基于响应面方法的有限元模型修正
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修正模型对航空航天结构的动力学研究，比如确保响应计算、载荷预估、动稳定性分析 以及动力学优化设计等的分析精度具有重要意义，是结构动力学研究领域内的热点问题之一。 目前所发展的模型修正方法大多只适用于线性系统、低频情况，为了适应复杂结构模型修正 的要求，需要发展适用于非线性、高频率等的模型修正方法。
响应面方法是利用多元多项式模型或非多元多项式模型（如人工神经网络）来描述系统 变量和响应特征之间的复杂关系，从而替代有限元仿真和其他复杂模型进行更有效设计或计 算的方法。
试验的测量结果进行比较； 2. 用离散集中质量模拟结构的结构和非结构质量特性。 4 算例 为了检验本文所提方法的正确性，利用了一个航空工程中常见的加筋板结构的动力学有 限元模型修正作为考核算例。由于对模型进行了质量离散化处理，其动力学有限元模型（见 图 4-1）共有 14 个节点(13，14，15，三个节点固支)，8 个板元素，4 个梁元素（元素号 9~12， 从约束端向外），14 个离散质量元素。
于变量数不多的情况。
2.2 中心点复合设计
中心点符合设计用于响应面设计，可以回归拟合一阶、二阶或更高阶模型。它一般是由 2k
析因设计添加 2k 个坐标轴点（ ± α ,0,...,0) ），（ 0,±α ,0,...,0) ，...，（ 0,...,0 ± α ) ）和 nc 个中心点
(0,0,...,0) 所组成，α 是可以调整的参数，恰当的选择α 可以使中心复合设计具有可旋转性或
（
x1i
,
x
i 2
,...,
x
i k
,
y
i
），i=1,…,n
（1）
具有 k 个独立的设计变量（ x1 ,..., xk ）
设计变量和响应特征之间的数学关系可表示为：
y( x) = f ( x1 ,..., xk ) + ε
（2）
其中ε 为统计误差，一般假设它满足均值为零的正态分布，若利用二次 Taylor 级数对响
( yi
−
y
p i
)
2
i =1
n
n
∑ ∑ SST =
y
2 i
−
(
y( p) i
)2
/
n
i =1
i =1
Ra2
=
SS E /(n − nrc − 1) SST (n − 1)
∑ ∑ RMSE =
1 n
n
( yi
i =1
−
y
( i
p)
)
2
/
1 n
n i =1
yi
RMSE的大小代表了响应面的精度，可根据实际情况确定，R2判定系数代表了响应面与
MAC 修正频率
MAC
HZ
HZ
%
%
1 19.22 21.61 12.43 0.99 19.22 0.00 1.00
2 41.55 42.65 2.65 0.97 41.55 0.00 1.00
3 85.51 87.79 2.67 0.98 85.51 0.00 1.00
修正前后修正参数的变化见表 4.3：
图 5.1 机翼动力学有限元模型
设计模型时，用梁元在机翼根部模拟了机翼与机身的弹性连接，其刚度只是近似的给出， 是误差存在的主要区域。由于利用桁条和翼肋模拟了机翼的厚度特征即气动外形，因此用于 模拟桁条和翼肋的梁元的几何参数不作为修正变量。
修正时，选择根部 5 个梁元素（图 5.1 中加粗的 5 个元素）的特性（梁的 I11 、I 22 ，J ） 为可选修正变量，灵敏度分析后，共选择了 13 个修正变量，修正前的频率和模态相关性见表 5-2，以前 6 阶频率为修正的目标。
图 4-1 加筋板有限元模型
选择梁元的截面惯性矩为修正变量以 9-11 号单元为设计变量，其参数引入了随机误差， 构造成待修正模型，假定由参数变化前的有限元模型分析得到的模态为试验模态，试验频率 见表 4-1，以前三阶频率为响应特征。
试验设计选择拉丁超立方体方法，对于 3 个变量的情形，共有 60 个设计点，利用四阶
正交性，或是正交旋转性等各种特征。 2.3 BBD 设计
和 CCD 相近，BBD 也是具有旋转性的响应面设计方法之一，他的设计点除中心点外，其 他设计点到中心带内的距离相同。但 BBD 对设计空间的顶点预测不准，由于 BBD 设计只有 3 个水平，若想获得高次的响应面，则需要旋转性、正交性再添加设计点。 2.4 正交设计
正交设计（Orthogonal Array）是试验设计最常用的方法之一，正交设计具有“均衡分散性” 和“整齐可比性”两个特点，用于响应面建模时需要使用较多的水平。 3 模型修正方法
有限元模型修正技术作为力学界的一个热点问题，国内外学者对其进行了大量的研究， 提出了很多的有限元模型修正方法。就修正对象的不同，这些方法可分为矩阵型方法和参数
然后利用 LMS Virtual.Lab 的优化设计功能，进行试验设计（设计点的响应计算由 LMS Virtual.Lab 驱动 MSC.Nastran 进行），响应面拟合和优化求解计算。
结构有限元修正过程中有如下假设： 1. 结构为小阻尼，在模型修正时，直接将由无阻尼特征值问题计算得到的模态数据与
一般采用R2（Coefficent of multiple determination）、 Ra2 （R-square adjusted，判定系 数）和RMSE（root mean square error，相对均方根误差）对模型进行检验，其表达式分别 为：
R2 = 1 − SS E / SST
n
∑ SS E =
平方成正比。在多变量的情况下，试验次数将增长得很快。
方程（3）的系数项采用最小二乘法进行求解。 1.2 响应面模型的适应性检验
响应面生成后，为了保证模型的适应性，还须对其进行预测能力的评估。响应面模型的 适应性检验标准很多，如残差的正态分布检验，残差的均值是否接近于零，这两种方法比较 直观，但对于具有多个响应面模型的复杂模型则不适合。
因子设计（Full-factorial Design），拉丁方设计，均匀设计，单纯形设计，D-最优设计，正交
设计等，下面对其中一些方法作简要介绍。
2.1 全因子试验设计
根据变量的不同变化水平，可以设计全因子试验，该方法简单，精度高，切各变量正交，
但计算量偏大，如 3 因素的全因子试验，设计点数为 3n个，n为变量数。因此，该方法适合
本文着重研究响应面方法在有限元模型修正方面的应用，围绕如何通过响应面方法实现 有限元模型修正进行研究，通过对算例和工程实际模型实施试验设计，响应面拟合和利用优 化算法进行优化计算，得到了满意的结果，证明该方法可应用于结构有限元模型修正工作中。 同时，由于响应面模型可以逼近任何数量性的变量和响应之间的函数关系，因此，如果选择 合适的变量，本文的方法可以推广到非线性、大变形等现有模型修正方法较少涉及的领域。 1 基于试验设计的响应面法 1.1 响应面方法
真值之间的差异程度，在 0~1 之间取值，值为 1 时，表示二者完全一致。
2 基于响应面法的试验设计方法
如何用最少的实验样本点，获得理想的响应面模型，试验设计至关重要。常见的试验设
计方法有中心点复合设计（Central Composite Design），Box-Behnken Design(BBD)， 全
基于响应面方法的有限元模型修正
刘小川，张凌霞，牟让科
（中国飞机强度研究所，西安，710065）
摘要：从工程应用角度出发，本文提出了基于响应面模型的有限元模型修正方法。算例通过较多的试验点 拟合了高质量的响应面模型，优化计算后，频率误差基本消除，模态相关性更好，修正参数基本呈真值， 保证了模型的刚度特性，使得修正模型能更真实的反映结构的动力学特性，验证了本文模型修正方法的正 确性。同时，工程算例表明本文方法具有一定的工程适用性，可应用于实际工程结构的有限元模型修正中。 关键词：模型修正,响应面,有限元
5 工程应用适应性验证 为了进一步验证方法的适用性，对某型飞机机翼风洞模型进行了模型修正。该机翼为小
展弦比机翼，根弦长 1840mm，半展长 1100mm，后掠角 54.7580。用铝合金骨架结构模拟 翼面结构，模型的结构布局与机翼的主要受力骨架相似，并做了适当的简化，共计 89 个节点， 129 个梁元素，71 个集中质量元素。
Baidu Nhomakorabea
应面模型进行拟合，则 y( x) 可表示为：
k
k
k−1 k
∑ ∑ ∑ ∑ y p = c0 +
ci xi +
c ii
x
2 i
+
cij x j xi ，p=1,…,n （3）
i =1
i =1
j=1 i= j+1
n 为试验次数，一般取多响式模型包含项数 nrc 的 1.5~3 倍，从（3）式中可知，n 与 nrc 的
Abstract: Aimed at engineering application, we put forward a finite element model (FEM) updating
method based on response surface model.By computation of praxis,we simulated a high quality RSM by enough experiment points.After optimization, the error of mode and the property of modified elements reduced distinctly,so the stiffness property of updated model can be ensured, and the updated FEM could be more available in respresenting the dynamic property of the structure, It also proved the validity of our updating method.At the same time,the updating of the engineering structure attest that this method would have a good application expectancy in engineering field. Key words:model updating,response surface,FE
Taylor 方程拟合响应面，优化求解选择 DE 算法。 响应面拟合的R2判定系数值见表 4.1：
表 4.1 R2判定系数值
响应面
R2判定系数
第一阶频率
1.
第二阶频率
1.
第三阶频率
1.
修正前后的模态频率和模态相关性见表 4.2：
表 4.2 修正前后的模态频率和模态相关性
目标频率 初始频率 误差
误差
模态
表 4.3 修正前后修正参数的变化
参数 梁元 9
梁元 10 梁元 11
× 10 −3 mm 4 × 10 −3 mm 4 × 10 −3 mm 4
初始值
3.44
3.44
3.44
修正前
4.96
4.55
3.94
修正后
3.43
3.45
3.44
误差 %
-0.29
0.29
0.00
分析表 4.1 4.2 4.3 可以发现，算例通过较多的试验点拟合了质量很好的响应面模型。修 正后，模态频率误差基本消除，模态相关性也有提高。参数也几乎呈真实值（见表 4.3），保 证了模型的刚度特性，使得修正后的模型能更真实的反映结构的动力学特性，从而验证了本 文提出的模型修正方法在理论上是正确的。
型修正方法，本文提出的基于响应面模型的有限元模型修正方法属于参数型修正方法的一种。 首先利用 LMS Virtual.Lab 驱动 MSC.Nastran 对结构进行固有振动特性分析，得到分析
模型的模态参数（频率、振型），将其与试验结果进行相关性分析，判定其对应关系，然后定 义频率误差最小为目标。根据响应面的特点，本文选择有限元模型的设计参数，如单元的物 理、几何特性，连接区刚度等为可选的设计参数。由于设计参数的数量对试验点数的影响十 分明显，与计算效率密切相关，本文参考灵敏度分析的结果，选择适当的参数为模型的设计 参数。
基于试验设计的响应面法就是根据研究对象的特点，在试验设计的基础上，用多项式（或
人工神经网络训练）得到设计变量和响应特征之间的复杂关系，得到响应特征的响应面模型， 利用该模型来预测非试验点的响应值。其中，设计变量的变化范围称为设计空间，目标变量 如应力、加速度、固有频率等称为响应特征。
假设有 n 个设计点：
响应面方法是利用多元多项式模型或非多元多项式模型（如人工神经网络）来描述系统 变量和响应特征之间的复杂关系，从而替代有限元仿真和其他复杂模型进行更有效设计或计 算的方法。
试验的测量结果进行比较； 2. 用离散集中质量模拟结构的结构和非结构质量特性。 4 算例 为了检验本文所提方法的正确性，利用了一个航空工程中常见的加筋板结构的动力学有 限元模型修正作为考核算例。由于对模型进行了质量离散化处理，其动力学有限元模型（见 图 4-1）共有 14 个节点(13，14，15，三个节点固支)，8 个板元素，4 个梁元素（元素号 9~12， 从约束端向外），14 个离散质量元素。
于变量数不多的情况。
2.2 中心点复合设计
中心点符合设计用于响应面设计，可以回归拟合一阶、二阶或更高阶模型。它一般是由 2k
析因设计添加 2k 个坐标轴点（ ± α ,0,...,0) ），（ 0,±α ,0,...,0) ，...，（ 0,...,0 ± α ) ）和 nc 个中心点
(0,0,...,0) 所组成，α 是可以调整的参数，恰当的选择α 可以使中心复合设计具有可旋转性或
（
x1i
,
x
i 2
,...,
x
i k
,
y
i
），i=1,…,n
（1）
具有 k 个独立的设计变量（ x1 ,..., xk ）
设计变量和响应特征之间的数学关系可表示为：
y( x) = f ( x1 ,..., xk ) + ε
（2）
其中ε 为统计误差，一般假设它满足均值为零的正态分布，若利用二次 Taylor 级数对响
( yi
−
y
p i
)
2
i =1
n
n
∑ ∑ SST =
y
2 i
−
(
y( p) i
)2
/
n
i =1
i =1
Ra2
=
SS E /(n − nrc − 1) SST (n − 1)
∑ ∑ RMSE =
1 n
n
( yi
i =1
−
y
( i
p)
)
2
/
1 n
n i =1
yi
RMSE的大小代表了响应面的精度，可根据实际情况确定，R2判定系数代表了响应面与
MAC 修正频率
MAC
HZ
HZ
%
%
1 19.22 21.61 12.43 0.99 19.22 0.00 1.00
2 41.55 42.65 2.65 0.97 41.55 0.00 1.00
3 85.51 87.79 2.67 0.98 85.51 0.00 1.00
修正前后修正参数的变化见表 4.3：
图 5.1 机翼动力学有限元模型
设计模型时，用梁元在机翼根部模拟了机翼与机身的弹性连接，其刚度只是近似的给出， 是误差存在的主要区域。由于利用桁条和翼肋模拟了机翼的厚度特征即气动外形，因此用于 模拟桁条和翼肋的梁元的几何参数不作为修正变量。
修正时，选择根部 5 个梁元素（图 5.1 中加粗的 5 个元素）的特性（梁的 I11 、I 22 ，J ） 为可选修正变量，灵敏度分析后，共选择了 13 个修正变量，修正前的频率和模态相关性见表 5-2，以前 6 阶频率为修正的目标。
图 4-1 加筋板有限元模型
选择梁元的截面惯性矩为修正变量以 9-11 号单元为设计变量，其参数引入了随机误差， 构造成待修正模型，假定由参数变化前的有限元模型分析得到的模态为试验模态，试验频率 见表 4-1，以前三阶频率为响应特征。
试验设计选择拉丁超立方体方法，对于 3 个变量的情形，共有 60 个设计点，利用四阶
正交性，或是正交旋转性等各种特征。 2.3 BBD 设计
和 CCD 相近，BBD 也是具有旋转性的响应面设计方法之一，他的设计点除中心点外，其 他设计点到中心带内的距离相同。但 BBD 对设计空间的顶点预测不准，由于 BBD 设计只有 3 个水平，若想获得高次的响应面，则需要旋转性、正交性再添加设计点。 2.4 正交设计
正交设计（Orthogonal Array）是试验设计最常用的方法之一，正交设计具有“均衡分散性” 和“整齐可比性”两个特点，用于响应面建模时需要使用较多的水平。 3 模型修正方法
有限元模型修正技术作为力学界的一个热点问题，国内外学者对其进行了大量的研究， 提出了很多的有限元模型修正方法。就修正对象的不同，这些方法可分为矩阵型方法和参数
然后利用 LMS Virtual.Lab 的优化设计功能，进行试验设计（设计点的响应计算由 LMS Virtual.Lab 驱动 MSC.Nastran 进行），响应面拟合和优化求解计算。
结构有限元修正过程中有如下假设： 1. 结构为小阻尼，在模型修正时，直接将由无阻尼特征值问题计算得到的模态数据与
一般采用R2（Coefficent of multiple determination）、 Ra2 （R-square adjusted，判定系 数）和RMSE（root mean square error，相对均方根误差）对模型进行检验，其表达式分别 为：
R2 = 1 − SS E / SST
n
∑ SS E =
平方成正比。在多变量的情况下，试验次数将增长得很快。
方程（3）的系数项采用最小二乘法进行求解。 1.2 响应面模型的适应性检验
响应面生成后，为了保证模型的适应性，还须对其进行预测能力的评估。响应面模型的 适应性检验标准很多，如残差的正态分布检验，残差的均值是否接近于零，这两种方法比较 直观，但对于具有多个响应面模型的复杂模型则不适合。
因子设计（Full-factorial Design），拉丁方设计，均匀设计，单纯形设计，D-最优设计，正交
设计等，下面对其中一些方法作简要介绍。
2.1 全因子试验设计
根据变量的不同变化水平，可以设计全因子试验，该方法简单，精度高，切各变量正交，
但计算量偏大，如 3 因素的全因子试验，设计点数为 3n个，n为变量数。因此，该方法适合
本文着重研究响应面方法在有限元模型修正方面的应用，围绕如何通过响应面方法实现 有限元模型修正进行研究，通过对算例和工程实际模型实施试验设计，响应面拟合和利用优 化算法进行优化计算，得到了满意的结果，证明该方法可应用于结构有限元模型修正工作中。 同时，由于响应面模型可以逼近任何数量性的变量和响应之间的函数关系，因此，如果选择 合适的变量，本文的方法可以推广到非线性、大变形等现有模型修正方法较少涉及的领域。 1 基于试验设计的响应面法 1.1 响应面方法
真值之间的差异程度，在 0~1 之间取值，值为 1 时，表示二者完全一致。
2 基于响应面法的试验设计方法
如何用最少的实验样本点，获得理想的响应面模型，试验设计至关重要。常见的试验设
计方法有中心点复合设计（Central Composite Design），Box-Behnken Design(BBD)， 全
基于响应面方法的有限元模型修正
刘小川，张凌霞，牟让科
（中国飞机强度研究所，西安，710065）
摘要：从工程应用角度出发，本文提出了基于响应面模型的有限元模型修正方法。算例通过较多的试验点 拟合了高质量的响应面模型，优化计算后，频率误差基本消除，模态相关性更好，修正参数基本呈真值， 保证了模型的刚度特性，使得修正模型能更真实的反映结构的动力学特性，验证了本文模型修正方法的正 确性。同时，工程算例表明本文方法具有一定的工程适用性，可应用于实际工程结构的有限元模型修正中。 关键词：模型修正,响应面,有限元
5 工程应用适应性验证 为了进一步验证方法的适用性，对某型飞机机翼风洞模型进行了模型修正。该机翼为小
展弦比机翼，根弦长 1840mm，半展长 1100mm，后掠角 54.7580。用铝合金骨架结构模拟 翼面结构，模型的结构布局与机翼的主要受力骨架相似，并做了适当的简化，共计 89 个节点， 129 个梁元素，71 个集中质量元素。
Baidu Nhomakorabea
应面模型进行拟合，则 y( x) 可表示为：
k
k
k−1 k
∑ ∑ ∑ ∑ y p = c0 +
ci xi +
c ii
x
2 i
+
cij x j xi ，p=1,…,n （3）
i =1
i =1
j=1 i= j+1
n 为试验次数，一般取多响式模型包含项数 nrc 的 1.5~3 倍，从（3）式中可知，n 与 nrc 的
Abstract: Aimed at engineering application, we put forward a finite element model (FEM) updating
method based on response surface model.By computation of praxis,we simulated a high quality RSM by enough experiment points.After optimization, the error of mode and the property of modified elements reduced distinctly,so the stiffness property of updated model can be ensured, and the updated FEM could be more available in respresenting the dynamic property of the structure, It also proved the validity of our updating method.At the same time,the updating of the engineering structure attest that this method would have a good application expectancy in engineering field. Key words:model updating,response surface,FE
Taylor 方程拟合响应面，优化求解选择 DE 算法。 响应面拟合的R2判定系数值见表 4.1：
表 4.1 R2判定系数值
响应面
R2判定系数
第一阶频率
1.
第二阶频率
1.
第三阶频率
1.
修正前后的模态频率和模态相关性见表 4.2：
表 4.2 修正前后的模态频率和模态相关性
目标频率 初始频率 误差
误差
模态
表 4.3 修正前后修正参数的变化
参数 梁元 9
梁元 10 梁元 11
× 10 −3 mm 4 × 10 −3 mm 4 × 10 −3 mm 4
初始值
3.44
3.44
3.44
修正前
4.96
4.55
3.94
修正后
3.43
3.45
3.44
误差 %
-0.29
0.29
0.00
分析表 4.1 4.2 4.3 可以发现，算例通过较多的试验点拟合了质量很好的响应面模型。修 正后，模态频率误差基本消除，模态相关性也有提高。参数也几乎呈真实值（见表 4.3），保 证了模型的刚度特性，使得修正后的模型能更真实的反映结构的动力学特性，从而验证了本 文提出的模型修正方法在理论上是正确的。
型修正方法，本文提出的基于响应面模型的有限元模型修正方法属于参数型修正方法的一种。 首先利用 LMS Virtual.Lab 驱动 MSC.Nastran 对结构进行固有振动特性分析，得到分析
模型的模态参数（频率、振型），将其与试验结果进行相关性分析，判定其对应关系，然后定 义频率误差最小为目标。根据响应面的特点，本文选择有限元模型的设计参数，如单元的物 理、几何特性，连接区刚度等为可选的设计参数。由于设计参数的数量对试验点数的影响十 分明显，与计算效率密切相关，本文参考灵敏度分析的结果，选择适当的参数为模型的设计 参数。
基于试验设计的响应面法就是根据研究对象的特点，在试验设计的基础上，用多项式（或
人工神经网络训练）得到设计变量和响应特征之间的复杂关系，得到响应特征的响应面模型， 利用该模型来预测非试验点的响应值。其中，设计变量的变化范围称为设计空间，目标变量 如应力、加速度、固有频率等称为响应特征。
假设有 n 个设计点：