梁坤京理论力学第十二章动量矩定理课后

动量矩定理
12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：
t
b y t
a x ωω2sin cos ==
式中a 、b 和ω为常量。

求质点对原点O 的动量矩。

解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度
t
b t y v t a t
x
v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-==
质点对点O 的动量矩为
t
a t
b m t b t a m x
mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0⋅⋅+⋅-⋅-=⋅+⋅-=+=y x v v
t mab ωω3
cos 2=
12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。

轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。

（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。

（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。

解：（1）当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。

轮子角速度 R
v A
=ω
质心C 的速度
)(e R R
v C B v A
C +=
=ω 轮子的动量
A C mv R
e
R mv p +=
=（方向水平向右） 对B 点动量矩
ω⋅=B B J L 由于
222)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故 []
R
v e R m me J L A
A B 22)( ++-=
（2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。

e v v v v A CA A C ω+=+=
轮子动量 )(e v m mv p A C ω+== （方向向右） 对B 点动量矩
)
( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωωωω
12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm ，无初速地沿倾角︒=20θ的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。

试求轮子对轮心的惯性半径。

解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有
F mg ma C -=θsin （1） J C α = Fr （2）
因轮子只滚不滑，所以有 a C =αr （3）
将式（3）代入式（1）、（2）消去F 得到
g mr J mr C 2
sin +=
=θ
ϕα&&
上式对时间两次积分，并注意到t = 0时0 ,0==ϕ
ϕ&，则 )
(2sin )(2sin )(2sin 2
2222222r grt mr m mgrt mr J mgrt C +=+=+=ρθ
ρθθϕ 把 r = 0.025 m 及t = 5 s 时，m 3==ϕr s 代入上式得
mm 90m 09.013
220sin 58.9025.012sin 2sin 222
2==-⨯︒⨯=-=-=
s gt r r grt θϕθρ
12-17 图示均质杆AB 长为l ，放在铅直平面内，杆的一端A 靠在光滑铅直墙上，另一端B 放在光滑的水平地板上，并与水平面成0ϕ角。

此后，令杆由静止状态倒下。

求（1）杆在任意位置时的角加速度和角速度；（2）当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。

解：（1）取均质杆为研究对象，受力分析及建立坐标系Oxy 如图（a ），杆AB 作平面运动，质心在C 点。

刚体平面运动微分方程为
)
3( sin 2cos 2)2(
)1(
N N N N ϕϕαl
F l F J mg F y m F x m A B C B C A C ⋅-⋅=-==&&&& 由于 ϕϕsin 2
,cos 2l
y l x C C ==
将其对间t 求两次导数，且注意到 αϕωϕ-=-=&&&,，得到
)5( )sin cos (2
)4( )cos sin (2
22ϕωϕαϕωϕα+-=
-=
l y l x C C &&&&
将式（4）、（5）代入式（1）、（2）中，得
mg
ml F ml
F B
A ++-=-=)sin cos (2
)cos sin (2
2N 2N ϕωϕαϕωϕα
再将F N A ，F N B 的表达式代入式（3）中，得
ϕϕωϕαϕϕϕωϕααsin )cos sin (4cos 2cos )sin cos (4222
2--++-=ml mgl ml J C
即 ϕααcos 242mgl
ml J C +-= 把 122ml J C =代入上式得 ϕαcos 23l g
=
而 t
d d ω
α=
分离变量并积分得 ϕϕϕϕωωω
d cos 23d 00l g -=⎰⎰
)sin (sin 30ϕϕω-=
l
g
（2）当杆脱离墙时F N A = 0，设此时1ϕϕ=
则 0)cos sin (2
121N =-=
ϕωϕαml
F A 将α和ω表达式代入上式解得 01sin 3
2
sin ϕϕ=
)sin 3
2
arcsin(01ϕϕ=
12-19 均质实心圆柱体A 和薄铁环B 的质量均为m ，半径都等于r ，两者用杆AB 铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为θ，如图所示如杆的质量忽略不计，求杆AB 的加速度和杆的内力。

解：分别取圆柱A 和薄铁环B 为研究对象，其受力分析如图（a ）、（b ）所示，A 和B 均作平面运动，杆AB 作平动，由题意知
T T ,,F F a a a B A B A '=====ααα。

对圆柱A 有
)2( )1( sin A 11T αθJ r F F F mg ma =--=
对薄铁环B 有
)4( )
3( sin 22αθB J r F F mg T ma =-+'=
联立求解式（1）、（2）、（3）、（4），并将T
T 2
2,,2F F mr J r m J B A '===，以及根据只滚不滑条件得到的a = αr 代入，解得 θsin 71T T mg F F ='=（压力）及 θsin 7
4g a =
12-21 图示均质圆柱体的质量为m ，半径为r ，放在倾角为︒60的斜面上。

一细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定于点A ，此绳与A 相连部分与斜面平行。

若圆柱体与斜面间的摩擦系数为3
1
=
f ，试求其中心沿斜面落下的加速度a C 。

解：取均质圆柱为研究对象，其受力如图（a ）所示，圆柱作平面
运动，则其平面运动微分方程为
)
3( 60sin )2( 60cos 0)1( )(T N T F F mg ma mg F r F F J C --︒=︒-=-=α 而 F = fF N （4）
圆柱沿斜面向下滑动，可看作沿AD 绳向下滚动，且只滚不滑，所以有 a C =αr 把上式及3
1
=
f 代入式（3）、（4）解方程（1）至（4），得 a C = 0.355
g （方向沿斜面向下）
12-23 均质圆柱体A 和B 的质量均为m ，半径为r ，一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B 上，如图所示。

摩擦不计。

求：（1）圆柱体B 下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A 上作用一逆时针转向，矩为M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体B 的
习题9－8图
A
α
A
v A
a r
C
T
F g
m
(a)
质心加速度将向上。

解：（1）分别取轮A 和B 研究，其受力如图（a ）、（b ）所示，轮A 定轴转动，轮B 作平面运动。

对轮A 运用刚体绕定轴转动微分方程
r F J A A T =α （1） 对轮B 运用刚体平面运动微分方程有
B ma F mg ='-T (2)
r F J B B T '=α （3）
再以C 为基点分析B 点加速度，有
r r a a a B A BC C B ⋅+⋅=+=αα （4） 联立求解式（1）、（2）、（3）、（4），并将
T T F F '=及2
2
r m J J A B =
=代入，解得
g a B 5
4=
2）若在A 轮上作用一逆时针转矩M ，则轮A 将作逆时针转动，对A 运用刚体绕定轴转
动微分方程有
r F M J A A T -=α （5） 以C 点为基点分析B 点加速度，根据题意，在临界状态有
0t
t =+-=+=r r a a a B A BC C B αα （6）
联立求解式（5）、（6）和（2）、（3）并将T T '=及2
2
r m J J A B =
=代入，得 mgr M 2=
故当转矩mgr M 2>时轮B 的质心将上升。

9－8 图示圆柱体A 的质量为m ，在其中部绕以细绳，绳的一端B 固定。

圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。

求当圆柱体的轴降落了高度h 时圆柱体中心A 的速度υ和绳子的拉力F T 。

解：法1：图（a ） T F mg ma A -= （1） r F αJ A T = （2） r αa A = （3）
22
1mr J A = 解得
mg F 3
1
T =
（拉） g a A 3
2=（常量） （4）
由运动学 gh h a v A A 33
2
2=
=（↓） 法2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心C 用动量矩定理：
mgr J C =ϕ&& （5） 222
3
mr mr J J A C =+=
又 r
a A =ϕ
&& g a A 3
2
=（同式（4）） 再由 T F mg ma A -=
习题9－11图
D
A
B
C
习题9－12图
r
α
D N
F F
a
g
m M
M f
(a)
得
mg F 3
1
T =
（拉） gh h a v A A 33
2
2=
=（↓） 9－10 图示重物A 的质量为m ，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。

绳子跨过不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。

滑轮B 与滚子C 固结为一体。

已知滑轮B 的半径为R ，滚子C 的半径为r ，二者总质量为m ′，其对与图面垂直的轴O 的回转半径为ρ。

求：重物A 的加速度。

解：法1：对轮： Fr TR J O -=α （1）
T F a m O -='
（2） 对A ：
T mg ma A -=
（3）
又：t
H H A a a a ==绳
以O 为基点：
t
n n t HO HO O H H a a a a a ++=+
ααα)(t t r R r R a a
a O HO H -=-=-=（→）
α)(r R a A -=（↓）
（4）
由上四式联立，得（注意到2ρm J O '=）
1)()()()()
(2
222
222
+-+⋅'=
-++'-=
r R r m m g
r R m r m r R mg a A ρρ
法2：对瞬心E 用动量矩定理（本题质心瞬心之距离为常数）
)(r R T J E -=α T mg ma A -= 又α)(r R a A -=
)(222r m r m J J O E +'='+=ρ 可解得：1)()(2
22+-+⋅'=
r R r m m g
a A ρ
9－11 图示匀质圆柱体质量为m ，半径为r ，在力偶作用下沿水平面作纯滚动。

若力偶的力偶矩M 为
常数，滚动阻碍系数为δ，求圆柱中心O 的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。

解：f M M J D -=α （1）
N f F M δ= mg F =N
22
3mr J D =
r
a =
α
代入（1），得
mr
mg M a 3)
(2δ-=
又：F ma =
r
mg M F 3)
(2δ-=
9－12 跨过定滑轮D 的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A 上，另一端系在光滑水平面上的物体B 上，如图所示。

已知圆柱A 的半径为r ，质量为m 1；物块B 的质量为m 2。

试求物块B 和圆柱质心C 的加速度以及绳索的拉力。

滑轮D 和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。

解：对轮C ： r F J C T =α
HO
O
H
O a
n H a
n
HO a
t
H a (b)
m F 绳
H a H
T g
m O
α
T
(a)
a A
F
·
E
m ′
g B
m 2g T ′
F N
T
T 11F g m a m C -=
对物块B ：T 2F a m B = 且：αr a a B C +=；212
1
r m J C = 解得：g m m m a B
211
3+= ；g
m m m m a C 212132++= g m m m m F 2
12
1T 3+=。