166-高中数学选修系列2 选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案2

§3 微积分基本定理与定积分计算

一、目标预览

1.理解并能熟练运用微积分基本定理.

2.掌握定积分的常用计算方法.

3.了解定积分与不等式的常用证明方法.

4.了解定积分相关知识的综合应用. 二、概念入门

设],[b a R f ∈，称函数⎰

=

Φx

a

dt t f x )()(]),[(b a x ∈为函数

)(x f 在],[b a 上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：

⎰=ψb

x

dt t f x )()(.

注（i ）由)(R 积分的性质，)(x Φ的定义有意义. （ii ）由)(R 积分的性质易证],[)(b a C x ∈Φ.

三、主要事实 1.微积分基本定理

若],[b a C f ∈，则)()(x f x =Φ']),[(b a x ∈，即

⎰=x

a

x f dt t f dx d )()(，],[b a x ∈. 注（i ）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得. （ii ）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：

若],[b a C f ∈，而且)()(x f x F =']),[(b a x ∈，则

⎰

-=x

a

a F x F dt t f )()()(]),[(

b a x ∈.

(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积 分、微分与积分的内在联系.

（iv ）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限

⎰'-'=)

( )

( )())(()())(())((x x x x f x x f dt t f dx d ψϕϕϕψψ⎰

⎰

=ξ

)()

()()(a

b

a

dx x f a g dx x g x f ⎰=b

dx

x g b f )()(ξ

积分求导公式：

若],[b a C f ∈，)(x ϕ、)(x ψ在],[d c 上可微而且]),([d c ϕ、

],[]),([b a d c ⊂ψ，则

2.第二积分中值定理

（1）（旁内（Bonnet ，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，而且)(x g 是],[b a 上非负递减（相应地递增）函数，则存在],[b a ∈ξ使得 （相应地）

（2）（Werierstrass 型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，

)(x g 是],[b a 上的单调函数，则存在],[b a ∈ξ使得

⎰⎰⎰

+=b

a

b

a

dx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξ

ξ.

证（1）令⎰

=

x

a

dt t f x F )()(]),[(b a x ∈，利用g 的可积性得

⎰

⎰

--=→∑=i

i x x i n

i T b

a

dx x f x g dx x g x f 11

0|||| 1

)()(lim )()(

))()()((lim 111

0||||--=→-∑=i i i n

i T x F x F x g

再由 ))()()((111

--=-∑i i i n i x F x F x g

)()()]()()[(1111

---=+-∑=n i i i n i x g b F x g x g x F

及g 的单调减小性，可得

)()()()(max min a g F dx x g x f a g F b

a

≤≤⎰

再由连续函数的介值性即得.

（2）当g 为单调递减（增）时，对)()()(b g x g x h -=)((x g =

))(a g -应用（1）即得.

3.定积分的计算

（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若],[b a R f ∈，],[b a C F ∈而且除有限个点外有)()(x f x F ='，那么有

⎰

-=b

a

a F

b F dx x f )()()(.

注（i ）牛顿——莱布屁兹公式简称L N -—公式，它是微积 分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.

（ii ）证明可由)(R 积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在F 上）可推得.

（2）（定积分换元积分法）如果)(t ϕ在],[βα上有连续导数，

a =)(αϕ，

b =)(βϕ，],[]),([b a ⊂βαϕ，],[b a C f ∈，那么

有

⎰

⎰'=b

a

dt t t f dx x f )())(()(β

α

ϕϕ

注（i ）定积分换元积分公式由复合函数微分法及L N -公式 可得，而且],[)(b a C t ∈'ϕ可减弱为],[βαϕR ∈'.进一步，定积分换元积分公式中的],[b a C f ∈可减弱为],[b a R f ∈，但ϕ的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：

若],[b a R f ∈，],[],[:b a →βαϕ是一一映射而且还满足

a =)(αϕ，

b =)(βϕ，],[)(βαϕR t ∈'，那么有