图的定义和术语

生成森林:一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成,含有图 生成森林:一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成, 中全部的结点,但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧. 中全部的结点,但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧. A B C F F E D E 图7.5 一个有向图及其生成森林 A B D C
(B, E), (C, D), (D, F), (B, F), (C, F) }
由顶点集和边 集构成的图称 作无向图.
B A F
C D E
15
A
21 2
9 11
弧或边带权的图
B
3
7
E
有向网或 分别称作有向网 有向网 无向网. 无向网
C
F B A E C A
设图G=(V,{VR}) 和 图 G′=(V′,{VR′}), B 且 V′V, VR′VR, 子图. 则称 G′ 为 G 的子图 子图
一般地,如果顶点 的度记为TD(vi),那么一个有 个顶点,e条 个顶点, 一般地,如果顶点vi的度记为 ,那么一个有n个顶点 条
1 边或弧的图,满足如下关系: 边或弧的图,满足如下关系:e = 2
n
∑ TD ( v
i =1
i
)
路径( ):在无向图 中从顶点v到顶点 路径(Path):在无向图 ):在无向图G=(V, {E})中从顶点 到顶点 的一个顶点序列 中从顶点 到顶点v'的一个顶点序列 (v = vi,0, vi,1, …, vi,m = v'),其中 i,j-1, vi,j)∈E,1≤j≤m.若G是有向图,则路 是有向图, ,其中(v ∈ , ≤≤ . 是有向图 径也是有向的,顶点序列满足<v 径也是有向的,顶点序列满足 i,j-1, vi,j>∈E,1≤j≤m. ∈ , ≤≤ . 路径的长度:路径上的边或弧的数目. 路径的长度:路径上的边或弧的数目. 回路或环(Cycle):第一个顶点和最后一个顶点相同的路径. ):第一个顶点和最后一个顶点相同的路径 回路或环( ):第一个顶点和最后一个顶点相同的路径. 简单路径:序列中顶点不重复出现的路径. 简单路径:序列中顶点不重复出现的路径. 简单回路或简单环:除了第一个顶点和最后一个顶点之外, 简单回路或简单环:除了第一个顶点和最后一个顶点之外,其余顶点不 重复出现的回路. 重复出现的回路. 连通:在无向图 中 如果从顶点v到顶点 有路径,则称v和 是连通的 到顶点v'有路径 是连通的. 连通:在无向图G中,如果从顶点 到顶点 有路径,则称 和v'是连通的. 连通图( ):对于图中任意两个顶点 连通图(Connected Graph):对于图中任意两个顶点 i, vj∈V,vi和vj都 ):对于图中任意两个顶点v , 是连通的图. 是连通的图. 连通分量( ):指无向图中的极大连通子图 连通分量(Connected Component):指无向图中的极大连通子图. ):指无向图中的极大连通子图.
表示图中顶点数目, 表示边或弧的数目 表示边或弧的数目. 若,用n表示图中顶点数目,用e表示边或弧的数目.且不考 表示图中顶点数目 虑顶点到其自身的边或弧,即若<v 那么, 虑顶点到其自身的边或弧,即若 i, vj>∈VR,则vi≠vj.那么, ∈ , 对于有向图, 的取值范围是 的取值范围是0到 对于有向图,e的取值范围是 到 取值范围是0到n(n-1). 取值范围是 到 - . 无向完全图( ):有 无向完全图(Completed graph):有 ):
由于"弧"是有方向的,因此称由顶点 集和弧集构成的图为有向图 有向图. 有向图
例如: 例如: G1 = (V1, VR1)
A B C D E 其中 V1={A, B, C, D, E} VR1={<A,B>, <A,E>,
<B,C>, <C,D>, <D,B>, <D,A>, <E,C> }
若<v, w>∈VR 必有<w, v>∈VR, 则称 (v,w) 为顶点 v 和顶点 w 之间存在一条边. 边 例如: G2=(V2,VR2) V2={A, B, C, D, E, F} VR2={(A, B), (A, E),
1 n ( n 1) 2 1 n ( n 1) 2
;对于无向图,e的 对于无向图, 的
条边的无向图. 条边的无向图.
有向完全图: 条弧的有向图. 有向完全图:有n(n-1)条弧的有向图. - 条弧的有向图 稀疏图( ):有很少条边或弧 稀疏图(Sparse graph):有很少条边或弧(如e < nlogn)的图.反之称为稠密 ):有很少条边或弧( )的图. 图(Dense graph). ). 且 子图(Subgraph):有两个图 ):有两个图 子图( ):有两个图G=(V, {E})和G'=(V', {E'}),如果 V且E' E, 和 ,如果V' 则称G'为 的子图 的子图. 则称 为G的子图. V1 V1 V1 V1 V2
(a) 有向图 1 有向图G G1=(V1, { A1}) 其中: 其中:V1 = {v1, v2, v3, v4} A1 = {<v1, v2>, <v1, v3>, <v3, v4>, <v4, v1>} (b) 无向图 2 无向图G G2=(V2, { E2}) 其中: 其中:V2 = {v1, v2, v3, v4, v5} E2 = {(v1, v2), (v1, v4), (v2, v3), (v2, v5), (v3, v4), (v3, v5)} (3)相关术语 ) 顶点(Vertex):图中的数据元素. ):图中的数据元素 顶点(Vertex):图中的数据元素. ):若 表示从v到 的一条弧 的一条弧. 弧(Arc):若<v, w>∈VR,则<v, w>表示从 到w的一条弧. ): ∈ , 表示从 弧尾( ):弧 的一个顶点v. 弧尾(Tail)或初始点(Initial node):弧<v, w>的一个顶点 . )或初始点( ): 的一个顶点 弧头( ):弧 的一个顶点w. 弧头(Head)或终端点(Terminal node):弧<v, w>的一个顶点 . )或终端点( ): 的一个顶点 有向图( ):由弧和顶点组成 有向图(Digraph):由弧和顶点组成. ):由弧和顶点组成. ):若 必有<w, v>∈VR,即VR是对称的,则以 是对称的, 边(Edge):若<v, w>∈VR必有 ): ∈ 必有 ∈ , 是对称的 无序对(v, 代替这两个有序对 表示v和 之间的一条边 代替这两个有序对, 之间的一条边. 无序对 w)代替这两个有序对,表示 和w之间的一条边. 无向图( ):由边和顶点组成 无向图(Undigraph):由边和顶点组成. ):由边和顶点组成.
D G I A C F I L (a) 无向图 3 无向图G G3 D G J E H K M L B A C F J
E H K B
M (b) G3的3个连通分量 个连通分量
图7.3 无向图及其连通分量
强连通图:在有向图 中 如果对于每一对v 强连通图:在有向图G中,如果对于每一对 i, vj∈V,vi≠vj, , 都存在路径,则称G是强连通图 是强连通图. 从vi到vj都存在路径,则称 是强连通图. 强连通分量:有向图中的极大强连通子图. 强连通分量:有向图中的极大强连通子图. 生通图的生成树是一个极小连通子图.它含有图 中全部顶点,但只有足以构成一棵树的n-1条边. 中全部顶点,但只有足以构成一棵树的 A C F J L 图7.4 M G3的最大连通分量的一棵生成树 B
7.1图的定义和术语 图的定义和术语 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历 7.4 图的连通性问题 7.5 有向无环图及其应用 7.6 最短路径
￡7.1 图的定义和术语
(1)形式化定义 ) Graph = (V, R) V = {x | x∈dataobject} ∈ R = {VR} VR = {<v, w> | P(v, w)∩( v, w∈V)} ∈ (2)图形表示 ) G1
是一种较线性表和树更为复杂的数据结构. 图(Graph)是一种较线性表和树更为复杂的数据结构 是一种较线性表和树更为复杂的数据结构 在线性表中,数据元素之间仅有线性关系 每个元素只有一个直 在线性表中 数据元素之间仅有线性关系,每个元素只有一个直 数据元素之间仅有线性关系 接前驱和一个直接后继; 接前驱和一个直接后继 在树形结构中,数据元素之间有着明显的层次关系 并且每一层 在树形结构中 数据元素之间有着明显的层次关系,并且每一层 数据元素之间有着明显的层次关系 上的数据元素可能和下一层中多个元素(即其孩子结点 相关 上的数据元素可能和下一层中多个元素 即其孩子结点)相关 但只能和 即其孩子结点 相关,但只能和 上一层中一个元素(即其双亲结点 相关 上一层中一个元素 即其双亲结点)相关 即其双亲结点 相关; 而在图形结构中,结点之间的关系可以是任意的 图中任意两个 而在图形结构中 结点之间的关系可以是任意的,图中任意两个 结点之间的关系可以是任意的 数据元素之间都可能相关. 数据元素之间都可能相关 由此,图的应用极为广泛 特别是近年来的迅速发展 由此 图的应用极为广泛,特别是近年来的迅速发展 已渗入到诸 图的应用极为广泛 特别是近年来的迅速发展,已渗入到诸 如语言学\逻辑学 物理 化学\电讯工程 如语言学 逻辑学\物理 化学 电讯工程 计算机科学以及数学的其他分支 逻辑学 物理\化学 电讯工程\计算机科学以及数学的其他分支 中.
V1 V2 V1
//顶点的有穷非空集合 顶点的有穷非空集合 //两个顶点之间的关系集合 两个顶点之间的关系集合 G2
V2
V3 V3
图由结点及边 (弧)组成 与树的 组成,与树的 弧 组成 主要区别在于 图可以有回路
V4 V4 V5 (b) 无向图 2 无向图G
(a) 有向图 1 有向图G
图7.1 图的示例
V3
V3
V4
V3
V4
(a) 图7.1中G1的子图 中
V1
V1 V3
V2
V1
V2
V1 V3
V2
V4
V4
V5
V4
V5
(b) 图7.1中G2的子图 中 图7.2 子图示例 对于无向图 互为邻接点 对于无向图G=(V, {E}),如果边 v')∈E,则称顶点 和v'互为邻接点 无向图 ,如果边(v, ∈ ,则称顶点v和 互为 依附( (Adjacent).边(v, v')依附(Incident)于顶点 和v',或者说 v') 和顶 ) 依附 )于顶点v和 ,或者说(v, 相关联. 点v和v'相关联. 和 相关联 指和顶点v相关联的边的数目 记为TD(v). 相关联的边的数目, 度:指和顶点 相关联的边的数目,记为 . 对于有向图 邻接到顶点v', 对于有向图G=(V, {A}),如果弧 有向图 ,如果弧<v, v'>∈A,则称顶点 邻接到顶点 , ∈ ,则称顶点v邻接到顶点 顶点v'邻接自顶点 邻接自顶点v. 和顶点v, 相关联 相关联. 顶点 邻接自顶点 .弧<v, v'>和顶点 ,v'相关联. 和顶点 入度(InDegree):以顶点v为头的弧的数目,记为ID(v). 入度( ):以顶点 为头的弧的数目,记为 . ):以顶点 为头的弧的数目 出度( ):以顶点 为尾的弧的数目, 出度(OutDegree):以顶点 为尾的弧的数目,记为 ):以顶点v为尾的弧的数目 记为OD(v). . 有向图中,顶点 的度为 的度为TD(v)=ID(v)+OD(v). 有向图中,顶点v的度为 = + .
由生成树的定义易知: 由生成树的定义易知: 一棵有n个顶点的生成树有且仅有 个顶点的生成树有且仅有n- 条边 条边. ①一棵有 个顶点的生成树有且仅有 -1条边. 如果一个图有n个顶点和小于 个顶点和小于n- 条边 则是非连通图. 条边, ②如果一个图有 个顶点和小于 -1条边,则是非连通图. 如果一个图有n个顶点和大于 个顶点和大于n- 条边 则一定有环. 条边, ③如果一个图有 个顶点和大于 -1条边,则一定有环. 条边的图不一定是生成树. ④有n-1条边的图不一定是生成树. - 条边的图不一定是生成树