反证法在数学解题中的应用3

摘要:

本文介绍了数学中反证法的定义、步骤,哪些类型的问题适用于反证法,以及在解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾,最后利用反证法来解决问题。

关键词:反证法,假设,归谬,结论。

Abstract：

This paper introduces counter-evidence method,its steps,which type of proposition is suitable to counter-evidence method,and how to find contradiction from assumption in solving problem,and finally to use the counter-evidence method to solve problem.

Key words:Counter-evidence method,assumption,paralogism,

conclusion

一引言

数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给与确切的回答，本文就反证法的概念、分类、步骤以及哪些适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．

二反证法的定义

什么是反证法？法国数学家阿达玛曾对它做了一个精辟的概括：此证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．可见，利用推理中出现的矛盾可以证明数学中的一些结论，这就是反证法．

反证法是从一个否定原结论的假设出发，经过正确的推理而得到（与公理、定理、题设等）相矛盾的结论，由于推理和引用的证据是正确的，因此出现矛盾的原因只能认为是否定原结论的假设是错误的，从而得到原结论成立．

用反证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真．。

二、反证法与同一法的区别与联系

1、同一法的含义:一个命题和它的逆命题中只要有一个成立,另一个就一定成立,这个道理叫同一法则。在符合同一法则的前提下,用证明逆命题来代替证明原命题的方法叫同一法。

2、反证法和同一法都是间接证法,前者证的是原命题的逆否命题,后者证的是原命题的逆命题。

三、反证法的解题步骤

第一步审题，弄清命题的前提和结论；

第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础；

第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾；

第四步肯定原命题的正确性。三、什么情况下考虑应用反证法

反证法在数学解题中的应用非常广泛,但什么时候应该使用反证法,证明哪些命题适宜使用反证法,都没有一定的规律可循。原则上说,应该因题而异、以简为宜。首先从正面考虑,当不易证明时,再从反面考虑。当由假定原命题结论的否定成立去推出矛盾比证明原命题更容易时,就应该使用反证法。1、待证命题的结论是唯一存在性命题

例1设方程x=psinx+a 有实根x 1，x 2(0＜p＜1，a 是实数)，求证

实根唯一。

证明：假设方程存在两个不同实根x 1,x 2

2

，则有

x 1=psinx 1+a，x 2=psinx 2+a

x 1－x 2=psinx 1－sinx 2=2pcosx 1+x 22sinx 1－x22

由于cos︱x1+x22│≤1，从而有│x1－x2│≤2p│sinx1－x22│sinx 1－x 22≤x 1－x 22

，故

x 1－x

2≤

p x 1－

x 2，但

x

1≠x

2

，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。所以方程若有实

根，则根唯一。

2﹑采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。

例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。

分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。

证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。所以AC和BD是异面直线。

3待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。

例3设p1p2=2(q1+q2)求证方程x2+p1x+q1=ox2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实根。

证明：假设两方程都无实根，则

p12－4q1＜0，p22－4q2＜0，两式相加，有p21+p22＜4(q1+q2)(1)

而p1p2=2(q1+q2)代入(1)得p21+p222p1p2，这与p21+p22≥2p1p2矛盾。

故假设不成立，原命题正确。

4待正命题含有涉及各种“无限形式”的结论，由于中学没有直接证明“无限”的手段。而结论的反面却是“有限”，故常常借助于反证法。

例4证明实数lg3是无理数。

证明：假设lg3是有理数。则它可以表示成lg3=mn(m，n是互质的正整数，由对数的定义，得10=3″)。但10是偶数，而3″

是奇数，矛盾。因此实数lg3是无理数。

5待证命题的结论是以否定形式出现的，而否定的对象又是具体的，则结论的反面是肯定判断。

四、反证法的应用

1在代数中的应用

例5设x为任一实数证明：x，2x，…，nx中必有一个数，它与某整

数之差的绝对值不大于1n+1。

分析：如果能够证明x，2x，…，nx中的每个数与某整数之差的绝对值的和不大于1n+1。则x，2x，…，nx中必有一个数，它与某整数之差的绝对值不大于1n+1。但由于某整数不确定要么是［ix］，或者是［ix］+1，对于这些差的绝对值求和要是分类讨论情况太多，直接处理不太好入手，不妨考虑反证法。

证明略。

2在数论中的应用

例6已知p是一个三位数，且是质数，又p的百位数是a，十位数是b，个位数是c。证明：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0无整数解。

分析：若用一元二次方程的求根公式－b±b2－4ac2a验证该式不是整数，已知条件不好用；若直接验证，将所有的三位质数罗列出来，太麻烦。可考虑用反证法。证明略。

3在几何中的应用

例7平面上有n(n≥3)个点，若经过其中任意两个点的直线必过这n个点中的第三个点，则这n个点都在同一条直线上。

分析：直接利用条件不知如何建构解题思路，若换个角度，用反证法，在有了n个点不共线这个条件以后，情况就大不一样了。

反证法的难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路。“特殊化”有时是反证法得以成功的一个重要突破口。

五、反证法中常用手法

1特殊位置

(1)极端位置

例8能否在平面上放置2008条线段，使得每一条线段的端点都严格地位于其他线段的内部？

证明：假设可以放置2008条线段，使得它们的4016个端点全部严格地位于其他线段的内部，现取一定点O，并找出4016个端点中离点O最远的点A，于是，平面上再没有比点A到点O的距了更远的点了，由于点A严格位于另一线段BC 内部，从而，点A是的边OBC的边BC上的点，故OA＜max{OB，OC}