第12讲(椭圆的简单性质及应用)

第12讲 解析几何初步（1）

模块二、椭圆的简单性质

考点1椭圆的简单几何性质 以122

22=+b

y a x (0a b >>)为例 考法1对称性：既是轴对称，又是中心对称图形

考法2范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤.

1.（2010·福建卷·文科）若点O 和点F 分别为椭圆22

143

x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为

A ．2

B ．3

C ．6

D ．8

考法3顶点：1A (,0)a -，2(,0)A a ，1(0,)B b -，2(0,)B b ，长轴长2a ，短轴长2b .

1.（2019·北京卷·文科）已知椭圆C ：22

221x y a b

+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .则椭圆C 的方程为 .

2.（2020·海南卷）已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的过点(2,3)M ，A 为其左顶点，且AM 的斜率为12

.则C 的方程为 . 3.（2016·山东卷·文科）已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的长轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的方程为 .

考法4 离心率：22c c e a a

==（01e <<） 1.（2017·浙江卷）椭圆22

194

x y +=的离心率是

A.3

B.3

C.23

D.59

2.（2019·北京卷·理科）已知椭圆2222+1x y a b =（0a b >>）的离心率为12

，则 A.222a b = B.2234a b = C.2a b = D.34a b =

考法5通径：2

2b AB a

=. 1．（2004·全国卷Ⅰ·理科）椭圆C ：14

22

=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF =

A ．23

B ．3

C ．2

7 D ．4 2.（2013·全国大纲卷·文科）已知1(1,0)F -、2(1,0)F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，且3AB =，则C 的方程为 A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22

154

x y += 考点2 椭圆的性质的应用

考法1 求椭圆的标准方程.

1.椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为12，离心率等于23

，求椭圆的标准方程. 2.（2013·广东卷·文科）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于12

，则C 的方程是 A.221

34x y += B.2214x += C.22142x y += D.22

143x y += 3.（2019·天津卷·理科）设椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左焦点为F ，上顶

点为B .已知椭圆的短轴长为4则椭圆的方程为 . 考法2求离心率 1.若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 .

2.（2018·全国卷Ⅱ·文科）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，点P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，2160PF F ∠=，则C 的离心率为

A ．12-

B ．2

C ．12

D 1 3.（2013·全国卷Ⅱ·文科）设椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为

A.6

B.13

C.12

D.3 4.（2018·全国卷Ⅰ·文科）已知椭圆椭圆C ：22

214

x y a +=的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为

A.13

B.12

C.2

D.3 5．（2010·广东卷·文科）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

A ．45

B ．35

C ．25

D ．15

6.（2016·全国卷Ⅰ·文科）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中

心到l 的距离为其短轴长的14

，则该椭圆的离心率为 A.13 B.12 C.23 D.34