江苏省建湖高级中学2020届高三3月调研考试试题及答案

江苏省建湖高级中学2020届高三3月调研考试
数学（Ⅰ） 2020.3
一.填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
） 1. 已知集合{}{}{}22310,,1150,,211102A x x x Z B x x x x Z C x x x x x Z =||-|≤∈=|-+<∈=| |-+|<|3-|,∈， 则A B C ⋂⋂的真子集的个数为. #__
2.已知复数z 满足：(1)74,i z i +=+则z z ⋅=. #__
3. 已知6名犯罪嫌疑人,,,,,A B C D E F 中有1人在商场偷走了钱包.路人甲猜测：是D 或E 偷的；路人乙猜测：C 不可能偷；路人丙猜测：是,,A B F 中的1人偷的；路人丁猜测：,,D E F 都不可能偷.若甲、乙、丙、丁中只有一个人猜对，则此人为. #__
4. 函数()232f x x x x =-++的值域为. #__
5.按右图所示的流程图运算，若输出b 的值为3，则输入的a 的取值范围是. #__
（第6题图） （第5题图）
6. 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，左上面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实以及黄实，并且利用
，化简，得
，设勾股中勾股比为13:，若
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1． 本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考
试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2． 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3． 请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4． 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

开始
输入a
b ←1
b ←b+1
输出b
a>58
结束
a ←3a+1
N
Y
向弦图内随机抛掷1600颗图钉，则落在黄色图形内的图钉数大约为.
#__)
3 1.732≈
7.已知三棱锥的一个侧面是边长为3,2的三角形，另两个侧面是等腰直角三角形，则此三棱锥的所有棱长和为. #__
8.已知实数,x y 满足350
231800
x y x y ax by c --≥⎧⎪
+-≤⎨⎪++≥⎩
，且x y +的最大值为11，最小值为-1，则10a b c +=-. #__
9.已知曲线2:2C y x a =+在点(2)(0,)n P n n a a n N +>∈处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0),(0,),n n n A x B y 且00x y =.给出以下结论： ①1;a = ②当n N +∈时，221
n k n <+； ③当n N +∈时，n y 的最小值为5
4；
④当n N +∈时，记数列{}n k 的前n 项和为n s ，则2(11)n S n +； ⑤以上说法均正确. 其中，正确的结论有. #__（写出所有正确结论的序号）
10. 设P 是双曲线E :22221x y a b -=上任意一点，过P 作渐近线1:b l y x a =和2:b
l y x a
=-的平行线，分别交于
点,P Q .则PR PQ ⋅∈. #__
11.已知ABC ∆与其内的两点,P M .且满足22AC AB ==.若PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
的最小值为7
6
-，并且
有MBC MCA
MAB S S
S
MA MB
MB MC MC MA
∆∆∆==⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r 成立,则MA MB MC ++的值为. #__
12.若任意的,(44)2(22)3x x x x x R a b --∈+++≤恒成立，则当2a b +取到最大值时，2a
b
=. #__
13．已知锐角ABC ∆，其内角分别为,,,A B C 则sin sin sin
2
C
A B +⋅的最大值为. #__
14.已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意n N +∈有2
31
1
()n
n
i i i i a a ===∑∑成立.设2n
n n
a b =
，则使得
,,p q r b b b (2)p q r ≤<<成等差数列的所有正整数组(,,)p q r =. #__
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡相应位置上．．．．．．．．作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠=o ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ． （1）求证：1
2
EF BC =
； （2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．
16.（1）在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 当6
B π
=
且满足
23cos cos 3b c C
A a
-=时，BC 边上的中线AM 7，求ABC V 的面积. (2)设实数,,αβθ满足sin cos sin ,cos sin cos ,αβθαβθ+=+=求αθ-的值. 17. “金镶玉”是北京奥运会的奖牌设计所采用的式样，喻示中国传统文化中的“金玉良缘”，体现了中国人对奥林匹克精神的礼赞和对运动员的褒奖.它的设计方案，创意十分新颖，突破了以往任何一届奥运会奖牌设计单一材质的传统，又融入了典型的中国文化元素,是中国文化与体育精神完美结合的载体.现有一矩形玉片BCEF ,CE 为36毫米，BC 为32毫米，G 为EF 的中点.现要开槽镶嵌金丝，将其加工为
镶金工艺品，如图，金丝部分为优弧»PQ
和线段,,,MP NQ MN 其中优弧»PQ
所在圆的圆心为O ，圆O 与矩形的边,,FB BC CE 分别相切于点,,.A H D M 以及点N 在线段EF 上（M 在N 的左侧）
，,MP NQ 分别于圆O 相切于点,,P Q 且FM NE =.若优弧»PQ
部分镶嵌的金丝每毫米造价为3a 元（0a >），线段,,MP NQ MN 部分镶嵌的金丝每毫米造价为
2(0)a a >元.记锐角,POG α∠=镶嵌金丝的总造价为W 元. (1)试表示出关于α的函数(),W α并写出tan α的范围；
(2)当镶嵌金丝的总造价最低时，求出四边形MPQN 的面积S .
18.已知椭圆22
22
:1(1).1
x y E a a a +=>-()00,P x y 是椭圆内任一点.设经过P 的两条不同直线,m n 分别于椭圆交于点,,,.A B C D 记,m n 的斜率分别为12,.k k
（1）当n 经过椭圆右焦点且21,33P ⎛⎫
⎪⎝⎭
为CD 中点时，求：
①椭圆E 的标准方程；
②四边形ABCD 面积S 的取值范围.
（2）当2a =时，若点,,P A C 重合于点G ()2,0-，且123
(0,)4
k k t t t ⋅=>≠.求证：直线BD 过定点K .
19.已知函数()(x a
f x x x b
+=>0)+，满足361(,)b a a b N +≥+∈.设P 为()f x 上任一点，过P 作()f x 的切
线，其斜率k 满足 6.k ≥- (1)求函数()f x 的解析式；
(2)若数列{}n a 满足()111,n n a a f a +==.设t 为正常数.
①求n a ；
②若不等式17
ln ln ln 02
n t a n +-<对任意的n N +∈恒成立，则实数t 是否存在最大值？若存在，请求出
这个值；若不存在，请说明理由.
20.定义函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>的所有零点构成严格单调增数列{}n a ()n N +∈.
()1求证：''24
1371
2
2
n
i i
f f a πππ=⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<∑；
()2若对任意的()212,,i i x a a -∈存在负数i t 使得方程()i f x t =有两个不等实解21i x -与2i x ，并且满足
212i i x x -<{}()1,2,,i n ∈L ，试证明：()()()
212212123271
n
i i
i
i i i e x x e x x π-=-+⋅<+∑
.
数学（Ⅱ）(附加题） 2020.3
【选做题】本题包括21，22，23三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 选修4—2：矩阵与变换
21. 在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵()02cos sin A sin cos θ
θθπθ
θ-⎡⎤
=<<⎢⎥⎣⎦
所对应的变换，再将所得曲线作矩阵()10010B k k ⎡⎤
=<<⎢⎥⎣⎦
所对的变换．若连续实施两次变换所对应的矩阵为0
1102-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求,k θ的值． 选修4—4：坐标系与参数方程
22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是22
2422x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴
为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
． （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
选修4—5：不等式选讲
23. 已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22
224(2)a a b b a +-+≤+．
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 24. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=o ，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .
（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值；（2）求二面角1B AC C --的余弦值.
25.已知数列{}n a 满足：113
, 1.1
n
n n a a a a +=
=+ 求证：（1）1
(2);2
n a n ≤≥ （2）3
).143ln 9
n a n N n n +>
∈++。