第九章 双变量线性回归与相关

（3）SS剩，反映X对Y的线性影响之外其它因
素对Y的变异的作用，也是在总平方和中无法 用 X 解析的部分。 SS 剩 越小，说明回归方程的 估计误差越小。 3、三种平方和的自由度及其关系如下 υ总=n-1，υ回=1，υ剩=n-2 υ总=υ回+υ剩
SS回及SS剩的计算方法
先计算SS回，再反推SS剩
d
b=0
b=0
b=0
b=0
二、直线回归方程的建立
b ( X X )(Y Y )
2 (X X )
lxy lxx
a YbX
l xx 为X的离均 式中 X 、 Y 分别是X、Y的均数； 差平方和； l xy 为X与Y的离均差积和，按下式计算。
( X )( Y ) lxy ( X X )(Y Y ) XY n
第三段： Y ，是应变量Y的均数。
ˆ Y) + (Y Y ˆ) 上述三个线段的代数和为： Y = Y + (Y
ˆ Y) + ( Y Y )= ( Y 移项得：
ˆ) (Y Y
对上式两边同时平方后求和可以得到： 2 2 2 ˆ ˆ ( Y Y ) ( Y Y ) ( Y Y )
求ΣX、ΣY、ΣX2、ΣY2及ΣXY；
本例：ΣX=3192、 ΣX2=510804，
ΣY=1120；ΣY2=63654 ；ΣXY=179726 计算 X 、 Y 、lxx、lyy、lxy；
X X n 3192 159.6 20
Y 1120 Y 56.0 n 20
lxx ( X X ) 2 X 2
按v1=1,v2=18,查F界值表得：F0.01,1,18=8.28，
F>F0.01,1,18
，P<0.01
P<0.01,按α =0.05水准,拒绝H0,接受H1, 故可
以认为体重与身高之间存在直线回归关系, 所求
回归方程成立。
2、t检验法 按下列公式计算t值：
b0 b t , v n2 sb s y . x / lxx
(159.6,56.0)。
（4）对回归系数b作假设检验（见下）
三、回归系数b的假设检验
所建立的回归方程，不一定都有意义，
必须对回归方程和回归系数进行假设检验。 直线回归方程一般只对回归系数进行假设检
验。
P为散点图上任意一点，其纵向距离(纵坐标)被 回归直线和Y值的均数分割三段： ˆ ) 表示P点与回归直线的纵向距 第一段： (Y Y
对Y影响大小，可以使用决定系数说明X对Y影响大 小和拟合效果的好坏。作为评价回归效果，反映 拟合优度的指标。
2 l SS xy / l xx 2 回归 R SS总 l yy
R2在0-1之间，说明回归平方和占总平方和的百 分比，反映自变量对回归的贡献大小。 R2越大 回归方程的拟合效果越好。
本例：
的父代其子代平均身高不是更高，而是稍矮；相反
，矮个子的父代其子代平均身高不是更矮，而是稍
高于其父代水平，他把这种身高趋向种族稳定的现
象称为“回归”。目前回归的含义已经演变成变量
之间的某种数量依存关系。
变量间的关系 函数关系： 确定的关系。 例如园周长与半径：y=2πr 。
回归关系：不确定的关系（随机的关系）。
回归分析对资料的要求 回归分析涉及到两个变量，X与Y，其中X 称自变量，Y 为因变量或反应变量。 Y—必须是呈正态分布的随机变量。 可以是非随机变量:年龄、药物浓度或 剂量— Ⅰ型回归 也可以是随机变量:身高、体重、血清 胆固醇的含量，血红蛋白的含量—Ⅱ 型回归
X
由X推算Y的直线回归方程一般表达式
2 2 l 974 2 SS回 b l xx XY 697.145 l XX 1360.8
SS剩=SS总-SS回=934-697.145=236.85
(三) b的假设检验方法 1、方差分析方法 将SS总分解为SS回和SS剩两部分后，按下式计算F
值:
SS回 / 回 MS回 F ， 回 1， 剩 n 2 SS剩 / 剩 MS剩
男性：身高(cm)-105＝标准体重(kg)
女性：身高(cm)-100＝标准体重(kg) 北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg)
南方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+48(kg)
回归与相关是研究变量之间相互关系的统计分
析方法，它是一类双变量或多变量统计分析方法
（本章主要介绍双变量分析方法），在实际之中有
( X ) 2 n
(3192) 2 510840 1360.8 20
lyy (Y Y ) 2 Y 2
( Y ) 2 n
(1120) 2 63654 934 20
lxy XY
( X )( Y ) n
3192 1120 179726 974 20
的总体均数为49.135kg（点值估计），95%可信区 间为：（46.52, 51.75）Kg （区间估计）。
v n 2 20 2 18
按v=18查t界值表得, t0.001,18=3.922,
由于t > t0.001,18 , 故 P<0.001,按α=0.05水准,拒绝H0,
接受 H1, 故可以认为体重与身高有直线回归关系 ,
所求回归方程成立。
（四） 拟合优度检验与决定系数
β 的大小能说明Y随X变动的快慢，但不能说明X
2 ˆ (Y Y ) 其中： (Y Y ) 称总平方和，用SS总表示， ˆ )2 称剩余平方 称回归平方和，用SS 表示； பைடு நூலகம்(Y Y
2
回
和，用SS剩表示。 1、三种平方和的关系是： SS总=SS回+SS剩
2、三种平方和的意义
（1）SS总，为Y值的离均差平方和，说明未考 虑X与Y的回归关系时Y总的变异。 （ 2 ） SS 回 ，它反映在 Y 的变异中由于 X 与 Y 的 直线关系而使Y变异减少的部分，也是在总平方 和中可以用X解析的部分。SS回越大，说明回归 效果越好。
ˆ a bX Y
（9-2）
a称为截距, b 为回归系数, 即直线的斜率。
y
b>0
a
x
2、回归系数b的统计学意义
b>0时,Y随X增大而增大; b<0时,Y随X的增大而减少； b=0时，X与Y无直线关系。 b的统计学意义是：X每增（减）一个单位 ，Y平均改变b个单位。
d
b>0
b<0
b>0
b<0
y ˆ 是总体中当 X为某定值X0时Y的总体均数。而
ˆ 为样本均数， 将X的值代入回归方程中所求得的 Y
是 y ˆ 的估计值。比如15岁男童, 其体重的总体平均 重量就是
ˆ 往往未知, 可以通过 Y y ˆ 来估 ˆ ，而 y
计，计算方法如下：
y ˆ （1- ）的可信区间是：
S），缩写为 ˆ -tα,n-2 S y ˆ ˆ±tα,n-2 S y （Y ， +t ˆ y ˆ Y Y α,n-2 ˆ
着广泛的应用。
如年龄与体重、年龄与血压、身高与体重、体
重与肺活量、体重与体表面积、毒物剂量与动物死
亡率、污染物浓度与污染源距离等都要运用回归与
相关方法对资料进行统计分析。
变量之间的关系： （１）直线关系（线性 关系）； （２）曲线关系（非线 性关系）。 在回归与相关分析中，
直线回归与相关是最简单
的一种，是本章主要内容。
ˆ 之差, 称剩余或残差。 离, 即实测值Y与估计值 Y
ˆ Y ) 即估计值与均数之差，它与回 第二段： ( Y ˆ Y ) 的差值也越 归系数的大小有关。|b| 值越大， (Y ˆ )= ˆ Y ) 0则 ( Y Y 大，反之越小。当b=0时， (Y
(Y Y ) 也就是回归直线并不能使残差减小。
例如血压和年龄的关系，称为直线
回归 (linear regression)。
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg)
变量间的回归关系 由于生物间存在变异，故两相关变量之间的关 系具有某种不确定性，如同性别、同年龄的人，其 肺活量与体重有关，肺活量随体重的增加而增加， 但体重相同的人其肺活量并不一定相等。因此，散 点呈直线趋势，但并不是所有的散点均在同一条直 线上，肺活量与体重的关系与严格对应的函数关系 不同，它们之间是一种回归关系，称直线回归。这 种关系是用直线回归方程来定量描述。
s y. x
2 ˆ SS剩 ( Y Y ) n2 n2
上式中， Sb 为样本回归系数的标准误， Sy.x为剩余 标准差 , 也称回归标准差 , 它表示应变量 Y 的观察值 对于回归直线的离散程度； Sy.x可以作为回归方程 估计的精度指标。
1、t 检验方法 假设及检验水准 H0: β=0 H1: β≠0
回归分析的步骤
1、用原始数据绘制散点图； 2、求a和b (如果呈直线关系) 3、对回归系数b作假设检验（方法：a. F检验 b. t检验 c. 用r检验来代替）。
4、如果x与y存在直线关系（ b假设检验的结果
P<0.05），列出回归方程。否则，不列回归方程。
例 11.1
（1）画散点图
（2）计算a、b
1 ( X X )2 n ( X X )2
SY ˆ SY . X
SY X 当X X时，SY ˆ n Sy ˆ 的标准误。 ˆ 是 Y
ˆ 95%可信区间。 例 计算当X0=150时， y
y ˆ 的95%可信区间为：
（46.52, 51.75）Kg 其含义是：当身高为150cm时，15岁男童的体重