迈达斯之——静力弹塑性分析基本原理及方法

迈达斯之——静力弹塑性分析基本原理及方法
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8-7 静力弹塑性分析(Pushover分析)
8-7-1 概要
非线性抗震分析方法可分为非线性静力分析方法和非线性动力分析方法。

非线性动力分析方法可以认为是比较准确的方法，但是因为分析时间较长并对技术人员理论水准有较高的要求，所以在实际工程上的普及应用受到了限制。

相反静力分析方法虽然在反映结构动力特性方面有所不足，但是因为计算效率较高和操作简单、理论概念清晰等原因被广大设计人员所普遍使用。

静力弹塑性分析又被称为Pushover分析，是基于性能的抗震设计（P erformance-Based Seismic Design, PBSD）中最具代表性的分析方法。

所谓基于性能的抗震设计是以某种目标性能（target performanc e）为设计控制目标，而不是单纯的满足规范要求的极限承载能力的设计方法。

其步骤是先按照规范要求进行抗震分析和构件设计，然后通过Pushover分析获得结构的极限承载能力，最后通过非线性位移结果评价结构是否满足目标性能要求。

2
目前规范中推荐的基底剪力法和反应谱分析方法均为弹性分析方法，其评价标准是地震作用下的抗力不小于地震作用下产生的内力，这些方法也被称为基于荷载的设计方法。

而基于性能的设计方法则是使用与结构损伤直接相关的位移来评价结构的变形能力（耗能能力），所以又被称为基于位移的设计（displacement-based design）方法。

通过Pushover分析可得如图所示的荷载-位移关系曲线（能力谱），根据结构耗能情况可得到非线性需求谱。

能力谱与需求谱的交点就是结构对于地震作用的性能点（performance point）。

性能点意味着结构对于地震作用所拥有的最大的非线性承载力和最大位移，该点在控制目标性能范围内则表示该结构满足了性能要求。

通过非线性分析可以了解结构具有的的极限承载能力和安全度。

3
图基于位移设计法的结构抗震性能评价4
8-7-2 分析方法
基于性能的抗震分析方法有下列四种：
（1）线性静力分析法(Linear Static Procedure, LSP)
（2）线性动力分析法(Linear Dynamic Procedure, LDP)
（3）非线性静力分析法(Nonlinear Static Procedure, NSP)
（4）非线性动力分析法(Nonlinear Dynamic Procedure, NDP)
其中Pushover分析方法属于非线性静力分析法，又被称为塑性铰分析法。

该分析方法主要被应用于受高阶振型和动力特性影响较小的结构。

Pushover分析步骤一般为：按照指定的加载模式逐渐加载至控制目标并获得结构的荷载-位移曲线(capacity curve)，然后将其转换为表现单自由度体系的加速度响应和位移响应关系的能力谱，同时将加速度-周期格式的加速度反应谱转换为加速度-位移格式(ADRS，Acceleration-Displacement Response Spectrum)的需求谱(demand spectrum)，将需求谱和能力谱反映在同一个坐标系中，两条谱曲线的交点(性能点)就是满足该水准地震作用的极限承载能力和变形能力点。

因此可通过定义不同的需求谱(小震、中震、大震)，通过验算不同性能水准下的承载力和变形，实现“小震不坏、中震可修、大震不倒”的三性能水准抗震设计
5
6
原则。

midas 中使用ATC -40(1996)和FEMA -273(1997)等报告中的能力谱法(Capacity Spectrum Method ，CSM )和推荐的参数对构件的抗震性能进行评价。

能力谱法的原理如图所示。

(a) 结构的能力曲线(capacity curve )和能力谱(capacity spectrum )
(b) 需求谱(demand spectrum ) (c) 性能点(performance point )
图 能力谱法(Capacity Spectrum Method, CSM )
Pushover 分析的目的是为了了解结构具有的承载能力和变形能力，钢筋砼结构在进行Pushover
分析前必须先进行线弹性分析和构件设计以获得结构的配筋
结果，只有使用结构的实际配筋结果才能准确进行非线性分析。

Pushover分析的优点如下：
（1）可获得结构和构件屈服后的响应和极限承载能力；
（2）可获得结构和构件的耗能能力和位移需求；
（3）可获得结构构件的出铰类型以及大致的出铰顺序；
（4）在维修加固工程中事先了解需要加固的构件。

7
8-7-3 静力弹塑性分析方法
概要
如下图所示，结构在横向荷载作用的初期处于弹性状态，当内力超过构件的开裂或屈服内力时部分构件将发生开裂或屈服，此时构件和结构的刚度和阻尼都将发生变化，荷载和位移的相关关系显示出非线性特性。

由弹性进入屈服阶段的点A被称为弹性极限，部分构件屈服后随着荷载的增加结构的位移会显著增加，到达B点后在较小的外力增量作用下结构也会发生较大的位移，最后在C点后即使不再增加外力位移也会显著增加，C点被称为极限承载能力点。

图内力和位移的关系
点C是使用荷载增量法所能得到稳定解的极限点，要想获得C点之后的曲线只能使用位移增量法进行分析，即采用位移控制法。

结构大师中既提供荷载控制
8
9 法又提供位移控制法。

迭代分析方法
Pushover 分析中由于发生裂缝和屈服造成结构的刚度变化，在分析过程中会产生不平衡力，不平衡力又被称为残余力(Residual Force )，为了消除不平衡力需要进行迭代计算使不平衡力达到可以忽略的程度(满足收敛条件)。

midas 的迭代计算方法使用了完全牛顿-拉普森法(Full Newton-Raphson Method )，该方法具有收敛速度快的特点。

使用完全牛顿-拉普森法的非线性分析过程如下图所示，其分析过程如下：
图 完全牛顿-拉普森法
（1）在当前步骤(n)增加荷载向量λn ∙P 0可得图所示的A
点，此时的平衡
方程式如下：
（1）
式中：
K n —— 当前步骤(n)的结构切线刚度矩阵； ΔU n —— 当前步骤(n)的位移增量； F n-1 —— 前次步骤(n-1)的内力向量； λn —— 当前步骤(n)的加载系数； P 0 —— 荷载向量；
λn ∙P 0 —— 当前步骤(n)的荷载向量。

可将式（1）用增量形式表达如下：
10--=∆n n n n F P U K λ
0P U K n n n λ∆=∆
（2）
式中：
λn 、P 0 —— 当前步骤(n)的荷载向量。

解式（2）得位移增量ΔU n 。

（2）利用位移增量ΔU n 计算各单元的切线刚度和内力，将各单元的内力
组合构成切线刚度矩阵K n (i)。

将各单元的内力与节点力组合构成内
01P F U K n n n n ⋅=+∆-λ
力向量F n (i)。

此时结构的内力和位移的关系满足图点B 上的平衡条件。

（3）荷载增加λn ∙P 0时如果单元发生屈服则单元产生残余力R n (i)
，可通过
下面的迭代计算消除残余力：
)
(0)()(i n n i n i n
F P U K -=∂λ
)
()
()
(i n
i n i n R U K =∂
（3）
式中：
K n (i ) —— 当前步骤(n)内的第i 次迭代计算时的切线刚度矩阵； δU n (i ) —— 当前步骤(n)内的第i 次迭代计算时的位移向量； F n (i ) —— 当前步骤(n)内的第i 次迭代计算时的内力向量； R n (i ) —— 当前步骤(n)内的第i 次迭代计算时的残余力。

解方程（3）得位移向量δU n (i )。

计算各单元的内力和切线刚度后可得残余力R n (i )
，重复(1)~(3)步骤直到满足收敛条件。

（4）满足收敛条件时（在点C ）将进行下一个增量步骤的分析。

残余力和收敛计算
U后计算各单元的内力和切线刚度，然后计算残余由式(3)求解位移向量()i
n
R判断是否满足收敛条件，不满足时重复上面的(1)~(3)步骤。

力()i
n
(1) 残余力和收敛计算
塑性铰的出现造成了单元刚度的变化，单元刚度的变化又引起了单
元内力的变化，从而使外力和单元内力之间产生了不平衡力（残余
力）。

程序中消除残余力的方法如下：
进行收敛迭代计算时(最大迭代次数设置为不小于2时)
使用完全牛顿-拉普森法进行迭代收敛计算直至满足收敛条件。

但是
仍有下面的残余力会累计到下一个增分步骤的外力中。

a. 到最大迭代次数时仍未满足收敛条件时的残余力；
b. 满足了收敛条件但仍残留的不平衡力。

不进行收敛迭代计算时(最大迭代次数设置为1)
各增量步骤的残余力将累计到下一个增量步骤中的外力中。

因此即
便是某个增量步骤中没有收敛只要下一个步骤中收敛时，可以认为
最终分析结果收敛。

(2) 收敛判断条件
因为不可能完全消除残余力，所以为了既满足计算结果的精确度又保证计算效率，需要设置适当的收敛判断条件。

迭代计算的收敛判断采用范数标准，有位移范数、荷载范数、能量范数，可选择其一也可多选作为收敛判断标准。

.
位移范数
()()()()i T i n n D i T i n n
δδε⋅=
∆⋅∆U U U U (4a)
荷载范数
()()
()()
i T i n n F i T i n n δδε⋅=
∆⋅∆F F F F (4b)
能量范数 ()()()()
i T i n n E i T i n n
δδε⋅∆⋅∆F U F U (4c)
式中：
εD：位移范数；
εF：荷载范数；
εE：能量范数；
ΔU n(i)：当前步骤(n)内的第i次迭代计算累计的位移增量向量；
δU n(i)：当前步骤(n)内的第i次迭代计算的位移向量；
ΔF n(i)：当前步骤(n)内的第i次迭代计算的累计内力增量向量；
δF n(i)：当前步骤(n)内的第i次迭代计算的内力向量。

(3) 收敛判断条件的选择
可以同时选择多个收敛判断条件，此时收敛迭代计算次数将增加。

初始荷载
因为地震作用前结构的竖向荷载是始终存在的，所以Pushover分析有必要考虑竖向荷载作用下的初始内力状态，这样计算的构件内力才是接近真实的。

特别是考虑轴力和弯矩相关的柱构件在计算屈服面时需要考虑竖向荷载引起的轴力。

初始荷载中活荷载的组合值系数规范没有明确的规定，可根据实际情况取～。

结构大师的Pushover分析对初始荷载也进行非线性分析，以获得更接近于实际情况的初始内力。

需要注意的是，Pushover分析中考虑初始荷载时输出各单元内力包含了初始
荷载引起的内力的影响，但是节点位移中没有包含初始荷载引起的位移。

P-Delta 效应
当单元同时受轴力和横向荷载作用时，单元上将产生附加内力和附加变形，即产生所谓的重力二阶效应又称为P-Delta 效应。

P-Delta 分析属于几何非线性分析，单元刚度矩阵中要考虑几何刚度，考虑P-Delta 效应的平衡方程如下：
()10G n n n n λ-+∆+=⋅K K U F P
(5)
式中：
K : 结构的弹性刚度矩阵； K G : 结构的几何刚度矩阵。

在Pushover 分析过程中刚度矩阵行列式应大于零，当刚度矩阵的行列式为零或负值时将忽略几何刚度的影响。

0G +>K K
(6)
刚度矩阵的行列式为零或负值的情况如下：
FEMA 类型铰的位移超过极限值时(图的C 点之后)
多折线类型铰在出现塑性铰以后新的单元弹性刚度矩阵加上几何刚度矩阵时，对角线上的刚度成分出现0或负值。

终止分析条件
达到最大步骤数时；
达到最大位移、最大层间位移角限值时；
当前刚度与初始刚度的比值小于设定的限值时；
初始荷载作用下构件发生了屈服时。

8-7-4 荷载控制法
荷载控制法是指预设一个最大荷载后逐渐加载至最大荷载的分析方法。

结构大师中的荷载控制法不是事先预设最大荷载，而是在逐渐加载后达到结构极限承载力时终止继续加载的方法，即在无法得到稳定解时终止分析的方法。

程序中的荷载控制法使用Full Newton-Raphson方法，该方法具有速度快的特点。

程序中提供下面三种荷载增量控制方法。

自动调整步长方法
等步长控制方法
通过步长函数控制方法
自动调整步长方法
nstep
<1
n λ⋅1P λ⋅
图 自动调整步长方法
自动调整步长就是在非线性不是很明显的阶段加大步长间距，在非线性比较明显的阶段自动减小步长间距的方法。

具体操作步骤如下：
(1) 第一阶段: 计算弹性极限 (1n =)
计算水平荷载作用下各构件的内力与构件屈服内力的比值，从而获得达到屈服时的荷载增量。

yild ini crnt ini P P ratio P P -=
- (7)
其中，ratio : 非线性铰的屈服内力与水平荷载作用下的内力的比值
yild P : 非线性铰的屈服内力
crnt P : 水平荷载作用下的非线性铰的内力
ini P : 初始荷载作用下的非线性铰的内力
将弹性极限的90%作为第一荷载步的荷载参数进行分析。

1110ini ini λ∆+=⋅+K U F P P
(8)
其中， 1K : 第1荷载步的结构切线刚度矩阵 1∆U : 第1荷载步的位移增量
ini F : 初始荷载作用下的内力向量
1λ : 第1荷载步的荷载因子(10.9*ratio λ=)
0P : 设置的荷载增量向量
ini P : 初始荷载向量
10λ⋅P : 第1荷载步的外力向量
(2) 第2阶段: 根据收敛情况自动调整分析步长(1n nstep <<)
从弹性极限到总荷载的荷载因子采用下列等差级数自动调整。

{}
()
11
11(1)1nstep i n n nstep n
i λλλ-=+-+-=⨯-∑
(9) 其中， n λ : 当前步骤(n)的荷载因子
1n λ- : 前一步骤(n-1)的荷载因子
1λ : 第1荷载步的荷载因子
nstep : 总步骤数
i : 等差增量步骤号
当前步骤的外力向量如下。

0n n λ=⋅P P
(10)
(3) 第3阶段: 最终步骤的荷载增量(n nstep =)
最终荷载步骤(nstep )的外力向量如下、
0nstep nstep λ=⋅P P ; 1.0nstep λ=
(11)
图 自动调整荷载步长的例题(荷载因子结果)
等步长控制方法
将控制荷载或控制位移按总步骤数等分作为分析步长。

通过步长函数控制步长
按照用户输入的步长函数计算各步长的荷载因子。

定义步长函数的方法如下：
1.在Pushover荷载工况中设置总步骤数nstep
2.点击步长控制选项 > 增量控制函数定义步长控制函数
No. : 输入步骤数，该步骤数与总步骤数无关，仅是用于定义函数的X轴的参数（X轴的最大值对应的是总步骤数，输入与总步骤数不同的数值时将按比例调整步骤数）。

Function : 输入荷载因子。

例如当总步骤数为10而按下面对话框中定义步长函数时，表示第2个步骤的荷载系数为，第10个步骤的荷载系数为。

3. 例题
Case 1 : 用户直接输入各荷载步的荷载因子的方法
nstep=10
在增量控制函数中输入下列值
No.Function
1
2
3
4
5
nstep无关时
Case1相同
No.Function No.Function
0或
当前刚度与初始刚度的比值
程序中使用了当前刚度与初始刚度比值的概念，用于评价结构目前所处的状态。

用当前刚度与初始刚度的比值(Current Stiffness Ratio)判断结构的状态的标准如下：
（1）弹性状态 : Cs=%
（2）弹性状态到极限承载能力阶段 : %<Cs<%
（3）极限承载能力状态 : Cs=%
（4）极限承载能力后的状态 : Cs<%
当前步骤中Cs小于0时程序将自动回退到前一步骤并终止分析。

图当前刚度与初始刚度的比值
8-7-5 位移控制法
位移控制法是指预设一个控制位移后逐渐加载至最大位移的方法。

一般来说控制位移是指控制某个节点的位移，但是在分析过程中发生最大位移的节点可能会发生变化。

程序中既可以将某个节点作为位移控制节点(主节点控制)，也可以控制所有节点的位移不超过控制位移限值(整体控制)。

在建筑上横向位移的大小一般控制在建筑高度的1%、2%、4%，基本上对应不同水准的设计。

在ATC-40或FEMA-273中将1%作为立即入住水准，将2%作为生命安全水准，将4%作为防止倒塌水准。

这是结构层面上的规定，对于构件的位移控制是不同的。

8-7-6 加载模式
Pushover的横向荷载应该能相对准确地反映实际地震作用，即实际地震力在各楼层的惯性力分布状态，这样才能保证分析结果更接近于实际状态。

一般来说，在Pushover分析中推荐使用两种以上的横荷载分布模式进行分析，通过比较取不利的结果进行判断。

程序中提供了下面三种横向荷载加载模式。

（1）静力荷载模式：按用户定义的横向静力荷载分布加载；
（2）模态模式：可按振型形状分布模式加载，也可以将几个振型线性组合；
（3）按各楼层的质量分布比例加载。

8-7-7 静力弹塑性分析中使用的非线性单元
静力弹塑性分析中使用的非线性单元有二维梁单元、三维梁-柱单元、桁架单元、非线性连接单元等。

各单元的特性如下：
静力弹塑性分析中的非线性单元特性简介
(1) 使用弯矩-旋转角关系定义的非线性梁单元
①单元刚度：使用了柔度矩阵；
②弯矩铰特性：用弯矩-旋转角的关系定义；
③内力相关关系：单轴模型（互不相关）或多轴模型（P-M-M模
型）；
④铰位置：单元两端(弯矩铰)、单元中央(轴力铰、剪切铰、扭矩
铰)；
⑤骨架曲线类型：双折线、三折线、FEMA
⑥初始刚度：对初始刚度矩阵（弹性矩阵）没有影响，对屈服后的
分析有影响；
(2) 使用弯矩-曲率关系定义的非线性梁单元
①单元刚度：使用了柔度矩阵；
②弯矩铰特性：用弯矩-曲率的关系定义；
③内力相关关系：单轴模型（互不相关）或多轴模型（P-M-M模
型）；
④铰位置
-集中铰：单元两端(弯矩铰)、单元中央(轴力铰、剪力铰、扭矩铰)；
-分布铰：全长
⑤骨架曲线类型：双折线、三折线
⑥初始刚度
-集中铰：对初始刚度矩阵（弹性矩阵）没有影响，对屈服后的分析有影响；
-分布铰：直接反映到初始刚度矩阵(弹性矩阵)中
(4)桁架及非线性连接单元
①内力相关关系：单轴模型（互不相关）；
②铰位置：单元中央；
③骨架曲线类型：双折线、三折线、FEMA、滑移
④初始刚度：直接反映到初始刚度矩阵(弹性矩阵)中；
二维梁单元和三维梁-柱单元
程序中的非线性单元是具有非线性铰特性的单元。

梁单元公式使用了柔度法（flexibility method），在荷载作用下的变形和位移使用了小变形和平截面假定理论（欧拉贝努利梁理论，Eule r Bernoulli Beam Theory），并假设扭矩和轴力、弯矩成分互相独立无关联。

非线性梁柱单元可以考虑P-Delta 效应，在分析的每个步骤都会考虑内力对几何刚度的影响重新更新几何刚度矩阵，并将几何刚度矩阵加到结构刚度矩阵中。

结构的非线性分析要计算构件屈服后的变形，如果使用基于刚度法的单元非线性分析时的变形形状会与形函数产生差异。

基于柔度法的单元不仅对单元形状而且对单元内力也使用形函数，所以使用柔度法的单元构件的内力变化会与实际相吻合。

柔度法中内力使用线性形函数，刚度的变化为抛物线形状，这与为获得线性变化的曲率使用三次方程形函数的刚度法相比，柔度法可以使用较少的单元获得较为精确的结果，并且可提高计算效率。

非线性梁柱单元的荷载和位移向量如下：
{,,,,,,,,,,,}T xi yi zi xi yi zi xj yj zj xj yj zj F F F M M M F F F M M M =f {,,, , , , ,,, , , }T i i i xi yi zi j j j xj yj zj u v w u v w θθθθθθ=u
i
j
x
y
(+)
(+)(-)
(-)x
Moment z
z x
y
(-)
(-)(+)
(+)x
Moment y z
z 图 二维梁单元和三维梁-柱单元的节点力和节点位移
根据定义弯矩非线性特性的方法，非线性梁柱单元可分为弯矩-旋转角关系单
元和弯矩-曲率关系单元。

另外根据铰位置和铰公式的不同可分为集中铰模型（L
umped Type Hinge Model ）和分布铰模型（Distributed Hinge Model ）。

(1) 非线性梁-柱单元的分析过程
下面介绍梁柱单元的分析过程，其中省略了收敛迭代的计算过程，可参见静力弹塑性和动力弹塑性中的相关介绍。

① 计算节点位移
利用式(2)计算结构的节点位移增量向量∆U 。

然后将整体坐标系下的位移转换为单元坐标系下的位移获得单元节点的位移增量向量Δu 。

将单元左端视为i 、右端视为j 则单元坐标系位移如下：
{,,, , , , ,,, , , }T i i i xi yi zi j j j xj yj zj u v w u v w θθθθθθ∆=∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆u
(2)
② 将节点位移转换为相对位移
单元两端的总位移是包含了单元刚体移动的位移，而结构的内力是由扣除刚体位移的相对位移(变形)决定的。

下面介绍轴向、扭转、旋转方向相对位移(变形)的计算过程。

单元的轴向变形：两端节点的轴向位移差为轴向变形
j i u u u =-
(3)
单元的扭转变形：两端节点的扭转角差为扭转变形。

x xj xi θθθ=-
(4)
单元的旋转角：如下图所示由弯矩和剪力引起的变形角和刚体旋转角组成。

s θθθ=-
(5)
其中， θ : 节点上的总旋转角
θ
: 由弯矩和剪力引起的旋转角
s
θ: 刚体运动引起的旋转角，且
j i
sy w w L
θ-=
、
j i
sz v v L
θ-=
弯矩铰的内力-变形关系中的变形是扣除了刚体运动的变形角，即
s θθθ=+
(6)
x
y
(+)(-)
(-)x Moment z
z x
y
(-)
(-)(+)
(+)x Moment y z
z
(+)
图 单元的绝对位移和相对位移的关系示意图
使用式(3)~(6)可以计算各成分的相对位移的增量向量Δu 。

{}T yi zi yj zj x u
θθθθθ∆=∆∆∆∆∆∆u
(7)
其中， j i
j i
yi yi
y j i
zi zi z j i
yj yj
y j i
zj zj
z
x xj xi
u u u w w L v v L w w L v v L θθθθθθθθθθθ∆=∆-∆∆-∆∆=+∆∆-∆∆=+∆∆-∆∆=+∆∆-∆∆=
+∆∆=∆-∆
③ 利用单元的变形增量Δu 计算单元的内力增量Δq
单元的内力增量Δq 为单元的变形增量Δu 和使用扣除了刚体移动计算的切线刚度矩阵AB k 的乘积。

单元的内力增量Δq 中的轴向力、扭矩、剪力为单元跨中值，弯矩则为单元两端值。

AB AB =⋅ΔΔk q u
(8)
其中，{}T
AB yi zi yj zj x n
m m m m m ∆=∆∆∆∆∆∆q : 轴力、弯矩增量
Δu : 非线性铰的位移增量向量
AB k : 扣除了刚体移动成分的切线刚度矩阵
剪力增量S ∆q 可由弯矩增量按下面公式计算而得。

{}
T
S y z q q ∆=∆∆q
(9)
其中，zi zj
y z
q m m L ∆∆+∆=、yi yj
z y
q m m L ∆∆+∆=
④ 使用内力增量Δq 和铰的柔度计算非线性铰的变形增量
弯矩-旋转角型单元和弯矩-曲率型单元中，将单元的内力增量Δq 转换为非线性铰（截面）的内力增量Δq 的方法是不同的，这将在各自单元的说明中另行阐述。

得到铰（截面)的内力增量Δq 后与铰的当前状态的柔度相乘可得铰（截面）的变形增量。

n d f q =⋅ΔΔ
(10)
其中， n f : 非线性铰的柔度(1/n n k f =)
⑤ 计算铰的总内力和总变形
铰的总内力和总变形为到前次步骤的内力和变形与当前步骤的内力增量
和位移增量之和。

1n n d d d -=+Δ (11) 1n n q q q -=+Δ
(12)
其中， 1n d - : 非线性铰到前次步骤的总变形
1n q - : 非线性铰到前次步骤的总内力
⑥ 计算非线性铰的柔度和内力
铰的柔度和内力的计算方法如图所示，可采用的铰骨架曲线(或滞回曲线)按如下步骤计算：
1) 判断在前次步骤(n-1)向当前步骤(n)移动时，弹塑性铰的变形d n 是
否超过了屈服变形d y 。

当前步骤中的变形超过了屈服变形d y 时，表示弹塑性铰的内力超过了屈服内力，表示铰发生了屈服。

2) 当弹塑性铰的变形d n 超过了屈服变形d y 时，铰的刚度k n 将使用骨
架曲线中折减后的刚度k n *
，并使用更新的刚度k n *
计算柔度f n *。

3) 使用更新的刚度k n *
计算铰的内力q n *。

4) 计算不平衡力r ，且r =q n -q n *
图 非线性铰的内力和变形关系(骨架曲线)
⑦ 计算单元的刚度矩阵和内力
使用通过骨架曲线计算的铰的柔度和内力计算单元的柔度矩阵和单元内力，单元的刚度矩阵为柔度矩阵的逆矩阵。

1n n -=K F
(13)
其中， n F : 非线性梁单元的柔度矩阵
n K : 非线性梁单元的刚度矩阵
(2)用弯矩-旋转角关系定义的非线性梁柱单元
横向荷载作用下框架结构的梁单元的弯矩一般在两端最大，塑性铰也集
中发生在梁的两端。

此时可在梁的两端设置使用弯矩-旋转角定义的非线
性弹簧来模拟可能出现的铰。

使用弯矩-旋转角定义的铰也称为集中型铰
模型(Lumped Type Hinge Model)。

使用弯矩-旋转角关系定义的梁柱单元的铰特性
弯矩-旋转角梁单元是在单元两端设置了长度为0的平动和旋转非线
性弹簧，而单元内部为弹性的非线性单元类型，如下图所示非线性弹
簧的位置示意图。

铰的特性参见表。

图弯矩-旋转角单元的铰位置示意图
弯矩-旋转角单元各成分非线性特性表
成分 铰特性
初始刚度(unit) 铰位置
轴力(F x ) 轴力-变形(相对位移) EA/L(N/m) 构件中心
剪力(F y 、F z ) 剪力-剪切变形 GAs(N) 扭矩(M x ) 扭矩-旋转角 GJ/L(Nm)
弯矩(M y 、M z )
弯矩-旋转角
6EI/L, 3EI/L, 2EI/L(Nm) 构件两端
弯矩-旋转角非线性梁柱单元的柔度矩阵
弯矩-旋转角单元的柔度矩阵由弹塑性铰的柔度矩阵和弹性梁柱单元的柔度矩阵相加而成，弹塑性铰的柔度为用户定义的铰的切线柔度和初始柔度的差，单元屈服前为零，铰的切线柔度矩阵由单轴(Single C
omponent )或多轴(P-M-M )模型的状态决定。

弯矩-旋转角梁柱单元的分析过程如下：
① 通过(1)~(6)的计算过程获得铰的柔度和内力。

因为在弯矩-旋转角梁柱单元中，计算的内力增量Δq 的位置就是铰的位置，所以铰的内力Δq 直接使用单元的内力增量Δq 。

② 使用图的骨架曲线计算的各成分的铰的柔度，分为初
始状态的柔度和弹塑性铰的柔度两个部分。

0n spr f f f =+ ; 0111n spr
k k k =+ (14a)
n el spr d d d =+
(14b)
式中：。