现代控制理论离散系统

bn
N(z) D(z)
在N(z)/D(z)的串联分解中引入中间变量Q(z)
u
1
zn
a z n1 n1
a1z
a0
z
zn1 n1
1z 0
y
可以得到
znQ(z) an1zn1Q(z) a1zQ(z) a0Q(z) U (z)
Y (z) n1zn1Q(z) 1Q(z) 0Q(z)
设 X1(z) Q(z)
rank S’1=n 或矩阵S’1的行列式不为零
detS’1≠0 或矩阵S’1是非奇异的
由于满秩矩阵与另一满秩矩阵Gn相乘其秩 不变， 故
rankS1'
rank[G
n
S' 1
]
rank G h n1 Gh h n
交换矩阵的列，且记为S1其秩也不变，故有
rankS1 rankh Gh G h n1 n
G1h G2h
u(0)
Gnh
u(1)
u(n 1)
记
S' 1
G h 1
G2h
Gnh
称S’1为n×n可控矩阵。由线性方程组解的 存在性定理可知，当矩阵s’1的秩与增广矩 阵[S’|x(0)]的秩相等时，方程组有唯一解， 否则无解。在x(0)为任意的情况下，使方程 组有解的充分必要条件是矩阵S’1满秩，即
线性定常多输入—多输出离散系统的动态方程为
x(k 1) Gx(k) Hu(k) y(k) Cx(k) Du(k)
（2）定常连续动态方程的离散化
已知定常连续系统动态方程
•
x Ax Bu
在x(t0)及u(t)作用下的解为
x(t
)
(t
t0
)
x(t0
)
tt 0
(t
)
Bu(
)d
令
t0 kT
则
y(k) C(k)x(k) D(k)u(k)
若对初始时刻 l Tk 的任一非零初始状态 x(l) x0 都存在有限时刻 m Tk , m l ,且可由[l, m] 上的输出 唯一的确定X0,则称此系统在时刻 l 是完全可控的
动态方程为
x1(k 1) x2 (k) x2 (k 1) x3 (k) xn1(k 1) xn (k ) xn (k 1) a0 x1(k) a1x2 (k) an1xn (k) u(k)
y(k) 0 x1(k ) 1x2 (k) n1xn (k )
向量—矩阵形式为
x1(k 1) 0 1 0 0 x1(k) 0
式中 (T ) 与连续系统状态转移矩阵(T ) 的
关系为
(T ) (t) tT
离散化系统的输出方程仍为
y(k) Cx(k) Du(k)
二 线性定常离散事件系统的可控性与可观性
1 线性定常离散系统的可控性 （1）定义：n阶线性定常离散系统
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
若存在控制序列 u(k),u(k 1) u(l 1)能将第 k步的某个状态在第 l步到达零状态，及 x(l )=0,其中 l 是大于k 的有限数，那么就称 此状态是能控的。若系统在第k 步上的所 有状态都是能控的，那么此系统是能控的， 称为能控系统
X 2 (z) zQ(z) zX1(z) X n (z) z n1Q(z) zX n1(z)
则
znQ(z) a0 X1(z) a1X 2 (z) an1X n (z) U (z)
Y (z) 0 X1(z) 1 X 2 (z) n1 X n (z) 利用z反变换关系
Z [1 X i (z)] xi (k ) Z [1 zX i (z)] xi (k 1)
考虑初始条件为零时的z变换关系有
(z)
对式两端取z变换加以整理，可得
G(z)
Y (z)
bnzn
bn
z n1
1
b1z b0
U (z)
zn
an
z n1
1
a1z a0
bn
zn
z n1 n1
1z
0
a z n1 n1
a1z
a0
x2
(k
1)
0
0
1
0
x2
(k
)
0
u(k)
xn1 (k
1)
0
0
0
1
xn1
(k
)
0
xn (k 1) - a0 - a1 - a2 - an-1xn (k) 1
y(k) 0 1 n1x(k) bnu(k)
简记为
x(k 1) Gx(k) hu(k) y(k) cx(k) du(k)
由于此式避免了矩阵求逆，在判断系统的 可控性时比较方便
（2.2）对于多输入系统，设系统的状态方程 为
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
可控性判据通常使用
rankS2 rankH GH Gn1 H n
2线性离散定常系统的可观性 （1）可观性定义 设离散系统为
x(k 1) G(k)x(k) H (k)u(k)
（1）由差分方程建立动态方程 在经典控制理论中离散时间系统通常用差 分方程或脉冲传递函数来描述。单输入— 单输出线性定常差分方程的一般形式为
yk n an 1 yk n 1 a yk 1 a0 yk 1
b uk n bn u 1 k n 1 b0uk k 0, 1, 2, n
（2）可控性判据 （2.1）设单输入线性定常系统的状态方程为
x(k 1) Gx(k) hu(k)
状态方程的解为
x(k
)
Gk
x(0)
G k 1
k
1i
hu(i)
i0
根据可控性定义，假定k=n时，x(n)=0,将式 两端左乘G-n则有
x(0) n1G1ihu(i) i0 [G1hu(0) G2hu(1) Gnhu(n 1)]
一 线性离散定常系统状态方程的建立 二 线性离散定常系统能控能观性
一 线性离散系统状态表达式的建立及方程
1 离散系统的特点 系统中的各个变量被处理成为只在 离散时刻取值，其状态空间描述只 反映离散时刻的变量组间的因果关 系和转换关系，因而这类系统通常 称为离散时间系统，简称为离散系 统。
2 线性离散系统的动态方程可以利用系统的 差分方程建立，也可以利用线性连续动态 方程的离散化得到
x(t0) x(kT ) x(k)
在区间 t [k,k 1) 内，u(t) u(k) 常数，于 是其解化为
x(k 1) [(k 1)T kT ]x(k) k(Tk1)T [(k 1)T ]Bd • u(k)
记 G(t) k(Tk1)T [(k 1)T ]Bd
故离散化状态方程为
x(k 1) (T )x(k) G(T )u(k)