2009年高考福建数学(理科)试题及参考答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理工农医类）
一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1. 函数()sin cos f x x x =最小值是 A ．-1 B. 12- C. 1
2
D.1 1．【答案】：B [解析]∵1()sin 22f x x =
∴min 1
()2
f x =-.故选B 2.已知全集U=R ，集合2
{|20}A x x x =->，则U A ð等于 A ． { x ∣0≤x ≤2} B { x ∣0<x<2} C ． { x ∣x<0或x>2} D { x ∣x ≤0或x ≤2} 2．【答案】：A
[解析]∵计算可得{
0A x x =<或}2x >∴}{
02CuA x x =≤≤.故选A
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A ．1 B 5
3
C.- 2 D 3 3．【答案】：C [解析]∵3133
6()2
S a a ==
+且3112 =4 d=2a a d a =+∴.故选C 4.
22
(1cos )x dx π
π-+⎰等于
A ．π B. 2 C. π-2 D. π+2
4．【答案】：D
[解析]∵2
sin (sin )[sin()]222222
x x x
x ππππ
π=+=+--+-=+-原式.故选D
5.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是
A ．()f x =
1x
B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x
e D
()ln(1)f x x =+
5．【答案】：A
[解析]依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。

6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．2 B .4 C. 8 D .16
6．【答案】：C
[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C
7.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是 A.m // β 且l //
α B. m // l 且n // l 2
C. m // β 且n // β
D. m // β且n // l 2 7．【答案】：B
[解析]若1212//,//,.,.m l n l m n αλλβ⊂⊂，则可得//αβ.若//αβ则存在
122,//,//
m l n l λλ⋂ 8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。

现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。

经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A ．0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15 8．【答案】：B
[解析]由随机数可估算出每次投篮命中的概率242
605
p ≈
=则三次投篮命中两次为2
23(1)C P P ⨯⨯-≈0.25故选B
9.设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，
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a ⊥c ∣a ∣=∣c ∣,则∣
b •
c ∣的值一定等于
A ． 以a ，b 为两边的三角形面积
B 以b ，c 为两边的三角形面积
C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积
D 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 9．【答案】：C
[解析]依题意可得cos(,)sin(,)b c b c b c b a a c S ⋅=⋅⋅=⋅⋅=故选C. 10.函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b
x a
=-
对称。

据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]2
()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是 A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64 10. 【答案】：D
[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程2[()]()0m f x nf x P ++=中,,m n p 分别赋
值求出()f x 代入()0f x =求出检验即得.
第二卷 （非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11.若
2
1a bi i
=+-（i 为虚数单位，,a b R ∈ ）则a b +=_________ 11. 【答案】：2 解析：由
22(1)
11(1)(1)
i a bi i i i i +=+⇒=+--+
，所以1,1,a b ==故2a b +=。

12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示。

记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清。

若记分员计算失误，则数字x 应该是___________
12. 【答案】：1
解析：观察茎叶图， 可知有888989929390929194
9119
x x +++++++++=
⇒=。

13.过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________
13. 【答案】：2
解析：由题意可知过焦点的直线方程为2
p
y x =-
，联立有222
23042
y px
p x px p y x ⎧=⎪⇒-+
=⎨=-
⎪⎩
，又82AB p ==⇒=。

14.若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 14. 【答案】：(,0)-∞
解析：由题意可知'
2
1
()2f x ax x
=+，又因为存在垂直于y 轴的切线， 所以2
311
20(0)(,0)2ax a x a x x
+
=⇒=->⇒∈-∞。

15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________. 15. 【答案】：5
解析：由题意可设第n 次报数，第1n +次报数，第2n +次报数分别为n a ，1n a +，2n a +，所以有12n n n a a a +++=，又121,1,a a ==由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。

三解答题 16.（13分）
从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集．．．．
中，等可能地取出一个。

（1） 记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； （2） 记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ 16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r ”为事件A
基本事件总数n=1
2
3
555C C C +++4
5
55C C +=31
事件A 包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4} 事件A 包含的基本事件数m=3 所以3()31
m p A n =
=
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（II ）依题意，ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5
又155(1)3131C p ξ==
=， 2510(2)3131C p ξ===， 3510(3)3131C p ξ=== 455(4)3131C p ξ===， 551
(5)3131
C p ξ===
故ξ的分布列为：
从而E 1ξ=⨯31+231⨯+331⨯+431⨯+53131
⨯=
17（
13分）
如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，
NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点
（1） 求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值
（2
） 在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段
AS 的长；若不存在，请说明理由
17.解析：（1）在如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -
依题意，得1
(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)
2
D A M C B N
E 。

1
(,0,1),(1,0,1)2
NE AM ∴=--=-
cos ,||||
NE AM NE AM NE AM <>=
=-⨯， 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为
10
（2）假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN .
(0,1,1)AN =,
可设(0,,),AS AN λλλ==
又11(,1,0),(,1,)22
EA ES EA AS λλ=-∴=+=-.
由ES ⊥平面AMN ，得0,0,ES AM ES AN ⎧=⎪⎨=⎪⎩即10,
2(1)0.
λλλ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩
故12λ=
，此时112
(0,,),||222
AS AS ==. 经检验，当2
AS =
时，ES ⊥平面AMN . 故线段AN
上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时AS =. 18、（本小题满分13分）
如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数 y=Asin ωx(A>0,
ω
>0) x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为
S(3，；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛 运动员的安全，限定∠MNP=120o
（I ）求A ,
ω的值和M ，P 两点间的距离；
（II ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP
最长？
18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 解法一
（Ⅰ）依题意，有A =34T =，又2T πω=
，6πω∴=。

6
y x π
∴= 当 4x =是，233
y π∴== (4,3)
M ∴ 又(8,3)p
5MP ∴==
（Ⅱ）在△MNP 中∠MNP=120°，MP=5， 设∠PMN=θ，则0°<θ<60° 由正弦定理得
0sin sin120
sin(60)MP NP
MN
θθ==-
NP θ∴=
,
0)MN θ∴=-
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故01)sin )2NP MN θθθθ+=
-=
060)θ=
+ 0°<θ<60°，∴当θ=30°时，折线段赛道MNP 最长 亦即，将∠PMN 设计为30°时，折线段道MNP 最长 解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP 中，∠MNP=120°，MP=5，
由余弦定理得222cos MN NP MN NP +-∠MNP=2MP 即2225MN NP MN NP ++= 故22
()25(
)2
MN NP MN NP MN NP ++-=≤ 从而2
3
()254
MN NP +≤，即MN NP +≤
当且仅当MN NP =时，折线段道
MNP 最长
注：本题第（Ⅱ）
问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，
还可以设计为：①
N
；②N ；③点N 在线段MP 的垂直平分线上等
19、（本小题满分13分）
已知A,B 分别为曲线C ： 2
2x a
+2y =1（y ≥0,a>0）与x 轴
的左、右两个交点，直线l 过点B,且与x 轴垂直，S 为l 上 异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T.
(1)若曲线C 为半圆，点T 为圆弧AB 的三等分点，试求出点S 的坐标；
（II ）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ,使得O,M,S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。

19.【解析】 解法一：
(Ⅰ)当曲线C 为半圆时，1,a =如图，由点T 为圆弧AB 的三等分点得∠BOT=60°或120°. (1)当∠BOT=60°时, ∠
SAE=30°. 又AB=2,故在△
SAE 中,有tan 30(SB AB s t =⋅︒=
∴
(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S
的坐标为
,综上, S 或
(Ⅱ)假设存在(0)a a >,使得O,M,S 三点共线.
由于点M 在以SB 为直线的圆上,故BT OS ⊥.
显然,直线AS 的斜率k 存在且k>0,可设直线AS 的方程为()y k x a =+. 由22
2222242221
(1)20()x y a k x a k x a k a a
y k x a ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩
得 设点222
22
(,),(),1T T T a k a T x y x a a k -∴--=+
故22
22
1T a a k x a k
-=+,从而222()1T T ak y k x a a k =+=+. 亦即222222
2(,).11a a k ak
T a k a k -++
222222
22(,0),((,))11a k ak
B a BT a k a k -∴=++
由()x a y k x a =⎧⎨=+⎩
得(,2),(,2).s a ak OS a ak ∴=
由BT OS ⊥,可得2222
2
24012
a k a k BT OS a k -+⋅==+即2222240a k a k -+=
0,0,k a a >>∴=
经检验,
当a =,O,M,S 三点共线.
故存在a 使得O,M,S 三点共线. 解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S 三点共线.
由于点M 在以SO 为直径的圆上,故SM BT ⊥.
显然,直线AS 的斜率k 存在且K>0,可设直线AS 的方程为()y k x a =+ 由22
2222222221
(1)20()x y a b x a k x a k a a
y k x a ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩
得 设点(,)T T T x y ,则有422
22
().1T a k a x a a k -⋅-=+
故222222222222
22,()().111T T T a a k ak a a k ak
x y k x a T a a k a k a k a k
--==+=⋅++++从而亦即 221
(,0),,T BT SM T y B a k k a k x a a k
∴==-=-故
由()
x a
y k x a =⎧⎨
=+⎩得S(a,2ak),所直线SM 的方程为22()y ak a k x a -=- O,S,M 三点共线当且仅当O 在直线SM 上,即22()ak a k a =-.
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0,0,a K a >>∴=
故存在a =使得O,M,S 三点共线. 20、（本小题满分14分） 已知函数3
21()3
f x x ax bx =
++,且'(1)0f -= (1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间；
（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I ）若对任意的m ∈(1x , x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；
（II ）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m ,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程） 20.解法一:
(Ⅰ)依题意,得2'()2f x x ax b =++ 由'(1)12021f a b b a -=-+==-得.
从而321
()(21),'()(1)(21).3f x x ax a x f x x x a =++-=++-故
令'()0,112.f x x x a ==-=-得或 ①当a>1时, 121a -<-
当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：
由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --。

②当1a =时，121a -=-此时有'()0f x >恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数
()f x 的单调增区间为R
③当1a <时，121a ->-同理可得，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- 综上：
当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --； 当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；
当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --. (Ⅱ)由1a =-得3
21()33
f x x x x =
--令2()230f x x x =--=得121,3x x =-= 由（1）得()f x 增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在处
121,3x x =-=取得极值，故M （5
1,3
-）N （3,9-）。

观察()f x 的图象，有如下现象：
①当m 从-1（不含-1）变化到3时，线段MP 的斜率与曲线()f x 在点P 处切线的斜率()f x 之差K mp -'()f m 的值由正连续变为负。

②线段MP 与曲线是否有异于H ，P 的公共点与K m p －'()f m 的m 正负有着密切的关联； ③Km p －'()f m =0对应的位置可能是临界点，故推测：满足K m p －'()f m 的m 就是所求的t 最小值，下面给出证明并确定的t 最小值.曲线()f x 在点(,())P m f m 处的切线斜率
2'()23f m m m =--；
线段MP 的斜率Km p 245
3
m m --=
当Km p －'()f m =0时，解得12m m =-=或
直线MP 的方程为22454(
)33m m m m
y x ---=+ 令22454()()(
)33
m m m m g x f x x ---=-+
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当2m =时，2'()2g x x x =-在(1,2)-上只有一个零点0x =，可判断()f x 函数在(1,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，又(1)(2)0g g -==，所以()g x 在(1,2)-上没有零点，即线段MP 与曲线()f x 没有异于M ，P 的公共点。

当(]2,3m ∈时，24(0)03
m m g -=->.2(2)(2)0g m =--< 所以存在(]0,2m ∈使得()0g δ=
即当(]2,3,m ∈时MP 与曲线()f x 有异于M,P 的公共点
综上，t 的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察，可得m 的取值范围为(]1,3
解法二：
（1）同解法一.
（2）由1a =-得321()33
f x x x x =---，令2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-= 由（1）得的()f x 单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数在处取得极值。

故M(51,3
-).N(3,9-) (Ⅰ) 直线MP 的方程为22454.33
m m m m y x ---=+ 由223245433133m m m m y x y x x x ⎧---=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
得32223(44)40x x m m x m m ---+-+=
线段MP 与曲线()f x 有异于M,P 的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 3222()3(44)4g x x x m m x m m =---+-+在(-1,m)上有零点.
因为函数()g x 为三次函数,所以()g x 至多有三个零点,两个极值点.
又(1)()0g g m -==.因此, ()g x 在(1,)m -上有零点等价于()g x 在(1,)m -内恰有一个极大值点和一个极小值点,即22'()36(44)0(1,)g x x x m m m =---+=在内有两不相等的实数根.
等价于2222236124403(1)6(44)036(44)01m m m m m m m m m ⎧∆+-+⎪-+--+>⎪⎨---+>⎪⎪>⎩
＝（）＞ 即1521,251m m m m m -<<⎧⎪><-<<⎨⎪>⎩或解得
又因为13m -<≤,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的r 的最小值为2.
21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，
（1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换
已知矩阵M 2311-⎛⎫
⎪-⎝⎭所对应的线性变换把点A(x,y )变成点A ‘(13,5),试求M 的逆矩阵及点A 的坐标
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:12cos 22sin x y θθ
=-+⎧⎨=+⎩ (θ为参数 )试判断他们的公共点个数 （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
解不等式∣2x-1∣<∣x ∣+1
21.
(1)解:依题意得
由 2 3,1 1M -⎛⎫= ⎪-⎝⎭得1M =,故1 1 3,1 2M --⎛⎫= ⎪-⎝⎭
从而由 2 3131 15x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 1 3131133521 25113253x y --⨯+⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⨯+⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故2,(2,3)3,x A y =⎧-⎨=-⎩
即为所求. (2)解:圆的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=.
其圆心为(1,2)C -,半径为2.
(3)解:当x<0时,原不等式可化为211,0x x x -+<-+>解得
又0,x x <∴不存在; 当102
x ≤<时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又110,0;22
x x ≤<∴<< 当11,222
x x ≥∴≤< 综上,原不等式的解集为|0 2.x x <<
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