS S
观测条件：
1. 仪器误差
2. 观测误差 3. 外界条件的影响 观测条件
等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。
第二节 测量误差的种类
测量误差按其产生的原因和对观测 结果影响性质的不同，可以分为： 1.系统误差 2.偶然误差 3.粗差
一、系统误差
在相同的观测条件下，对某一量进行一 系列的观测，如果出现的误差在符号和数 值上都相同，或按一定的规律变化，这种 误差称为“系统误差”。例如，用名义长 度为30m，而实际正确长度为30．004m的 钢卷尺量距，每量一尺段就有使距离量短 了0．004m的误差，其量距误差的符号不 变，且与所量距离的长度成正比。因此， 系统误差具有积累性。 系统误差可以通过加改正数以抵消或削弱
2


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2
2
即：
mZ=±4.4cm
例题：已知三角形的三个内角，在相同的 观测条件下，采用等精度观测， 已知观测误差： m m m 6 180 三角形的闭合差： 1 各角度改正数： v v v 3 1 1 1 ˆ ˆ ˆ , , 经改正后的角度值： 3 3 3 求：三角形闭合差的中误差 m 和改正后的角度中误差 m ˆ、m ˆ 和m ˆ
和差函数
函数形式： Z=x1±x2±…±xn 中误差关系式： mZ2= m12+ m22+…+ mn2
即：n个观测值代数和（差）的中误差平方， 等于n个观测值中误差的平方之和 。
例题： 某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为 h1=15.316m±5mm，h2=8.171m±4mm，h3=6.625m±3mm，试求总的高差及其中误差。 解： h = h 1 + h2 + h3 =15.316+8.171-6.625 =16.862(ｍ) m 2h= m 12+ m2 2＋m3 2=52+42+32=50 m h=±7.1(mm) ∴ h=16.882m±7.1mm
频率直方图
用概率论解释偶然误差特性
按概率论的观点，符合上述特性的误差服从 正态分布 概率论研究随机事件的统计规律。 随机变量取某个值就相当于某个随机事件。 随机变量的特征
取值是随机的 取具体值的概率是确定的
正态分布数学表达：
正态分布曲线的数学方程式为：
2 为标准差，标准差的平方2为方差 ：
测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的
限值。这个限值就是容许（极限）误差。 测量中通常取 2 倍或3 倍中误差作为偶然 误差的容许误差。 即Δ容=2m 或Δ容=3m 极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。
第四节 误差传播定律及应用
在实际工作中，有许多未知量 不是直接观测的，而是通过观测值 计算出来的，观测值中误差与观测 函数中误差之间的关系定律，称为 误差传播定律。
真误差
测量中真值与观测值之差称为误差，严 格意义上讲应称为真误差。 即：△i=Li-X 在实际工作中真值不易测定，一般把某 一个量的测量值与其最或是值之差也称为 误差。
产生测量误差的原因 ：
1．观测者的原因 由于观测者感觉器官的辨别能力存在局限性，所以， 对于仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作都会产生误 差，另外，观测者技术熟练程度也会给观测成果带来不 同程度的影响。 2．仪器的原因 测量工作是需要用测量仪器进行的，而每一种测量仪 器具有一定的精密度，使测量结果受到一定的影响。 3．外界环境的影响 测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、气压、 湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时 刻在变化，使测量结果产生误差。
中误差
标准差的平方σ2为方差，为了统一衡 量在一定观测条件下观测结果的精度， 取标准差σ作为依据是比较合适的。但是， 在实际测量工作中，不可能对某一个量 作无穷多次观测。因此，在测量中定义， 按有限观测次数的偶然误差求得的标准 差为“中误差”，用m表示，即：
2 2 2 [] 1 2 n m n n
三、粗差
由于观测者的粗心或各种干扰造成 的大于限差的误差称为粗差，如瞄错 目标、记录错误、读数错误等。 有粗差的观测值应该舍弃并重测
为了防止错误的发生和提高观测成果的 精度，在测量工作中，一般需要进行多于 必要的观测，称为“多余观测”。
第三节 偶然误差特性及精度指标
真误差
l X l 180
水准测量高差的中误差，与距离S 的平方根成正比
线性函数
函数形式： Z=k1x1+ k2x2+…+ knxn 中误差关系式： mZ2= (k1m1)2+ (k2m2)2+…+(knmn)2
计算算术平均值的公式为：
1 1 1 1 x (l1 l 2 l n ) l1 l 2 l n n n n n
则：
故：
1 2 1 2 1 2 m 2 m 2 m 2 m n n n
2 x
mx
m n
1
算术平均值的中误差为观测值中误差的 n 倍
设有线性函数： 其中x1、x2、x3中误差分别为m1=±5mm、 m2=±6mm、m3=±4mm，求z的中误差。 解：根据前式得： =±3.4mm
1 3 7 z 5 6 4 10 10 10