数模差分方程模型
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设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠 款额为an，则
a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, …… an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,…
例3
yn
,U
n
,
Z
分别是下列差分方程的解
n
yn1 ayn f1(n), yn1 ayn f2 (n),
四 一阶常系数线性差分方程的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
1.迭代法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
注：设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n 个不全为零的常数，
使得当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0
那么称这些函数在区间内线性相关； 否则称线性无关.
2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构
定理 8 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
特征方程为3 1 0
特征根
1 3
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 3
x
；
代入y0 2，得C 2
所 求 差 分 方 程 的 特 解 为Yx
2
1 x . 3
二、 一阶常系数非齐次线性差分方程的求解
yx1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
一 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性差 分 方 程 的 通 解 由 两 项 的和组成：
设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利 率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：
a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,…
3） . 抵押贷款
小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹 集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%， 还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解,
那么
yx
Yx
y
* x
是
n
阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方 程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2） 的一个特解即可.
对应齐次方程通解
Yx C 2x
1不是特征方程的根，设 yx Ax2 Bx C，
代入方程, 得 A 3，B 6，C 9
于是 yx 3x2 6x 9 原方程通解为 yx C 2x 3x2 6x 9.
例4
求差分方程 yx1 5 yx
3, y0
7 的特解． 3
解 对应齐次方程通解 Yx C 5x
问题: 若k n，则 y C1 y1 C2 y2 Ck yk 一定是通解吗？
定理 2：如果 y1 ( x), y2 ( x)，，yn ( x) 是方程(1)
的 n 个线性无关的特解, 那么
y C1 y1 C2 y2 Cn yn 就是方程(1)的通解. （ C1, C2，，Cn 是任意常数）
第七章 差分方程模型
第七章 差分方程模型
第一节 差分方程基本的基本概念与性质 第二节 市场经济中的蛛网模型 第三节 简单的鹿群增长模型 第四节 减肥计划——节食与运动 第五节 差分形式的阻滞增长模型 第六节 按年龄分组的种群增长
第一节 差分方程的概念及性质
一.差分的定义与运算法则
1.差分的定义
设函数y f (x).当x取非负整数时， 函数值可以排成一个数列 :
1不是特征方程的根，
设
y
x
A，
代入方程, 得 A 3，
4
方程的通解为yx
1. f ( x) pn x型
方程2为yx1 ayx pn x 即yx 1 ayx pn x
设yx是它的解，代入上式得
y
x
1 ayx
pn x
由于pn x是多项式，因此yx也应该是多项式， 且yx是n次多项式，yx是n 1次多项式.
(1) 1不是特征方程的根，即1 a 0
令yx Qn ( x) b0 xn b1 xn1 bn
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系：
f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
yn1 ayn f3 (n)
求证Vn yn Un Zn是差分方程
yn1 ayn f1(n) f2 (n) f3(n)的解.
证明
由题设知：yn1 ayn f1(n) U n1 aUn f2 (n)
Zn1 aZn f3 (n)
Vn1 aVn yn1 ayn Un1 aUn Zn1 aZn
1
设y0为已知，由方程（1）依次可得，
y1 ay0
y2 ay1 a2 y0
y3 ay2 a3 y0
yx ayx1 a x y0
容易验证，yx a x y0满足差分方程，令 y0 C为任意常数，于是差分方程（1）的
通解为Yx Ca x .
例4 求2yn1 yn 0的通解.
1
解 a
2
差分方程的通解为
yn
wenku.baidu.com
C
1 2
n
.
2.特征根法
yn1 ayn 0(a 0为常数)
1
方程（1）变形为
yx 1 ayx 0(a 0为常数)
根据x 1x，
可
以
看
出y
的
x
形
式
一
定
为
某
一
指
数函
数.
设yx x ( 0)，代入（1）得
x1 ax 0
即 a 0
特征方程
a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是：
a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
2）. 家庭教育基金
从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女 将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向 银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第 n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的 费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存 入多少元?
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解y x ， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx . 即差分方程（2）的通解为yx Yx yx .
下面讨论特解yx的求法:
当右端f x是某些特殊形式的函数时，
采用待定系数法求其特解yx较为方便.
待定系数法 假定待定的特解yx与f ( x)的形式 相 同.然 后 将 它 们 代 入 差 分 方程, 求 出 待 定 系 数 即可求出特解．
定义2：
含有未知函数两个或两个以上时期的符号 yn , yn1,的方程，称为差分方程.
形式：F (n, yn , yn1,, ynm ) 0 或G(n, yn , yn1,, ynk ) 0 (k 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。
f x 0
1.n阶齐次线性差分方程解的结构
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
定理 1 如果函数 y1( x), y2 ( x), ， y k ( x ) 是
方程(1)的 k 个解,那末 y C1 y1 C2 y2 Ck yk 也 是(1)的解.（ C1, C2，，Ck 是任意常数）
引例1： Fibonacci 数列
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
＝a
特征根
于是yx a x是（1）的一个解， 从而yx Ca x是（1）的通解. 用特征根法求例1 的通解.
解
特征方程2 1 0
特征根
1 2
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 x . 2
例2 求3 yx yx1 0满足y0 2的特解.
解 原方程可改写为3 yx1 yx 0
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.
Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
如果函数y (n)代入差分方程后，方程两
边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
3yn zn yn1zn znyn ynzn zn1yn
4
yn zn
znyn ynzn zn zn1
可参照导数的四则运算法则学习
二 差分方程的基本概念
1.差分方程与差分方程的阶 定义1
含有未知函数的差分yn , 2 yn ,的函数方程 称为差分方程.
形式：F(n, yn , yn , 2 yn ,, m yn ) 0
3 yn 3(n2 ) 2 2 0
例2 求y n! 的一阶差分，二阶差分.
解 yn yn1 yn
(n 1)!n!
n n!
2 yn yn n n!
(n 1) (n 1)!n n! (n2 n 1) n!
2. 差分的四则运算法则
(1)(Cyn ) Cyn (C为常数) (2)( yn zn ) yn zn
同样可定义三阶、四阶差分： 3 yn (2 yn ), 4 yn (3 yn )
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
例 1 求 (n2 ), 2 (n2 ), 3(n2 ) .
解 设y n2，则 yn (n2 ) (n 1)2 n2 2n 1
2 yn 2 (n2 ) (2n 1)
2(n 1) 1 (2n 1) 2
如yn5 4yn3 3yn2 2 0是三阶差分方程；
3 yn yn 1 0，虽然含有三阶差分， 但实际上是二阶差分方程，
由于该方程可以化为 yn3 3yn2 3yn1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t n 1，即可写成 yt2 3yt1 3yt 1 0.
2.差分方程的解
(2) 1是特征方程的根，即1 a 0
令yx xQn ( x) x b0 xn b1 xn1 bn
综上讨论 设 yx xkQn( x)，
0 1不是特征方程的根
k
1 1是特征方程的根
例3 求差分方程yx1 2 yx 3x 2的通解.
解 特征方程 2 0，
特征根 2，
f (0)，f (1)，，f (n)，f (n 1)， 将之简记为
y0，y1，y2，，yn，yn1, 称函数的改变量yn1 yn为函数y的差分， 也称为一阶差分，记为yn yn1 yn.
函数y f (n)的二阶差分为函数y的一阶差分的 差分,即
2 yn (yn ) ( yn1 yn ) ( yn2 yn1) ( yn1 yn ) yn2 2 yn1 yn
f1(n) f2 (n) f3(n)
Vn是所给差分方程的解.
三. 线性差分方程解的结构
n阶齐次线性差分方程的标准形式
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
n阶非齐次线性差分方程的标准形式
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an( x) yx f x 2
a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, …… an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,…
例3
yn
,U
n
,
Z
分别是下列差分方程的解
n
yn1 ayn f1(n), yn1 ayn f2 (n),
四 一阶常系数线性差分方程的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
1.迭代法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
注：设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n 个不全为零的常数，
使得当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0
那么称这些函数在区间内线性相关； 否则称线性无关.
2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构
定理 8 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
特征方程为3 1 0
特征根
1 3
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 3
x
；
代入y0 2，得C 2
所 求 差 分 方 程 的 特 解 为Yx
2
1 x . 3
二、 一阶常系数非齐次线性差分方程的求解
yx1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
一 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性差 分 方 程 的 通 解 由 两 项 的和组成：
设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利 率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：
a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,…
3） . 抵押贷款
小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹 集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%， 还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解,
那么
yx
Yx
y
* x
是
n
阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方 程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2） 的一个特解即可.
对应齐次方程通解
Yx C 2x
1不是特征方程的根，设 yx Ax2 Bx C，
代入方程, 得 A 3，B 6，C 9
于是 yx 3x2 6x 9 原方程通解为 yx C 2x 3x2 6x 9.
例4
求差分方程 yx1 5 yx
3, y0
7 的特解． 3
解 对应齐次方程通解 Yx C 5x
问题: 若k n，则 y C1 y1 C2 y2 Ck yk 一定是通解吗？
定理 2：如果 y1 ( x), y2 ( x)，，yn ( x) 是方程(1)
的 n 个线性无关的特解, 那么
y C1 y1 C2 y2 Cn yn 就是方程(1)的通解. （ C1, C2，，Cn 是任意常数）
第七章 差分方程模型
第七章 差分方程模型
第一节 差分方程基本的基本概念与性质 第二节 市场经济中的蛛网模型 第三节 简单的鹿群增长模型 第四节 减肥计划——节食与运动 第五节 差分形式的阻滞增长模型 第六节 按年龄分组的种群增长
第一节 差分方程的概念及性质
一.差分的定义与运算法则
1.差分的定义
设函数y f (x).当x取非负整数时， 函数值可以排成一个数列 :
1不是特征方程的根，
设
y
x
A，
代入方程, 得 A 3，
4
方程的通解为yx
1. f ( x) pn x型
方程2为yx1 ayx pn x 即yx 1 ayx pn x
设yx是它的解，代入上式得
y
x
1 ayx
pn x
由于pn x是多项式，因此yx也应该是多项式， 且yx是n次多项式，yx是n 1次多项式.
(1) 1不是特征方程的根，即1 a 0
令yx Qn ( x) b0 xn b1 xn1 bn
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系：
f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
yn1 ayn f3 (n)
求证Vn yn Un Zn是差分方程
yn1 ayn f1(n) f2 (n) f3(n)的解.
证明
由题设知：yn1 ayn f1(n) U n1 aUn f2 (n)
Zn1 aZn f3 (n)
Vn1 aVn yn1 ayn Un1 aUn Zn1 aZn
1
设y0为已知，由方程（1）依次可得，
y1 ay0
y2 ay1 a2 y0
y3 ay2 a3 y0
yx ayx1 a x y0
容易验证，yx a x y0满足差分方程，令 y0 C为任意常数，于是差分方程（1）的
通解为Yx Ca x .
例4 求2yn1 yn 0的通解.
1
解 a
2
差分方程的通解为
yn
wenku.baidu.com
C
1 2
n
.
2.特征根法
yn1 ayn 0(a 0为常数)
1
方程（1）变形为
yx 1 ayx 0(a 0为常数)
根据x 1x，
可
以
看
出y
的
x
形
式
一
定
为
某
一
指
数函
数.
设yx x ( 0)，代入（1）得
x1 ax 0
即 a 0
特征方程
a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是：
a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
2）. 家庭教育基金
从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女 将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向 银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第 n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的 费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存 入多少元?
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解y x ， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx . 即差分方程（2）的通解为yx Yx yx .
下面讨论特解yx的求法:
当右端f x是某些特殊形式的函数时，
采用待定系数法求其特解yx较为方便.
待定系数法 假定待定的特解yx与f ( x)的形式 相 同.然 后 将 它 们 代 入 差 分 方程, 求 出 待 定 系 数 即可求出特解．
定义2：
含有未知函数两个或两个以上时期的符号 yn , yn1,的方程，称为差分方程.
形式：F (n, yn , yn1,, ynm ) 0 或G(n, yn , yn1,, ynk ) 0 (k 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。
f x 0
1.n阶齐次线性差分方程解的结构
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
定理 1 如果函数 y1( x), y2 ( x), ， y k ( x ) 是
方程(1)的 k 个解,那末 y C1 y1 C2 y2 Ck yk 也 是(1)的解.（ C1, C2，，Ck 是任意常数）
引例1： Fibonacci 数列
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
＝a
特征根
于是yx a x是（1）的一个解， 从而yx Ca x是（1）的通解. 用特征根法求例1 的通解.
解
特征方程2 1 0
特征根
1 2
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 x . 2
例2 求3 yx yx1 0满足y0 2的特解.
解 原方程可改写为3 yx1 yx 0
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.
Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
如果函数y (n)代入差分方程后，方程两
边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
3yn zn yn1zn znyn ynzn zn1yn
4
yn zn
znyn ynzn zn zn1
可参照导数的四则运算法则学习
二 差分方程的基本概念
1.差分方程与差分方程的阶 定义1
含有未知函数的差分yn , 2 yn ,的函数方程 称为差分方程.
形式：F(n, yn , yn , 2 yn ,, m yn ) 0
3 yn 3(n2 ) 2 2 0
例2 求y n! 的一阶差分，二阶差分.
解 yn yn1 yn
(n 1)!n!
n n!
2 yn yn n n!
(n 1) (n 1)!n n! (n2 n 1) n!
2. 差分的四则运算法则
(1)(Cyn ) Cyn (C为常数) (2)( yn zn ) yn zn
同样可定义三阶、四阶差分： 3 yn (2 yn ), 4 yn (3 yn )
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
例 1 求 (n2 ), 2 (n2 ), 3(n2 ) .
解 设y n2，则 yn (n2 ) (n 1)2 n2 2n 1
2 yn 2 (n2 ) (2n 1)
2(n 1) 1 (2n 1) 2
如yn5 4yn3 3yn2 2 0是三阶差分方程；
3 yn yn 1 0，虽然含有三阶差分， 但实际上是二阶差分方程，
由于该方程可以化为 yn3 3yn2 3yn1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t n 1，即可写成 yt2 3yt1 3yt 1 0.
2.差分方程的解
(2) 1是特征方程的根，即1 a 0
令yx xQn ( x) x b0 xn b1 xn1 bn
综上讨论 设 yx xkQn( x)，
0 1不是特征方程的根
k
1 1是特征方程的根
例3 求差分方程yx1 2 yx 3x 2的通解.
解 特征方程 2 0，
特征根 2，
f (0)，f (1)，，f (n)，f (n 1)， 将之简记为
y0，y1，y2，，yn，yn1, 称函数的改变量yn1 yn为函数y的差分， 也称为一阶差分，记为yn yn1 yn.
函数y f (n)的二阶差分为函数y的一阶差分的 差分,即
2 yn (yn ) ( yn1 yn ) ( yn2 yn1) ( yn1 yn ) yn2 2 yn1 yn
f1(n) f2 (n) f3(n)
Vn是所给差分方程的解.
三. 线性差分方程解的结构
n阶齐次线性差分方程的标准形式
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
n阶非齐次线性差分方程的标准形式
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an( x) yx f x 2