NBA分析与评价的数学模型

题目：NBA赛程难度的评价的数学模型
摘要
本文采用层次分析法系统分析了NBA赛程公平性问题，引入相对公平指数表示组合权重来衡量赛程对各个球队的利弊；同时，在分析同部不同区赛程安排问题时，引用了优化模型中的0-1规划模型，并以两支球队胜率差的绝对值作为权重，设计了新的比较科学的赛程方案。

观点新颖，叙述得当，很好的解决了问题。

问题一，综合历年赛程与球队战绩，选取时间间隔指数、背靠背指数、连续客场指数和连续强队指数作为准则层因素，并对其进行量化（量化原则见问题分析）。

之后利用层次分析法，分别求出各个因素对决策目标的权重和方案层对准则层的权重。

同时，引入相对公平指数代替组合权重，便于将问题清晰化。

问题二，根据问题一求解进一步求出方案层对目标层的权重,并求出相对公平指数的列向量{}130⨯
H，各元素分别对应各支球队的相对公平平指数（见表3），从而得出火ij
箭排第17名得分0.0332407，赛程情况中等略偏下。

最有利的是活塞(0.020230225)、凯尔特人(0.0260017)等相对较强队；最不利的是魔术(0.0434265)、山猫(0.0402673)、雄鹿(0.0389019)等球队（其中魔术是因为连续客场指数高达58所致）。

关键词：层次分析法，相对公平指数，0-1规划，Mathematica，Lingo
1. 问题重述
对于NBA 这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。

这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：
1、 为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将
赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。

2、 按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球
队最有利和最不利的球队。

2. 符号说明
{}
4
4⨯ij A 表示准则层对目标层的判断矩阵
{}
30
81⨯ij B 表示第j 支球队在赛季中第1+i 场比赛和第i 场比赛之间的休息天数 {}
30
30⨯ij C 表示时间间隔指数的判断矩阵
{}
3081⨯ij D 表示把
{}
30
81⨯ij B 的数据量化为0-1分布的结果
{}30
30⨯ij E 表示背靠背指数的判断矩阵 {}
30
30⨯ij F 表示连续客场指数的判断矩阵 {}
30
30⨯ij G 表示连续强队指数的判断矩阵
{}
1
30⨯ij H 表示各支球队组合权重即相对公平指数排名
{}
5
5⨯ij x 表示各分区作0-1分布处理后的3、4场赛程分配矩阵 {}
5
5⨯ij y 表示各分区胜率差值权重矩阵
()5,4,3,2,1=i i CI 表示一致性指标 ()5,4,3,2,1=i i RI 表示随机一致性指标 ()5,4,3,2,1=i i CR 表示一致性比率指标
m ax λ表示最大特征值
1ω表示准则层对目标层的权重
ω表示准则层时间间隔指数对目标层的权重
2
ω表示准则层背靠背指数对目标层的权重
3
ω表示准则层连续客场指数对目标层的权重
4
ω表示准则层连续强队指数对目标层的权重
5
ω表示方案层对目标层的组合权重，即相对公平指数
A1，A2，……A5表示总排名前5名球队
B1，B2，……B5 表示总排名6-10名球队
C1，C2，……C5 表示总排名11-15名球队
D1，D2，……D5 表示总排名16-20名球队
E1，E2，……E5 表示总排名21-25名球队
F1，F2，……F5 表示总排名26-30名球队
3.模型假设
L1假设忽略两支球队历史交手战绩。

L2假设每天比赛的具体时间点对比赛影响很小，忽略不计。

L3假设球赛受到的球星效应、周末因素影响很小，忽略不计。

L4假设忽略一些不可控因素对赛程造成的影响，如当家球员受伤等。

L5当球队遭遇连续客场比赛时，假设连续两场以1为指数标准，连续三场时以2为指数标准，并依此类推。

L6假设在NBA联盟各球队连续主场与主客场交叉是正常现象，不计入对球队的不利因素，因此我们只考虑当球队遇到连续客场的情况，即连续客场作战的不公平程度。

4.问题分析
NBA常规赛赛程的安排一直受到篮球迷们的关注，人们总希望自己喜欢的球队能被安排到合理的赛程。

然而，不管赛程安排的如何精心，总会对一些球队产生相对的不公平性。

那么，我们如何对NBA官方的赛程安排进行分析与评价，才能找出各个队的公平程度呢？这也正是本题的旨义所在。

围绕这个问题，结合实际情况，我们作了如下分析：4.1问题一
4.1.1 影响因素分析：
4.1.1.1 时间间隔分析：
通常情况下，球员一场比赛后只要得到1天以上的休息时间即可基本恢复体力，为了简便起见，把所有大于等于1天的时间间隔全部化归为1，而0则保持不变。

容易构
D。

造新的81行30列的时间间隔矩阵{}3081⨯
ij
将矩阵j i D ⨯各列累加，得到一个1行30列元素的行向量。

不难看出，行向量的各个元素即表示对应球队所得到的休息指数，显然数值越大对该球队越有利（由于我们考虑的其它三个因素指数值与公平性是成反比的，所以在计算时以82减去所得指数，从而将时间间隔指数意义倒置）。

例如凯尔特人的时间间隔指数原是66，高于大部分球队，说明对它来讲赛程是公平的，现在用时间间隔指数的满分82减去66得到16，则将原来的意义倒置。

当某几个队所得数值相同时，可以通过分析其赛程中连续无休息日与连续客场的方法来判断，详见表3。

4.1.1.2 背靠背分析：
由于现实中，对背靠背的理解各不相同，我们取广义的背靠背意义，即连续两天或以上有比赛的情况。

令背靠背指数等于各个球队遇到背靠背的场次数之和，例如一支球队遇到连续两天比赛20次，遇到连续3天比赛2次，则其背靠背指数为2623120=⨯+⨯通过数据处理，得到各个球队背靠背指数汇总表，详见表3。

4.1.1.3 连续客场分析：
由于在NBA 比赛中，各个球队常规赛主客场比赛数目均等，且连续主场与主客交叉是正常现象，不应计入对球队的不利因素，因此我们只考虑当球队遇到连续客场的情况，即连续客场作战的不公平程度。

于是，不妨定义：连续客场分析指数，当球队遭遇连续客场比赛时，连续两个客场以1为指数，连续三个客场以2为指数，依此类推。

再将各队各种连续情况的发生次数乘以其对应的指数标准并将结果累加（例如，假设某球队遇到连续2个客场5次，连续3个客场2次，连续4个客场1次,连续5个客场1次，连续6个客场1次,则其连续客场指数为311615142352=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯），从而得到各个球队的连续客场指数是31，各队详情见表3。

4.1.1.4 连续强队分析：
将30支球队按照战绩排名后划分为六个等级，分别以A 、B 、C 、D 、E 、F 表示（令各级球队内部实力基本相当）；每个等级五支球队，分别以A1、A2、A3、A4、A5、B1、B2、B3、B4、B5、C1、C2、C3、C4、C5、D1、D2、D3、D4、D5、E1、E2、E3、E4、E5、F1、F2、F3、F4、F5表示，具体如表1所示：
我们定义：当一支C级球队连续遭遇B、C级对手时，从第二支球队开始，每个B 级球队加1分，每个C级球队加2分。

容易得到一组连续强队因素对各个球队的公平性影响指数。

于是，不加证明的给出如下五点解释：
1)当一支C级球队连续遇到同级球队时，竞争最激烈，其它级别类推。

2)当一支C级球队连续遇到高一级球队时，存在胜利希望，但激烈程度小于1）。

3)当一支C级球队连续遇到低于自己级别的球队时，比赛激烈程度低于1）、2）两
种情况，忽略不计。

4)当一支C级球队连续遇到高于自己两级以上球队时，比赛激烈程度低于1）、2）、
两种情况，忽略不计。

5)以上四项说明满足一般情况。

则，容易得出各个球队的连续强队指数，详见表3。

4.1.2 评价指标分析
在4.1.1中,已经给出了时间间隔指数、背靠背指数、连续客场指数和连续强队指数，这四个指数都可以作为衡量球队赛程公平性的指标。

为了便于系统分析赛程，利用层次分析法，引入相对公平指数作为目标层，时间间隔指数、背靠背指数、连续客场指
如下：
数和连续强队指数作为准则层，30支球队作为方案层，建立图1
图1 层次结构图
显然，赛程安排对各个球队的利弊可以用相对公平指数来衡量。

4.2 问题二
在4.1中，我们引入了相对公平指数的概念，它综合了所考虑的时间间隔指数、背
靠背指数、连续客场指数和连续强队指数四个因素。

在此我们可以根据层次分析法中特征根法来确定准则层因素的权重，然后根据权重计算出相对公平指数并给30支球队进行排名，得解。

5.模型的建立与求解
5.1 问题一：
NBA赛程的安排，涉及到比赛的时间、地点、对手强弱等诸多因素。

在问题一的分析中，我们已经给出了四个准则层因素的量化方法和标准，利用Mathematica软件计算（详见附件1），得30支球队的量化结果如表3：
表3 准则层因素详细指数
5.1.1 准则层对目标层的权重1ω：
5.1.1.1 计算权重：
根据假设2，准则层的四个因素是依次排列的，令其对决策目标的影响程度也是依次排列的，构造判断矩阵{}44⨯ij A 如下：
{}
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⨯14
32
14
1341323122312143214
4ij
A 这是一个4阶正互反矩阵，计算得（详见附件2）{}44⨯
ij A 的特征值为：
{}　0
004=λ
4max =λ
4max =λ所对应的归一化特征向量为：
()Ｔ　， ， ，　＝0.120.160.240.481ω
5.1.1.2 一致性检验：
符合要求，所以，1ω可以作为准则层对目标层的权重。

5.1.2方案层对准则层的权重： 5.1.2.1时间间隔： 5.1.2.1.1计算权重：
构造30阶正互反判断矩阵{}
30
30⨯ij
C ，计算得（附件2）{}
30
30⨯ij
C 的最大特征值为：
30m ax =λ
30m ax =λ所对应的归一化特征向量为2ω
5.1.2.1.2 一致性检验：
符合要求，所以，2ω可以作为准则层时间间隔指数对目标层的权重。

5.1.2.2背靠背：
5.1.2.2.1计算权重：
构造30阶正互反判断矩阵{}
30
30⨯ij
E ，计算得（见附件2）{}
30
30⨯ij
E 的最大特征值：
30max =λ
30max =λ所对应的归一化特征向量为3ω
5.1.2.2.2 一致性检验：
符合要求，所以，3ω可以作为准则层背靠背指数对目标层的权重。

5.1.2.3连续客场： 5.1.2.3.1计算权重： 构造30阶正互反判断矩阵{}
30
30⨯ij
F ，计算得（详见附件2）{}
30
30⨯ij
F 的最大特征值为：
30m ax =λ
30m ax =λ所对应的归一化特征向量为4ω
5.1.2.3.2 一致性检验：
符合要求，所以，4ω可以作为准则层连续客场指数对目标层的权重。

5.1.2.4连续强队： 5.1.2.4.1计算权重：
构造30阶正互反判断矩阵{}
30
30⨯ij
G ，计算得（附件2）{}
30
30⨯ij
G 的最大特征值为：
30max =λ
30max =λ所对应的归一化特征向量为5ω
5.1.2.3.2 一致性检验：
符合要求，所以，5ω可以作为准则层连续强队指数对目标层的权重。

5.2问题二
通过问题一的计算，可以得出四个准则层因素的最大特征值及其所对应的特征向量，现在确定方案层对目标层的组合权重ω，如下：
[]15432,,,ωωωωωω⋅=
其组合一致性比率指标满足：
1.0054321<=++++=CR CR CR CR CR CR
很显然，组合权重ω可以作为决策目标的依据。

于是，可以得到赛程安排利弊的衡量指标相对公平指数即组合权重ω得排名如下：
从上面可以看出，姚明加入的火箭队的相对公平指数为0.0332407，排在第17位，属于中等略偏下游水平，说明赛程的安排对火箭的影响处在所有球队中等位置。

但是，也有小部分不利因素，比如在时间间隔方面和连续客场方面，火箭相对都处于不利地位。

根据分析，该赛程的最有利球队是活塞(0.020230225)、凯尔特人(0.0260017)等相对强队；最不利球队是魔术(0.0434265)、山猫(0.0402673)、雄鹿(0.0389019)等球队。

其中，魔术是因为连续客场指数过高（达58）所致，这也是赛程安排的欠缺之一。

→→→→→→→→→→→→→→→→→凯尔特人0.0260017活塞0.0230225湖人0.029631黄蜂0.0268053马刺0.0277906火箭0.0332407太阳0.0338136爵士0.0354882魔术0.0434265小牛0.0285596掘金0.0353727勇士0.0290233骑士0.0318771奇才0.0297243开拓者0.0315021猛龙0.031928576人0..0.03495610.03190770.0339405⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪→⎪→→→→→→→→→→→→⎭0352989国王0.0364721老鹰0.0374572步行者0.0379866网0.0361919公牛0.0383293山猫0.0402673雄鹿0.0389019快船尼克斯灰熊森林狼0.0353409超音速（雷霆）0.0324357热火0.03330641
2
34
56
78
91011
127613
1415
16
17181920
212223
2425
2627
2829
30
⎧⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⇒⎨
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎩魔术山猫雄鹿
公牛步行者
老鹰国王
网爵士掘金
森林狼人
快船灰熊
太阳热火火箭
超音速（雷霆）
猛龙
尼克斯骑士
开拓者
奇才湖人
勇士小牛
马刺黄蜂
凯尔特人活塞
6.模型的优化与推广
在问题一和问题二中的赛程安排评价问题中，利用层次分析法建立了数学模型。

以相对公平指数反映目标层中赛程安排的优劣程度；准则层引入了时间间隔指数、背靠背指数、连续客场指数和连续强队指数等四个因素，并以三十支球队作为四个因素的方案层。

在权重的确定中，采用了特征根法，通过建立判断矩阵利用Mathematica软件算出其最大特征值与相对应的特征向量，最终解决了问题一和二。

需要说明的是，在对四个因素进行排序时，我们参照历年赛程对各个球队的影响，按一般情况下四个因素对赛果地影响程度进行了排位。

问题一中，我们考虑的因素基本上覆盖了可能对比赛结果产生影响的因素，但有些难以量化的因素由于时间和精力有限没有量化，而且这些因素对比赛结果的影响并不是很大，所以没有计算在内（如双方突发性事故难以预料，双方历史交战记录难以衡量等）。

7.参考文献
[1]韩中庚，《数学建模方法及其应用》，北京：高等教育出版社，2005年。

[2] 姜起源等，《数学模型》，北京：高等教育出版社，2003年。

[3] 谢金星等，《优化建模与LINDO/LINGO软件》，北京：清华大学出版社，2005年。

- 11 -。