§7—9 一一映射,同态及同构

第 3 讲

§7—9 一一映射，同态及同构（2课时）

(Bijection Homomorphism and Osomorphism )

本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。具体要求：

1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深入的研究。

2、充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射。

3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。

4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础，

本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。

本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。

本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。

一、一一映射

在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。

定义1、设ϕ是集合A到A的映射，且ϕ既是单的又是满的，则称ϕ是一个一

一映射（双射）。

例1：},4,2,0,2,4,{2},2,1,0,1,2,{: --=→--=Z Z ϕ，

其中Z n n n ∈∀=,2)(ϕ，可知ϕ显然是一个双射。

注意：Z 与偶数集Z 2之间存在双射，这表明：Z 与它的一个真子集Z 2一样“大”。

思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。

定理1：设ϕ是A 到A 的一个双射，那么由ϕ可诱导出（可确定出）A 到A 的一个双射1-ϕ（通常称1-ϕ是ϕ的逆映射）

证明：由于ϕ是A 到A 的双射，那么就A 中任一个元素a ，它在A 中都有逆象a ，并且这个逆象a 是唯一的。利用ϕ的这一特点，则可确定由A 到A 的映射1-ϕ：

a a A a A A =∈∀→--)(,,:11ϕϕ，如果a a =)(ϕ，由上述说明，易知1-ϕ是映射。

1-ϕ是满射：A a ∈∀，因ϕ是映射a a A a =∈∃⇒)(,ϕ使，再由1-ϕ的定义知a a =-)(1ϕ，这恰说明，a 是a 在1-ϕ下的逆象。由a 的任意性，知1-ϕ是满射。

1-ϕ是单射：2121,,a a A a a ≠∈∀若由ϕ是满射21a a 及⇒的逆象分别是

22111121)(,)(,a a a a a a ==--ϕϕ即及，又ϕ是单射21a a ≠⇒， 这说明)()(2111a a --≠ϕϕ，所以1-ϕ是单射。

综合上述讨论知：1-ϕ是A 到A 的一个双射。

结论：设A A →:ϕ是映射，那么：

（1）ϕ是双射⇔ϕ可唯一的确定一个逆映射A A →-:1ϕ，使得：

∙ 1-ϕ是双射；

∙ A A 1,111==--ϕϕϕϕ；

∙ ϕ也是1-ϕ的逆映射，且ϕϕ=--11)(；

（2）ϕ是双射A A 与⇒同时是有限集或同时是无限集。

二、变换

定义2：设A A →:ϕ是映射，那么习惯上称为是A 的变换。

当ϕ是双射（单射，满射）时，也称ϕ为一一变换（单射变换，满射变换）

例2 19P

三、同态（本目与高代中的线性变换类似）——对代数系统的比较。 例3、设}1,1{:-=→A Z ϕ，其中},{ Z 中的代数运算 就是Z 中的加法，而},{ A 中的代数运算 为数中的乘法。

)

3()2()32(,111)1()1()1()1()3()2(,

1)5()32()32(,1)3(,1)2(,,1)(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ≠-≠⇒=-⨯-=--=-==+=-=-=∈∀-=即

而那么

现设Z n n

定义3：设集合A A ,都各有代数运算 ,（称},{ A 及},{ A 为代数系统）而A A →:ϕ是映射，且满足下面等式：

)()()(,,b a b a A b a ϕϕϕ =∈∀（习惯上称ϕ可保持运算）

那么称ϕ是A 到A 的同态映射。

例4、设},{ Z 与},{ A 同例3，今设Z n n A Z ∈∀=→,1)(:ττ为，那么

的同态映射到是即A Z n m n m n m n m Z n m τττττττ),()()(1

11)()(,1)(,, =∴=⨯==∈∀

例5、},{ Z 与},{ A 同上，而⎩⎨⎧-= 1

1)(为奇数为偶数n n n σ

Z m n ∈∀, （1） 若m n ,均为偶数时m n +⇒为偶数，

)()()(111)()(,1)()(m n m n m n m n m n σσσσσσσ =⇒=⨯==+=∴而

（2）若m n ,均为奇数时m n +⇒为偶数，

)()()(1)1()1()()(,1)()(m n m n m n m n m n σσσσσσσ =⇒=-⨯-==+=∴而

（3）若n 奇而m 偶时m n +⇒为奇数，则

)()()(11)1()()(,1)()(m n m n m n m n m n σσσσσσσ =⇒-=⨯-=-=+=而

（4）若n 偶而m 奇时同理知)()()(m n m n σσσ =.

由(1)～(4)知,σ是Z 到A 的同态映射.

如果同态映射ϕ是单射（满射），那么自然称ϕ是同态单射（同态满射），而在近世代数中，同态满射是尤其重要的。

定义4：若ϕ是},{ A 到},{ A 的同态满射，那么习惯上称A A 与同态，并记为A ～A ；习惯上称A 是A 的同态象.

定理2. 如果ϕ是},{ A 到},{ A 的同态满射，那么

（1） 若 满足结合律 ⇒也适合结合律；

（2） 若 满足交换律 ⇒也适合交换律.

证明：（1）任取ϕ因,,,A c b a ∈是满射b b a a A c b a ==∈∃⇒)(,)(,,,ϕϕ使，又因为A 中 的满足结合律c b a c b a )()(=⇒