高等数学第六章向量代数与空间解析几何习题
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及 x = 1.
解答:
(1)
2 y2 = x x y z + + =1 4 2 2 z=0
z
2
o
(8 , − 2 , 0)
z
o
x
4
( 2 , 1 , 0)
y
x
y
(2)
z 1
−1 1 x
o
x2 = 1 − z y=0 z=0 x+ y =1
1
y
1
z
−1 1 x 1
y
(3)
z
(1,−1)
x
y2 = x
空间解析几何 习题课、
一、内容小结 二、实例分析 三、思考与练习 四、作业
（一）向量代数
向量的 向量的 表示法 表示法
向量概念 向量概念
向量的 向量的 线性运算 线性运算
向量的积
数量积 数量积 混合积 混合积 向量积 向量积
（二）空间解析几何 空间直角坐标系 空间直角坐标系
一般方程 一般方程 参数方程 参数方程 一般方程 一般方程 参数方程 参数方程
M 1 ( x1 , y1 , z1 ),
n1
M0
⎧ x1 = 0 必 ∃ t1 使 ⎪ y = t ⎨ 1 1 . M 1 (0, t1 , t1 + 1), ⎪ z1 = t1 + 1 ⎩ M 0 M 1 = ( −1, t1 + 1, t1 ), M 0 M1 L
M 0 M 1 = ( −1, t1 + 1, t1 ),
思考：怎样求与两条直线都垂直相交的直线 L？
M2
求与两条直线都垂直相交的直线 L
M 1 M 2 ⊥ s1 , M 1 M 2 ⊥ s2
L1 M1
L2
M 1 M 2 = ( t 2 − t1 ,3t 2 − 4 − 2t1 , 2t 2 − t1 ) ( t 2 − t1 ) + 2(3t 2 − 4 − 2t1 ) + (2t 2 − t1 ) = 0
i j k n = s × n1= 1 1 7 −1 3 , cos β = 所求为 cos α = 50
2 = 2( 3 , 5 , − 4) 4 −4 5 , cos γ = 50 50
⎧ x + 5y + z = 0 例3. 求过直线L: ⎨ 且与平面 x − 4 y − 8 z ⎩ x−z+4=0 π π + 12 = 0 夹成 角的平面方程. 4 4 n n1 提示: 过直线 L 的平面束方程 L (1 + λ ) x + 5 y + (1 − λ ) z + 4λ = 0
3). 线面之间的相互关系
面与面的关系 平面 Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, n1 = ( A1 , B1 , C1 ) 平面 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0, n2 = ( A2 , B2 , C 2 ) 垂直: n1 ⋅ n2 = 0 平行: n1 × n2 = 0 夹角公式: cos θ =
L1
M0
M1
M2
L
M 2 ( t 2 , 3t 2 − 4 , 2t 2 − 1) .
M 0 , M 1 , M 2 三点共线
M 0 (1 , 1 , 1)
M 0 M1 // M 0 M 2 2 t1 − 1 (t1 − 1) − 1 t1 − 1 = = t 2 − 1 (3 t 2 − 4) − 1 (2 t 2 − 1) − 1
(2)点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 Π ：A x+B y+C z+D = 0
的距离为
M1 M 0 ⋅ n d= n
=
A x 0 + B y0 + C z 0 + D
M0
A2 + B 2 + C 2
d
n
Π
M1
*(3) 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到直线 x − x1 y − y1 z − z1 L: = = m n p 的距离 为
L
M2
( t 2 − t1 ) + 3(3t 2 − 4 − 2t1 ) + 2(2t 2 − t1 ) = 0 4 t1 = − , t 2 = 0 s1 = (1,2,1) 3 4 8 7 M 1 ( − , − , − ), M 2 (0 , −4 , −1) . s2 = (1,3,2) 3 3 3 x−2 y+4 z+1 L: = = 1 1 −1 M1 ( t1 , 2 t1 , t1 − 1), M 2 ( t 2 , 3t 2 − 4 , 2t 2 − 1) .
M0
i j k n = n1 × s = 0 0 1 = (1, 2, 0) 2 −1 1
M 0 (1, − 1,1),
平面的方程 ( x − 1) + 2( y + 1) = 0
即x + 2 y + 1 = 0
例6. 如何判断两直线共面。
S1
M1
M2
S2 =0
(S × S )⋅ M M
1 2 1
的平面束 方程
λ 1 ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ 2 ( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0
( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0
( λ 1 , λ 2 不全为 0 )
提示: 思路: 先求交点 M1 , M 2 ; 再写直线方程.
将 L1 , L2 的方程化为参数方程 ⎧x = t ⎧x = t ⎪ ⎪ L1 : ⎨ y = 2 t , L2 : ⎨ y = 3 t − 4 ⎪z = 2 t − 1 ⎪z = t − 1 ⎩ ⎩ 设 L 与它们的交点分别为
M1 ( t1 , 2 t1 , t1 − 1),
o 1
(1,1)
y
x2 + y2 = z
x =1 z=0
x − 1 y z 绕 z 轴旋转一周, 求此旋转 = = 例7. 直线 L : 0 1 1 转曲面的方程. 解: 设 M ( x , y , z ) 为旋转曲面上任一点，则有L 上点 M 0 (1, y0 , z0 ) 与其对应 z = z 0 = y0
t1 = 0 , t 2 = 2
L1
L2
M0
M 1 = (0 , 0 , − 1) , M 2 = (2 , 2 , 3) M 1 L x −1 y −1 z −1 L: = = 1 1 2 M1 ( t1 , 2 t1 , t1 − 1), M 2 ( t 2 , 3t 2 − 4 , 2t 2 − 1) .
2
思考与练习
画出下列各曲面所围图形:
(1) 抛物柱面 2 y 2 = x ,平面 z = 0 及 x + y + z = 1; 4 2 2 2 ( 2) 抛物柱面 x = 1 − z , 平面 y = 0, z = 0 及 x + y = 1;
(3)旋转抛物面 x 2 + y 2 = z , 柱面 y 2 = x , 平面 z = 0
M 0 M1 × s d= s 1 m +n + p
2 2 2
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
L
d
s = (m , n , p) ϕ M 1 ( x1 , y1 , z1 )
i j k x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
=
m
n
p
二、实例分析
向量概念题 例1：练习册判断题, 选择题
其法向量为
n1 = {1 + λ , 5 , 1 − λ }.
已知平面的法向量为 n = {1 , − 4 , − 8}
n ⋅ n1 选择 λ 使 cos = 4 n n1
π
3 λ=− 4
从而得所求平面方程
x + 20 y + 7 z − 12 = 0.
⎧ y = 2x 例4. 求过点 M 0 (1 , 1 , 1) 且与两直线 L1 : ⎨ , ⎩z = x − 1 ⎧ y = 3x − 4 L2 : ⎨ 都相交的直线 L. L2 ⎩z = 2 x − 1
直线 L1：
垂直: s ⋅ s = 0 1 2 平行: s1 × s2 = 0 夹角公式: cosθ = s1 ⋅ s2 s1 s2
m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 m1 n1 p1 = = m 2 n 2 p2
面与线间的关系 平面: Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A , B , C )
a ib cosθ = = | a || b | a ⊥b
a x bx + a y b y + a z bz a x 2 + a y 2 + a z 2 bx 2 + b y 2 + bz 2
a x bx + a y b y + a z bz = 0
2）、向量积 (叉积、外积)
| c |=| a || b | sinθ
曲线 曲线
直 线 直 线
曲面 曲面
平 面 平 面
旋转曲面 旋转曲面 柱 面 柱 面 二次曲面 二次曲面
对称式方程 点法式方程 一般方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
一、内容小结
1. 向量的乘法运算 1）数量积（点积、内积）
a ⋅ b = | a || b | cosθ = a x bx + a y b y + a z bz
s1 = (0,1,1)
1 1 M 1 (0, − , ), 2 2
1 M 0 M 1 (0,1,1) = 0 得t1 = − 2 1 1 1 M 0 M 1= ( −1, , − ) = − (2, −1,1) 2 2 2 n1 取 s = (2, −1,1)
M 1 ( x1 , y1 , z1 ),
n1 ⋅ n2 n1 n2
A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0 A1 B1 C1 = = A2 B2 C 2
线与线的关系
x − x1 y − y1 z − z1 = = , s1 = ( m1 , n1 , p1 ) m1 n1 p1 x − x 2 y − y2 z − z 2 = = , s2 = ( m2 , n2 , p2 ) 直线 L2： m2 n2 p2
其中θ 为 a 与b 的夹角
i a × b = ax bx
a // b
j ay by
k az bz
a x a y az = = bx b y bz
3）、混合积
源自文库
ax [a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = bx cx
a , b , c 共面
ay by cy
az bz = a ⋅ (b × c ) cz
⎧ 2x − z = 0 例2. 设一平面平行于已知直线 ⎨ ⎩x + y − z + 5 = 0 且垂直于已知平面 7 x − y + 4 z − 3 = 0 , 求该平面法线的 的方向余弦.
提示: 已知平面的法向量 n1 = (7 , − 1 , 4) 求出已知直线的方向向量 s = (1 , 1 , 2) 取所求平面的法向量
(a × b ) ⋅ c = 0
2. 空间直线与平面的方程
1) 空间平面 一般式 点法式 截距式
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 )
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
x y z + + =1 a b c x − x1 y − y1
x2 − x1 x3 − x1 y2 − y1 y3 − y1
点 : ( x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n = ( A , B , C ) z − z1
z2 − z1 = 0 z3 − z1
三点式
2) 空间直线
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 一般式 ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 x − x0 y − y0 z − z0 = = 对称式 m n p ⎧ x = x0 + m t ⎪ 参数式 ⎨ y = y0 + n t ⎪ z = z + pt ⎩ 0 ( x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点; s = ( m , n , p ) 为直线的方向向量.
x− x y− y z−z 直线: = = , s = ( m , n , p) p m n m n p = = 垂直： s × n = 0 A B C
平行：
s⋅n = 0
m A + n B + pC = 0
夹角公式：
s⋅n sin ϕ = s n
4). 相关的几个问题
(1) 过直线
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 L: ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
设一平面垂直于 z = 0 ,并通过从点 M 0 (1, − 1,1), 例5. ⎧y − z +1= 0 到直线 L : ⎨ 的垂线, 求此平面的方程 ⎩ x=0 解： M 0 过 作直线与 L 垂直相交, 设交点为M 1 ( x1 , y1 , z1 ), 由 L 的对称式方程 x y z −1 = = =t 0 1 1
解答:
(1)
2 y2 = x x y z + + =1 4 2 2 z=0
z
2
o
(8 , − 2 , 0)
z
o
x
4
( 2 , 1 , 0)
y
x
y
(2)
z 1
−1 1 x
o
x2 = 1 − z y=0 z=0 x+ y =1
1
y
1
z
−1 1 x 1
y
(3)
z
(1,−1)
x
y2 = x
空间解析几何 习题课、
一、内容小结 二、实例分析 三、思考与练习 四、作业
（一）向量代数
向量的 向量的 表示法 表示法
向量概念 向量概念
向量的 向量的 线性运算 线性运算
向量的积
数量积 数量积 混合积 混合积 向量积 向量积
（二）空间解析几何 空间直角坐标系 空间直角坐标系
一般方程 一般方程 参数方程 参数方程 一般方程 一般方程 参数方程 参数方程
M 1 ( x1 , y1 , z1 ),
n1
M0
⎧ x1 = 0 必 ∃ t1 使 ⎪ y = t ⎨ 1 1 . M 1 (0, t1 , t1 + 1), ⎪ z1 = t1 + 1 ⎩ M 0 M 1 = ( −1, t1 + 1, t1 ), M 0 M1 L
M 0 M 1 = ( −1, t1 + 1, t1 ),
思考：怎样求与两条直线都垂直相交的直线 L？
M2
求与两条直线都垂直相交的直线 L
M 1 M 2 ⊥ s1 , M 1 M 2 ⊥ s2
L1 M1
L2
M 1 M 2 = ( t 2 − t1 ,3t 2 − 4 − 2t1 , 2t 2 − t1 ) ( t 2 − t1 ) + 2(3t 2 − 4 − 2t1 ) + (2t 2 − t1 ) = 0
i j k n = s × n1= 1 1 7 −1 3 , cos β = 所求为 cos α = 50
2 = 2( 3 , 5 , − 4) 4 −4 5 , cos γ = 50 50
⎧ x + 5y + z = 0 例3. 求过直线L: ⎨ 且与平面 x − 4 y − 8 z ⎩ x−z+4=0 π π + 12 = 0 夹成 角的平面方程. 4 4 n n1 提示: 过直线 L 的平面束方程 L (1 + λ ) x + 5 y + (1 − λ ) z + 4λ = 0
3). 线面之间的相互关系
面与面的关系 平面 Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, n1 = ( A1 , B1 , C1 ) 平面 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0, n2 = ( A2 , B2 , C 2 ) 垂直: n1 ⋅ n2 = 0 平行: n1 × n2 = 0 夹角公式: cos θ =
L1
M0
M1
M2
L
M 2 ( t 2 , 3t 2 − 4 , 2t 2 − 1) .
M 0 , M 1 , M 2 三点共线
M 0 (1 , 1 , 1)
M 0 M1 // M 0 M 2 2 t1 − 1 (t1 − 1) − 1 t1 − 1 = = t 2 − 1 (3 t 2 − 4) − 1 (2 t 2 − 1) − 1
(2)点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 Π ：A x+B y+C z+D = 0
的距离为
M1 M 0 ⋅ n d= n
=
A x 0 + B y0 + C z 0 + D
M0
A2 + B 2 + C 2
d
n
Π
M1
*(3) 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到直线 x − x1 y − y1 z − z1 L: = = m n p 的距离 为
L
M2
( t 2 − t1 ) + 3(3t 2 − 4 − 2t1 ) + 2(2t 2 − t1 ) = 0 4 t1 = − , t 2 = 0 s1 = (1,2,1) 3 4 8 7 M 1 ( − , − , − ), M 2 (0 , −4 , −1) . s2 = (1,3,2) 3 3 3 x−2 y+4 z+1 L: = = 1 1 −1 M1 ( t1 , 2 t1 , t1 − 1), M 2 ( t 2 , 3t 2 − 4 , 2t 2 − 1) .
M0
i j k n = n1 × s = 0 0 1 = (1, 2, 0) 2 −1 1
M 0 (1, − 1,1),
平面的方程 ( x − 1) + 2( y + 1) = 0
即x + 2 y + 1 = 0
例6. 如何判断两直线共面。
S1
M1
M2
S2 =0
(S × S )⋅ M M
1 2 1
的平面束 方程
λ 1 ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ 2 ( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0
( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0
( λ 1 , λ 2 不全为 0 )
提示: 思路: 先求交点 M1 , M 2 ; 再写直线方程.
将 L1 , L2 的方程化为参数方程 ⎧x = t ⎧x = t ⎪ ⎪ L1 : ⎨ y = 2 t , L2 : ⎨ y = 3 t − 4 ⎪z = 2 t − 1 ⎪z = t − 1 ⎩ ⎩ 设 L 与它们的交点分别为
M1 ( t1 , 2 t1 , t1 − 1),
o 1
(1,1)
y
x2 + y2 = z
x =1 z=0
x − 1 y z 绕 z 轴旋转一周, 求此旋转 = = 例7. 直线 L : 0 1 1 转曲面的方程. 解: 设 M ( x , y , z ) 为旋转曲面上任一点，则有L 上点 M 0 (1, y0 , z0 ) 与其对应 z = z 0 = y0
t1 = 0 , t 2 = 2
L1
L2
M0
M 1 = (0 , 0 , − 1) , M 2 = (2 , 2 , 3) M 1 L x −1 y −1 z −1 L: = = 1 1 2 M1 ( t1 , 2 t1 , t1 − 1), M 2 ( t 2 , 3t 2 − 4 , 2t 2 − 1) .
2
思考与练习
画出下列各曲面所围图形:
(1) 抛物柱面 2 y 2 = x ,平面 z = 0 及 x + y + z = 1; 4 2 2 2 ( 2) 抛物柱面 x = 1 − z , 平面 y = 0, z = 0 及 x + y = 1;
(3)旋转抛物面 x 2 + y 2 = z , 柱面 y 2 = x , 平面 z = 0
M 0 M1 × s d= s 1 m +n + p
2 2 2
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
L
d
s = (m , n , p) ϕ M 1 ( x1 , y1 , z1 )
i j k x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
=
m
n
p
二、实例分析
向量概念题 例1：练习册判断题, 选择题
其法向量为
n1 = {1 + λ , 5 , 1 − λ }.
已知平面的法向量为 n = {1 , − 4 , − 8}
n ⋅ n1 选择 λ 使 cos = 4 n n1
π
3 λ=− 4
从而得所求平面方程
x + 20 y + 7 z − 12 = 0.
⎧ y = 2x 例4. 求过点 M 0 (1 , 1 , 1) 且与两直线 L1 : ⎨ , ⎩z = x − 1 ⎧ y = 3x − 4 L2 : ⎨ 都相交的直线 L. L2 ⎩z = 2 x − 1
直线 L1：
垂直: s ⋅ s = 0 1 2 平行: s1 × s2 = 0 夹角公式: cosθ = s1 ⋅ s2 s1 s2
m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 m1 n1 p1 = = m 2 n 2 p2
面与线间的关系 平面: Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A , B , C )
a ib cosθ = = | a || b | a ⊥b
a x bx + a y b y + a z bz a x 2 + a y 2 + a z 2 bx 2 + b y 2 + bz 2
a x bx + a y b y + a z bz = 0
2）、向量积 (叉积、外积)
| c |=| a || b | sinθ
曲线 曲线
直 线 直 线
曲面 曲面
平 面 平 面
旋转曲面 旋转曲面 柱 面 柱 面 二次曲面 二次曲面
对称式方程 点法式方程 一般方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
一、内容小结
1. 向量的乘法运算 1）数量积（点积、内积）
a ⋅ b = | a || b | cosθ = a x bx + a y b y + a z bz
s1 = (0,1,1)
1 1 M 1 (0, − , ), 2 2
1 M 0 M 1 (0,1,1) = 0 得t1 = − 2 1 1 1 M 0 M 1= ( −1, , − ) = − (2, −1,1) 2 2 2 n1 取 s = (2, −1,1)
M 1 ( x1 , y1 , z1 ),
n1 ⋅ n2 n1 n2
A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0 A1 B1 C1 = = A2 B2 C 2
线与线的关系
x − x1 y − y1 z − z1 = = , s1 = ( m1 , n1 , p1 ) m1 n1 p1 x − x 2 y − y2 z − z 2 = = , s2 = ( m2 , n2 , p2 ) 直线 L2： m2 n2 p2
其中θ 为 a 与b 的夹角
i a × b = ax bx
a // b
j ay by
k az bz
a x a y az = = bx b y bz
3）、混合积
源自文库
ax [a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = bx cx
a , b , c 共面
ay by cy
az bz = a ⋅ (b × c ) cz
⎧ 2x − z = 0 例2. 设一平面平行于已知直线 ⎨ ⎩x + y − z + 5 = 0 且垂直于已知平面 7 x − y + 4 z − 3 = 0 , 求该平面法线的 的方向余弦.
提示: 已知平面的法向量 n1 = (7 , − 1 , 4) 求出已知直线的方向向量 s = (1 , 1 , 2) 取所求平面的法向量
(a × b ) ⋅ c = 0
2. 空间直线与平面的方程
1) 空间平面 一般式 点法式 截距式
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 )
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
x y z + + =1 a b c x − x1 y − y1
x2 − x1 x3 − x1 y2 − y1 y3 − y1
点 : ( x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n = ( A , B , C ) z − z1
z2 − z1 = 0 z3 − z1
三点式
2) 空间直线
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 一般式 ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 x − x0 y − y0 z − z0 = = 对称式 m n p ⎧ x = x0 + m t ⎪ 参数式 ⎨ y = y0 + n t ⎪ z = z + pt ⎩ 0 ( x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点; s = ( m , n , p ) 为直线的方向向量.
x− x y− y z−z 直线: = = , s = ( m , n , p) p m n m n p = = 垂直： s × n = 0 A B C
平行：
s⋅n = 0
m A + n B + pC = 0
夹角公式：
s⋅n sin ϕ = s n
4). 相关的几个问题
(1) 过直线
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 L: ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
设一平面垂直于 z = 0 ,并通过从点 M 0 (1, − 1,1), 例5. ⎧y − z +1= 0 到直线 L : ⎨ 的垂线, 求此平面的方程 ⎩ x=0 解： M 0 过 作直线与 L 垂直相交, 设交点为M 1 ( x1 , y1 , z1 ), 由 L 的对称式方程 x y z −1 = = =t 0 1 1