浙江财经大学微积分(下册)总复习

变量还原 sin y cx x
一阶线性非齐次微分方程 y' P(x)y Q(x). 的通解为
y e P(x)dx[ Q(x)e P(x)dxdx C]
(3)求方程 y 1 y sin x 的通解。 xx
解： P( x) 1 , Q( x) sin x ,
1、第一换元法：凑微分（解决复合函数求
积分）
凑内层函数的导数
已知 f ( x)dx F( x) C,
f[(x)]'(x)dx f[(x)]d(x) F[(x] C
复合函数 凑内层函数的导数
1) (2x 1)5 dx 1 (2x 1)5(2x 1)'dx 2
(1) ax b 可令 ax b =t
(2) a2 x2 可令
(3) a2 x2 可令 (4) x2 a2 可令
x a sin t; x a tant;
x asect.
5
1
2) 1
1

dx x1
解：令t x 1; x 1 t 2;dx d(1 t 2 ) 2tdt

lim
x0
f ( x0
x, y0 ) x
f ( x0 ,
y0 )
(4)z
f ( xy,
x y
),
求：z
' x
,
z'y
(5)z x y;求:z"xy
（6）求由方程 sin z xyz 所确定的隐函数z=f(x,y)的偏 导数。
隐函数求导
Th1：由方程F(x,y)=0确定的函数y=f(x)称作隐函数，
其导函数为： f
'(
x)


Fx' Fy'
Th2：由方程F(x,y,z)=0确定的函数z=f(x,y)称作隐函数，
x = 1时, t = 0;x = 5时, t = 2
2
原式=
2t
dt
2 t 11
=2
dt
2
=2 (1
1
)dt
0 1t
0 1t
0 1 t
=2(t-ln|1+t|) 2 =2(2-ln3) 0
2)' 1 1 dx.
0 1 x2
解：令 x tan t, dx sec2 tdt,
补充公式：
tan xdx ln | cos x | C; cot xdx ln | sin x | C sec xdx ln | sec x tan x | C csc xdx ln | csc x cot x | C
三、求积分（6分*3=18分）
方程的特解为即cos x ey 0
奇次微分方程---变量代换
形如 dy f ( y ) dx x
基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程
作变量代换
即 y xu, dy u x du ,
dx
dx
代入原式 u x du f (u),
dx
即 du f (u) u . dx x
D
c
1 ( y )
(1) x yd ,其中D是由两条抛物线y x,
D
y x2所围成的区域
解 积分区域下图所示
1
x
x
yd xdx
0
x2
ydy
D

x

[2 3
y
3 2
]
x x2
dx
D

12 ( 03
7
x4

2x4 )dx 3

6 55
(2) ( x2 y2 x)d ,其中D是由直线y 2, y x
f
' x
(
x0
,
y0
)

0，f
' y
(
x0
,
y0 )

0
记
f
" xx
(
x0
,
y0 )

A，f
" xy
(
x0
,
y0 )

B，f
" yy
(
x0
,
y0 )

C
则f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的条件如下：
（1） B2 AC 0 时具有极值,
当A<0时有极大值,当A>0时有极小值;
（2） B2 AC 0 时没有极值;
13 6
六、微分方程计算
g(y)dy f (x)dx
（1）求：dy ey sin x的通解和满足 x = 0, y = 0的特解。 dx
解：分离变量 dy ey

sin xdx
两边同时积分 eydy sin xdx
ey cos x C
即cos x ey C是方程的通解 x 0, y 0时，C 0
由

Lp1
Lp2

0.4 p1 0.1 p2
32 12

0 0
( 80,120 ).
A
L" p1 p1
0.4; B
L" p1 p2
0;C

L" p2 p2

0.1
B2 AC 0.04 0 ( 80,120 ) 是唯一极大值点
也是最大值点；L(80,120)=605
1 2
(2x 1)5 d(2x 1)
(2 x 1)6 C
12

5
1 x
dx 3

1 5

1 5x
(5x 3

3)'
dx

1 ln | 5x 3 | C 5
1 5

1 5x
3
d
(5x

3)
x2e x3 dx
(ln x)3

dx x
2.第二换元法：变量代换
3) xexdx.
1) x ln xdx 2) xarcsin xdx
3) x arctan xdx.
| b
b
b
u( x)dv( x) u( x)v( x) v( x)du( x)
a
aa
1
1
(1) xe xdx x
ex
1
'
dx
xde x
其导函数为：z'x Fx' / Fz' , z'y Fy' / Fz'
(1)求由方程 e y 2 x y 所确定的隐函数y=f(x)的导函数。
(2)求由方程 sin z xyz 所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数。
五、重积分的计算
（1）X-型区域 D=｛(x,y)| a x b, 1( x) y 2( x). ｝
x 0 t 0, x 1 t ,
4


原式 4 sec tdt (ln | sec t tan t |) 4
0
0
ln( 2 1)
3.分部积分：
uv'dx udv uv vdu.
1) x cos xdx 2) xsin xdx
1
y
yx
Vx ( x2 ( x2 )2 )dx
0

(
x3

x5
1
)

2
3 5 15 0
o
x
x2
y x2
1
x
Vx
b[外边界2 -内边界2 ]dx
a
多元函数取极值的充分条件
• 定理(充分条件): 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻 域内连续、存在二阶连续偏导数,且
x
x
y

e
1 x
dx

sin x
x

e

1 dx
x dx

C


e
ln
x


sin x
x

eln
xdx

C


1 x

sin
xdx

C

1 cos x C .
x
七、综合应用题
• 1. 求在直角坐标系下平面图形的面积。
b
d
A [上边界 下边界]dx A [右边界 左边界]dy
e
e

1 2
(
x2
ln
x
1 1 e

x2 2
1
)
1
1 4
31 4 e2
e
四、求偏导数或全微分 dz z'x(x, y)dx z'y(x, y)dy
(1)z arctan y ;求:dz x
(2)z f (xy);求:z'x , z'y
(3)z exy cos( x y),求：z'x , z'y
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
D
a
1( x)
（2）Y-型区域 D=｛(x,y)| c y d , 1( y ) x 2( y ). }
f ( x, y )d
d
dy
2 ( y ) f ( x , y )dx .
（3） B2 AC 0 不能确定,还需另作讨论。
练习
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，销售
价分别为 p1 和 p2 ，销售量分别为 q1 和 q2 ，需求
函数分别为 q1 24 0.2 p1 和 q2 10 0.05 p2 总成本函数为 C 35 40( q1 q2 )
(2)若 D {( x , y ) | 1 x2 y2 4 }, d 3
D
（3）：交换积分顺序
1
x
1
y
dx f ( x, y )dy
0
x2
dy f ( x, y )dx
0
y
Ch7多元函数微分
定义（分段函数在分界点导数）
z
' x
(
x0
,
y0
)

z lim x0 x
a
c
绕 x 轴旋转一周
2. 旋转体的体积

绕 y 轴旋转一周
Vx
b [外边界2 -内边界2 ]dx
a
1)求由y x2, y x,围成的图形的面积；
此图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积Vx .
解：A
1
(x
x2 )dx
x2 (

x3 1 )

1
0
23 6 0
Ch6 微分方程 (1)(y' )2 ( y" )3 y xy4 0是几阶的，线性非线性的 微分方程。 （二阶非线性）
( 2 )求微分方程y' ln x 的通解。（分离变量） xy
y2 ln2 x C
Ch8 二重积分
（1）求 z 2x f x , y d 的偏导数 z'x , z'y D 解： z'x 2; z'y 0
xe x
11
exdx
0
0
0
0
0
xex 1 ex 1 1
0
0
1
(2)
x ln
xdx

1
1
ln
x
( x2 )' dx
1 1 ln xdx2
1
21
21
e
e
e

1 2
(x2
ln
x
1 1 e

1 1
x2d
ln
x)

1 2
(x2
ln
x
1 1 e

1 1
xdx)
下册 总复习
考试题型：
一、选择题（2分*5=10分） 二、填空题（2分*10=20分） 三、求积分（6分*3=18分） 四、求偏导数（6分*4=24分） 五、求解微分方程（7分） 六、求二重积分（7分） 七、综合应用题（7分*2=14分）
1、定积分的应用（求面积，求体积） 2、最大利润（二元函数求极值）
可分离变量的方程
（2）求：dy y tan y 的通解。
dx x
x
解： 作变量代换 u y , 即 y xu, dy u x du ,
x
dx
dx
代入原式 u x du u tanu,
dx
分离变量 cot udu dx ; x

cot
udu


dx; x
ln | sinu | ln | x | lnC; sinu cx
D
及y 2x所围成的闭区域..
解 积分区域如下图所示
y
( x2 y2 x)d
D
D

2
dy
0
y
y(
x
2

y2

x)dx
2
o
x

2 x3 [ 03

y2x

x2 ]
2
y y
dy

2 19 (
y3

3
y 2 )dy
0 24 8
2

[19 24

1 4
y4

1 8
y3]
2 0
基本积分表：
1) kdx kx C
2) x dx x 1 ( 1) 1 1
3) x dx ln | x | C
4)
1
1 x
2
dx
arctan x C
8)
dx cos2
x


sec2
xdx

tan
x
Байду номын сангаас
C;
9)

dx sin2
x


csc2
xdx


cot
x

C;
10) sec x tan xdx sec x C;
5) 1 dx arcsin x C 11) csc x cot xdx csc x C; 1 x2
6) cos xdx sin x C; 12) exdx ex C;
7) sin xdx cos x C; 13) axdx ax C; ln a
问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使其获得总 利润最大？最大总利润是多少？
练习解答
L( p1 , p2 ) R( p1 , p2 ) C( p1 , p2 )
p1q1 p2q2 [ 35 40( q1 q2 )]
0.2 p12 32 p1 0.05 p22 12 p2 1395