斜面上的平抛运动的研究
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2
所以
v0
=
a t
g sin θ a 。 2b
说明：中学阶段研究的曲线运动一定是
两维空间（即平面上的） 情况。因此， 该题首
先分析在斜面上的分运动情况，研究曲线运
动必须首先确定分运动，然后再作处理。
中国科教创新导刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
３１
比为多少？
分析与解：因小球落在斜面上，可知此
时竖直位移和水平位移的关系，设斜面倾
角为θ，则：
ｔａｎθ＝ｙ／ｘ＝（ｇｔ＾２）／２／ｖ０ｔ＝ｇｔ／２ｖ０， 故 ｔＡ／ ｔ Ｂ＝ ｔ ａ ｎ ５ ３ °／ ｔ ａ ｎ ３ ７ °＝ １ ６ ／ ９ 。 例２：如图３所示，在斜面上的Ｏ点先后
以 ｖ ０和 ２ ｖ ０水 平 抛 出 Ａ 、Ｂ 两 小 球 ， 则 从 抛 出 至 第一次着地，两小球的水平位移大小之比
斜面向下，与物体的初速度方向垂直，所以
物 块 的 运 动 可 看 作 是 在 斜 面 上 的“ 平 抛 运
动”， 即沿初速度方向的匀速运动与沿斜面
向下的匀加速运动的合运动，因此坐标系
可巧妙建立在水平和沿斜面两方向上。
解：水平位移ａ＝ｖ０ｔ， 沿 斜 面 向 下 的 位 移ｂ ＝ 1 g sinθt 2 ，
２ｖ ０ｔ ＝ ｇ ｔ ／ ２ ｖ ０， ｔ ＝ ２ ｖ ０ｔ ａ ｎ θ／ｇ ｘ＝ｖ０ｔ＝２ｖ０２ｔａｎθ／ｇ ｘ１∶ｘ２＝ １∶４ 若两小球全落在水平面上，则有
ｘ＝ｖ０ｔ＝ｖ０
， 则 ｘ １∶ｘ ２ ＝ １∶２ 。
若 一 个2球h /落g 在 斜 面 上 ， 另 一 个 球 落 在
水 平 面 上 ，则 １ ／ ２ ＞ ｘ １∶ｘ ２＞ １ ／ ４ 。 故本题应选（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）。
文献标识码： Ａ
文章编号：１６７３－９７９５（２０１０）１２（ｃ）－００３１－０１
高中教材中主要强调的是平抛运动定 义，特点，没有特别介绍斜面上的平抛运动 这 一 部 分 。以 下 我 们 通 过 习 题 的 形 式 让 大 家来掌握斜面上的平抛运动规律以及一些 特殊解法。
1 斜面上的平抛运动一般规律
离为Ｈ＝（ｖ０ｓｉｎθｖ０ｓｉｎθ）／２ｇｃｏｓθ＝（１０× ｓｉｎ３０°）２／（２×１０ｃｏｓ３０°）＝１．４４ｍ。
如图５，光滑斜面长为ａ，宽为ｂ，倾角为
θ，一物块从斜面左上方顶点Ｐ水平入射，
从右下方顶点Ｑ离开斜面，则入射的初速度
为多大？
分析过程：物块在斜面上只受重力和
支持力作用，合外力为Ｆ＝ｍｇｓｉｎθ，方向沿
斜面高度ｈ有关，并且时间ｔ＝ｖ０ 2h / g 。
2 特殊解法求解斜面上的平抛运动
（１）用斜面倾角的正切值求解落在斜面
上的平抛运动问题。
中学物理中，平抛运动是曲线运动的
一 种 典 型 物 理 模 型 。通 常 研 究 平 抛 运 动 时 ，
我们将平抛运动分解成水平方向的匀速直
线运动和竖直方向的自由落体运动两个分
这一条主线入手， 问题就会迎刃而解。现举
例说明，供参考如下。
例 １ ： 如 图 ２ 所 示 ， 相 对 的 左 、右 两 个 斜
面 的 倾 角 分 别为５ ３ °和３ ７ °， 在 斜 面 顶 点 把
两个小球以同样大小的初速度分别向左、
右两边水平抛出，小球均落在斜面上，若不
计空气阻力，则两小球在空中飞行时间之
直”的方法。与此类似， 研究斜面上的平抛运动也运用上述思想， 但有些问题可以没必要浪费大量时间， 利用现有的规律即可短时间高效率
解决问题。因此， 我们必须掌握斜面上的平抛运动规律以及一些特殊解法， 发散思维， 提高物理解题能力。
关键词： 斜面 平抛运动 一般规律 特殊解法
中图分类号： Ｇ ６ ３ ４
可能为： （ＡＢＣ）
（Ａ）１∶２ （Ｂ）１∶３
（Ｃ）１∶４ （Ｄ）１∶５
分析与解：两小球可能全落在斜面上，
也可能全落在水平面上，还有可能一个球
落在斜面上， 另一个球落在水平面上。若两
小球全落在斜面上，则有ｔａｎθ＝ｙ／ｘ＝ｇｔ２／
解速度、位移和加速度， 有时可大大简化计
算的繁杂度，达到事半功倍的效果。
例３也可取沿斜面向下方向为ｘ轴，垂
直于斜面斜向上的方向为ｙ轴，则沿ｙ方向
的初速度为ｖ０ｓｉｎθ，加速度为ａ＝－ｇｃｏｓθ，
做类竖直上抛运动，到离斜面最远所需的
时 间 为 ｔ ＝ ｖ ０／ ａ ＝ ｖ ０ｓ ｉ ｎ θ ／ ｇ ｃ ｏ ｓ θ ＝ｖ ０ｔ ａ ｎ θ ／ ｇ＝１０×ｔａｎ３０°／１０＝０．５７７ｓ，离斜面的最大距
例 ３ ： 如 图 ４ 所 示 ， 斜 面 的 倾 角 θ ＝ ３ ０ °，
一小球从斜面顶点以ｖ０＝１０ｍ／ｓ的初速度做 平抛运动，若不计空气阻力且斜面足够长。
求从抛出开始经过多少时间，小球离斜面
的距离大，最大值为多少？
分析与解：当小球的速度与斜面平行
时小球离斜面最远，可知，此时水平速度与
竖直速度的关系，即：
科 教 研 究
中国科教创新导刊 ２０１０wenku.baidu.com ＮＯ．３６
Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
斜面上的平抛运动的研究
高嘉玮 (哈尔滨师范大学物理与电子工程学院 哈尔滨 1 5 0 02 5 )
摘 要： 我们在解决平抛问题时由于平抛运动水平方向为匀速直线运动， 竖直方向为自由落体运动， 因此研究平抛运动通常采用“化曲为
运动来研究，而平时我们通常会遇到物体
作平抛运动时最终撞击斜面的问题，对于
这类题学生往往因变量较多，感觉无从下
手，或者，偶而有了一点想法，换了一个问
法 又 感 觉 力 不 从 心 。主 要 原 因 是 学 生 并 没
有 掌 握 这 类 题 的 解 题 方 法 。解 决 这 类 题 的
解题方法是抓斜面倾角的正切值，只要从
如 果 物 体 从 斜 面 顶 部 以 速 度 水 平 ｖ０抛 出，若落在斜面上，则可设水平位移ｘ，竖直 位移ｙ，有平抛运动特点可知（图１）：
ｘ ＝ｖ０ｔ y = （ ｇ ｔ＾２）／２
所以，存在ｔａｎθ＝ｙ／ｘ＝（ｇｔ＾２）／２／
图1
图2
图3
图4
图5
ｖ０ｔ＝ｇｔ／２／ｖ０，所以有：ｔ＝２ｖ０ｔａｎθ／ｇ，因此只 要满足物体落到斜面上，那么落在斜面上 所需时间就只与倾角和初速度有关，并且 满足上述关系；水平位移ｘ＝ｖ０ｔ＝２ｖ０２ｔａｎθ／ ｇ；如果物体从斜面顶部以速度水平ｖ０抛 出，若落在斜面之外，则所需时间应该只与
ｔａｎθ＝ｖｙ／ｖ０，ｖｙ＝ｖ０ｔａｎθ， ｔ＝ｖｙ／ｇ＝ｖ０ｔａｎθ／ｇ＝１０×ｔａｎ３０°／１０＝０．５７７ｓ。 （２）巧换坐标解斜面上的平抛运动。
处理斜面上的平抛运动问题的一般方
法是利用运动的合成和分解，熟稔平抛运
动 规 律 及 其 有 用 推 论 。在 常 见“ 斜 面 ”类 平
抛问题求解时，巧妙变换坐标方向，灵活分
所以
v0
=
a t
g sin θ a 。 2b
说明：中学阶段研究的曲线运动一定是
两维空间（即平面上的） 情况。因此， 该题首
先分析在斜面上的分运动情况，研究曲线运
动必须首先确定分运动，然后再作处理。
中国科教创新导刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
３１
比为多少？
分析与解：因小球落在斜面上，可知此
时竖直位移和水平位移的关系，设斜面倾
角为θ，则：
ｔａｎθ＝ｙ／ｘ＝（ｇｔ＾２）／２／ｖ０ｔ＝ｇｔ／２ｖ０， 故 ｔＡ／ ｔ Ｂ＝ ｔ ａ ｎ ５ ３ °／ ｔ ａ ｎ ３ ７ °＝ １ ６ ／ ９ 。 例２：如图３所示，在斜面上的Ｏ点先后
以 ｖ ０和 ２ ｖ ０水 平 抛 出 Ａ 、Ｂ 两 小 球 ， 则 从 抛 出 至 第一次着地，两小球的水平位移大小之比
斜面向下，与物体的初速度方向垂直，所以
物 块 的 运 动 可 看 作 是 在 斜 面 上 的“ 平 抛 运
动”， 即沿初速度方向的匀速运动与沿斜面
向下的匀加速运动的合运动，因此坐标系
可巧妙建立在水平和沿斜面两方向上。
解：水平位移ａ＝ｖ０ｔ， 沿 斜 面 向 下 的 位 移ｂ ＝ 1 g sinθt 2 ，
２ｖ ０ｔ ＝ ｇ ｔ ／ ２ ｖ ０， ｔ ＝ ２ ｖ ０ｔ ａ ｎ θ／ｇ ｘ＝ｖ０ｔ＝２ｖ０２ｔａｎθ／ｇ ｘ１∶ｘ２＝ １∶４ 若两小球全落在水平面上，则有
ｘ＝ｖ０ｔ＝ｖ０
， 则 ｘ １∶ｘ ２ ＝ １∶２ 。
若 一 个2球h /落g 在 斜 面 上 ， 另 一 个 球 落 在
水 平 面 上 ，则 １ ／ ２ ＞ ｘ １∶ｘ ２＞ １ ／ ４ 。 故本题应选（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）。
文献标识码： Ａ
文章编号：１６７３－９７９５（２０１０）１２（ｃ）－００３１－０１
高中教材中主要强调的是平抛运动定 义，特点，没有特别介绍斜面上的平抛运动 这 一 部 分 。以 下 我 们 通 过 习 题 的 形 式 让 大 家来掌握斜面上的平抛运动规律以及一些 特殊解法。
1 斜面上的平抛运动一般规律
离为Ｈ＝（ｖ０ｓｉｎθｖ０ｓｉｎθ）／２ｇｃｏｓθ＝（１０× ｓｉｎ３０°）２／（２×１０ｃｏｓ３０°）＝１．４４ｍ。
如图５，光滑斜面长为ａ，宽为ｂ，倾角为
θ，一物块从斜面左上方顶点Ｐ水平入射，
从右下方顶点Ｑ离开斜面，则入射的初速度
为多大？
分析过程：物块在斜面上只受重力和
支持力作用，合外力为Ｆ＝ｍｇｓｉｎθ，方向沿
斜面高度ｈ有关，并且时间ｔ＝ｖ０ 2h / g 。
2 特殊解法求解斜面上的平抛运动
（１）用斜面倾角的正切值求解落在斜面
上的平抛运动问题。
中学物理中，平抛运动是曲线运动的
一 种 典 型 物 理 模 型 。通 常 研 究 平 抛 运 动 时 ，
我们将平抛运动分解成水平方向的匀速直
线运动和竖直方向的自由落体运动两个分
这一条主线入手， 问题就会迎刃而解。现举
例说明，供参考如下。
例 １ ： 如 图 ２ 所 示 ， 相 对 的 左 、右 两 个 斜
面 的 倾 角 分 别为５ ３ °和３ ７ °， 在 斜 面 顶 点 把
两个小球以同样大小的初速度分别向左、
右两边水平抛出，小球均落在斜面上，若不
计空气阻力，则两小球在空中飞行时间之
直”的方法。与此类似， 研究斜面上的平抛运动也运用上述思想， 但有些问题可以没必要浪费大量时间， 利用现有的规律即可短时间高效率
解决问题。因此， 我们必须掌握斜面上的平抛运动规律以及一些特殊解法， 发散思维， 提高物理解题能力。
关键词： 斜面 平抛运动 一般规律 特殊解法
中图分类号： Ｇ ６ ３ ４
可能为： （ＡＢＣ）
（Ａ）１∶２ （Ｂ）１∶３
（Ｃ）１∶４ （Ｄ）１∶５
分析与解：两小球可能全落在斜面上，
也可能全落在水平面上，还有可能一个球
落在斜面上， 另一个球落在水平面上。若两
小球全落在斜面上，则有ｔａｎθ＝ｙ／ｘ＝ｇｔ２／
解速度、位移和加速度， 有时可大大简化计
算的繁杂度，达到事半功倍的效果。
例３也可取沿斜面向下方向为ｘ轴，垂
直于斜面斜向上的方向为ｙ轴，则沿ｙ方向
的初速度为ｖ０ｓｉｎθ，加速度为ａ＝－ｇｃｏｓθ，
做类竖直上抛运动，到离斜面最远所需的
时 间 为 ｔ ＝ ｖ ０／ ａ ＝ ｖ ０ｓ ｉ ｎ θ ／ ｇ ｃ ｏ ｓ θ ＝ｖ ０ｔ ａ ｎ θ ／ ｇ＝１０×ｔａｎ３０°／１０＝０．５７７ｓ，离斜面的最大距
例 ３ ： 如 图 ４ 所 示 ， 斜 面 的 倾 角 θ ＝ ３ ０ °，
一小球从斜面顶点以ｖ０＝１０ｍ／ｓ的初速度做 平抛运动，若不计空气阻力且斜面足够长。
求从抛出开始经过多少时间，小球离斜面
的距离大，最大值为多少？
分析与解：当小球的速度与斜面平行
时小球离斜面最远，可知，此时水平速度与
竖直速度的关系，即：
科 教 研 究
中国科教创新导刊 ２０１０wenku.baidu.com ＮＯ．３６
Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
斜面上的平抛运动的研究
高嘉玮 (哈尔滨师范大学物理与电子工程学院 哈尔滨 1 5 0 02 5 )
摘 要： 我们在解决平抛问题时由于平抛运动水平方向为匀速直线运动， 竖直方向为自由落体运动， 因此研究平抛运动通常采用“化曲为
运动来研究，而平时我们通常会遇到物体
作平抛运动时最终撞击斜面的问题，对于
这类题学生往往因变量较多，感觉无从下
手，或者，偶而有了一点想法，换了一个问
法 又 感 觉 力 不 从 心 。主 要 原 因 是 学 生 并 没
有 掌 握 这 类 题 的 解 题 方 法 。解 决 这 类 题 的
解题方法是抓斜面倾角的正切值，只要从
如 果 物 体 从 斜 面 顶 部 以 速 度 水 平 ｖ０抛 出，若落在斜面上，则可设水平位移ｘ，竖直 位移ｙ，有平抛运动特点可知（图１）：
ｘ ＝ｖ０ｔ y = （ ｇ ｔ＾２）／２
所以，存在ｔａｎθ＝ｙ／ｘ＝（ｇｔ＾２）／２／
图1
图2
图3
图4
图5
ｖ０ｔ＝ｇｔ／２／ｖ０，所以有：ｔ＝２ｖ０ｔａｎθ／ｇ，因此只 要满足物体落到斜面上，那么落在斜面上 所需时间就只与倾角和初速度有关，并且 满足上述关系；水平位移ｘ＝ｖ０ｔ＝２ｖ０２ｔａｎθ／ ｇ；如果物体从斜面顶部以速度水平ｖ０抛 出，若落在斜面之外，则所需时间应该只与
ｔａｎθ＝ｖｙ／ｖ０，ｖｙ＝ｖ０ｔａｎθ， ｔ＝ｖｙ／ｇ＝ｖ０ｔａｎθ／ｇ＝１０×ｔａｎ３０°／１０＝０．５７７ｓ。 （２）巧换坐标解斜面上的平抛运动。
处理斜面上的平抛运动问题的一般方
法是利用运动的合成和分解，熟稔平抛运
动 规 律 及 其 有 用 推 论 。在 常 见“ 斜 面 ”类 平
抛问题求解时，巧妙变换坐标方向，灵活分