专题二 第1讲 平面向量(解析版)

专题二 第1讲 平面向量

【要点提炼】

考点一 平面向量的线性运算

1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果． 2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．

【热点突破】

【典例】1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →

，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( ) A ．－12

B.12 C ．－14

D.14

【答案】 A

【解析】 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫

12CB →＋CA →

＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →

， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12

.

(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m

n ＝________.

【答案】 －2

【解析】 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m

n

＝－2.

(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →

(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．

【答案】 (1，＋∞)

【解析】 由题意可得，OD →＝kOC →＝k λOA →＋k μOB →

(0

k

>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．

易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．

【拓展训练】1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G.若CG →＝λCD →＋μCB →

(λ，μ∈R )，则λμ＝________.

【答案】 1

2

【解析】 由题意可设CG →＝xCE →

(0

因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →

不共线， 所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝1

2

.

(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →

，则x ＋3y 的取值范围是

________．

【答案】 [1,3]

【解析】 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 则B(1,0)，A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

2，32，C(cos θ，sin θ)

⎝ ⎛⎭

⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3.

则OC →

＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y(1,0)，

即⎩⎪⎨

⎪⎧

x 2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，

解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，

故x ＋3y ＝23sin θ

3

＋3cos θ－3sin θ

＝3cos θ－

33sin θ，0≤θ≤π3

. 令g(θ)＝3cos θ－

3

3

sin θ， 易知g(θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减， 故当θ＝0时，g(θ)取得最大值为3， 当θ＝π

3时，g(θ)取得最小值为1，

故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．

【要点提炼】

考点二 平面向量的数量积

1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2

＋y 2

. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →

|＝

x 2－x 1

2

＋y 2－y 1

2

.

3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21x 22＋y 2

2

. 【热点突破】

【典例】2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )

A ．－3135

B ．－1935 C.1735 D.1935

【答案】 D

【解析】 ∵|a ＋b |2

＝(a ＋b )2

＝a 2

＋2a ·b ＋b 2

＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，

∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2

＋a ·b |a ||a ＋b |

＝

25－65×7＝19

35

. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →

的值为( )

A ．3

B ．4

C ．－3

D ．－4 【答案】 C

【解析】 如图，连接CO ，

∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，

又∵OA ＝OB ＝2，OD →

＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，

∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →

＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)

＝12OA →·OB →－12

OB →2

＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1

2

×4＝－3.