金属塑性变形的力学基础
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i,i xii x1 1 x2 2 x3 3
i,jj
iji1i2i30 xj x1 x2 x3
二、张量的基本概念
张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量 组成的集合，称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢 量，即9个分量才能完整地表示。
• 静力学：根据静力学平衡条件导出应力分量之间的关系
式——平衡微分方程。
• 几何学：根据变形体的连续性和均匀性，导出应变与位移
分量之间的关系式——几何方程。
• 物理学：根据实验与假设导出应变与应力分量之间的关系
式——物理方程或本构方程。
• 此外，建立变形体在塑性状态下应力分量与材料性能之间
的关系——屈服准则或塑性条件。
它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一 定的线性关系来换算。
描述张量分量的个数用阶表示。在三维空间中，其张 量分量的个数为3n ，如应力、应变是二阶张量，有32 =9 个分量。
不同坐标系中的应力分量之间的转换关系
k l i l k l j l ( i , i j j 1 , 2 , 3 ; k , l 1 , 2 , 3 )
二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 。 以主轴为坐标轴，两个下角标不同的分量均为零，只留下两个
下角标相同的三个分量，叫作主值。
第二节 外力、应力和点的应力状态
一、外力和应力 二、直角坐标系中一点的应力状态
一、外力和应力 外力：塑性加工时，由外部施 加于物体的作用力叫外力。可 以分为两类：面力或接触力和 体积力 面力：作用于物体表面的力， 也叫接触力，如作用于物体表 面的分布载荷，正压力和摩擦 力都是面力。 体积力：作用在物体每个质点 上的力，如重力、磁力和惯性 力等。
其中，lki，llj为新坐标系的坐标轴关于 原坐标系的方向余弦。
表示点应力状态的九个应力分量构成二 阶张量，称为应力张量。
三、张量的基本性质
• 张量不变量： 二阶张量存在三个独立的不变量。
• 张量可以叠加和分解： 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量，
张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量。 任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量，
主要内容
第一节 张量的基本知识 第二节 外力、应力和点的应力状态 第三节 主应力和主切应力 第四节 应力平衡微分方程 第五节 应力莫尔圆
第一节 张量的基本知识
一、角标符号和求和约定 二、张量的基本概念 三、张量的基本性质
一、角标符号和求和约定
角标符号:成组的符号和数组可以用一个带下角标的符 号表示，这种符号叫角标符号。
l=cos(N,x)
m=cos(N,y)
n=cos(N,z)
分析：
1）斜面在三个坐标面的投影面积分别为
第十三章 金属塑性变形的力学基础
塑性理论： 研究金属在塑性状态的力学行为称为塑性理论或塑
性力学，是连续介质力学的一个分支。 塑性理论假设： （1）变形体是连续的； （2）变形体是均质和各向同性的； （3）在变形的任一瞬间，力的作用是平衡的； （4）在一般情况下，忽略体积力的影响。
在塑性理论中，分析问题的方法：
如可用xi即（x1，x2，x3）表示一点的坐标；如应力 分量xx，xy，xz，，可简记为ij（i,j=x,y,z）等。
一般地，如果一个坐标系有m个角标，每个角标取n 个值，则该角标符号代表着nm个元素，例如ij（i,j=x,y,z） （ m=2，n=3）就包含有9个元素。
导数记号：导数记为f,j，表示f(xi)对xj的导数，逗号后 边的下标表示对相应坐标的求导
yxx zx
xy y zy
xz yz
z
9个应力分量中只有6个 是互相独立的，它们组 成对称的应力张量。
作用在x 面上 作用在y 面上 作用在z 面上
作用方向为z 作用方向为y 作用方向为x
2）应力分量有正、负之分：
外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为 负面；
在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向 相反方向的取负号；
为截面F上Q点的全应力，可以分解成两个分
量：垂直于截面的正应力和平行于截面的
切应力，有
S2 22
注：过Q点可以作无限多的切面，在不同方向的切面上， Q点的应力不同。
二 分量、在yz；xxx直三角个xzyyy 互坐xyzzz相标垂系直作 作 作中用 用 用 的在 在 在 一微xyz 面 面 面 点分上 上 上的面上应有力三状个态正应力分量和六个切应力 作用方向为z 一般情况下，共作有用方 9个向为应y 力分量完整地描述一点的应力状态。 作用方向为x
图14-3 直角坐标系中单元体的应力分量
1）应力分量的符号带有两个下角标： 前一个角标表示该应力分量所在的坐标面（用该面的法
线命名）；
第二个角标表示应力所指的坐标方向；
正应力分量的两个下角标相同，两个下角标不同的是切 应力分量。
切应力互等定理
xy y； x y z z； y zx xz
ui, j
ui x j
克氏符号：ij称为克罗内克（Kronecker）符号，ij 定义为
ij 10
ij i j
wk.baidu.com
求和约定： 在一项中，没有重复出现的角标叫自由标，表示该项的个数。 在一项中，同一角标出现二次，则对该角标自1到n的所有元素
求和，这种角标在求和之后不再出现，称之为哑标，这一运算称 之为求和约定。
Fμ
F
F
注：对于一般的塑性成 形过程，体积力可以忽 略不计。但在高速成形 时，惯性力不能忽略。
应力：在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作 用的力，称为内力。单位面积上的内力称为应力，可采用截 面法进行分析。
设Q点处一无限小的面积ΔF上内力的合力为ΔP ，则定义
S l P d P im F 0 F d F
负面上的应力分量则相反。按此规定，拉应力为正， 压应力为负。
• 任意斜面上的力：
已知变形体中一点的九个应力分量，由静力平衡条件，可求 得过该点的任意斜面上的应力。
已知Q点三个互相垂直坐标 面上的应力分量ij，过Q点任 一 斜 面ABC（面积为 dF）的 法线N与三个坐标轴的方向余 弦为l，m，n，
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二、张量的基本概念
张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量 组成的集合，称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢 量，即9个分量才能完整地表示。
• 静力学：根据静力学平衡条件导出应力分量之间的关系
式——平衡微分方程。
• 几何学：根据变形体的连续性和均匀性，导出应变与位移
分量之间的关系式——几何方程。
• 物理学：根据实验与假设导出应变与应力分量之间的关系
式——物理方程或本构方程。
• 此外，建立变形体在塑性状态下应力分量与材料性能之间
的关系——屈服准则或塑性条件。
它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一 定的线性关系来换算。
描述张量分量的个数用阶表示。在三维空间中，其张 量分量的个数为3n ，如应力、应变是二阶张量，有32 =9 个分量。
不同坐标系中的应力分量之间的转换关系
k l i l k l j l ( i , i j j 1 , 2 , 3 ; k , l 1 , 2 , 3 )
二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 。 以主轴为坐标轴，两个下角标不同的分量均为零，只留下两个
下角标相同的三个分量，叫作主值。
第二节 外力、应力和点的应力状态
一、外力和应力 二、直角坐标系中一点的应力状态
一、外力和应力 外力：塑性加工时，由外部施 加于物体的作用力叫外力。可 以分为两类：面力或接触力和 体积力 面力：作用于物体表面的力， 也叫接触力，如作用于物体表 面的分布载荷，正压力和摩擦 力都是面力。 体积力：作用在物体每个质点 上的力，如重力、磁力和惯性 力等。
其中，lki，llj为新坐标系的坐标轴关于 原坐标系的方向余弦。
表示点应力状态的九个应力分量构成二 阶张量，称为应力张量。
三、张量的基本性质
• 张量不变量： 二阶张量存在三个独立的不变量。
• 张量可以叠加和分解： 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量，
张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量。 任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量，
主要内容
第一节 张量的基本知识 第二节 外力、应力和点的应力状态 第三节 主应力和主切应力 第四节 应力平衡微分方程 第五节 应力莫尔圆
第一节 张量的基本知识
一、角标符号和求和约定 二、张量的基本概念 三、张量的基本性质
一、角标符号和求和约定
角标符号:成组的符号和数组可以用一个带下角标的符 号表示，这种符号叫角标符号。
l=cos(N,x)
m=cos(N,y)
n=cos(N,z)
分析：
1）斜面在三个坐标面的投影面积分别为
第十三章 金属塑性变形的力学基础
塑性理论： 研究金属在塑性状态的力学行为称为塑性理论或塑
性力学，是连续介质力学的一个分支。 塑性理论假设： （1）变形体是连续的； （2）变形体是均质和各向同性的； （3）在变形的任一瞬间，力的作用是平衡的； （4）在一般情况下，忽略体积力的影响。
在塑性理论中，分析问题的方法：
如可用xi即（x1，x2，x3）表示一点的坐标；如应力 分量xx，xy，xz，，可简记为ij（i,j=x,y,z）等。
一般地，如果一个坐标系有m个角标，每个角标取n 个值，则该角标符号代表着nm个元素，例如ij（i,j=x,y,z） （ m=2，n=3）就包含有9个元素。
导数记号：导数记为f,j，表示f(xi)对xj的导数，逗号后 边的下标表示对相应坐标的求导
yxx zx
xy y zy
xz yz
z
9个应力分量中只有6个 是互相独立的，它们组 成对称的应力张量。
作用在x 面上 作用在y 面上 作用在z 面上
作用方向为z 作用方向为y 作用方向为x
2）应力分量有正、负之分：
外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为 负面；
在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向 相反方向的取负号；
为截面F上Q点的全应力，可以分解成两个分
量：垂直于截面的正应力和平行于截面的
切应力，有
S2 22
注：过Q点可以作无限多的切面，在不同方向的切面上， Q点的应力不同。
二 分量、在yz；xxx直三角个xzyyy 互坐xyzzz相标垂系直作 作 作中用 用 用 的在 在 在 一微xyz 面 面 面 点分上 上 上的面上应有力三状个态正应力分量和六个切应力 作用方向为z 一般情况下，共作有用方 9个向为应y 力分量完整地描述一点的应力状态。 作用方向为x
图14-3 直角坐标系中单元体的应力分量
1）应力分量的符号带有两个下角标： 前一个角标表示该应力分量所在的坐标面（用该面的法
线命名）；
第二个角标表示应力所指的坐标方向；
正应力分量的两个下角标相同，两个下角标不同的是切 应力分量。
切应力互等定理
xy y； x y z z； y zx xz
ui, j
ui x j
克氏符号：ij称为克罗内克（Kronecker）符号，ij 定义为
ij 10
ij i j
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求和约定： 在一项中，没有重复出现的角标叫自由标，表示该项的个数。 在一项中，同一角标出现二次，则对该角标自1到n的所有元素
求和，这种角标在求和之后不再出现，称之为哑标，这一运算称 之为求和约定。
Fμ
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注：对于一般的塑性成 形过程，体积力可以忽 略不计。但在高速成形 时，惯性力不能忽略。
应力：在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作 用的力，称为内力。单位面积上的内力称为应力，可采用截 面法进行分析。
设Q点处一无限小的面积ΔF上内力的合力为ΔP ，则定义
S l P d P im F 0 F d F
负面上的应力分量则相反。按此规定，拉应力为正， 压应力为负。
• 任意斜面上的力：
已知变形体中一点的九个应力分量，由静力平衡条件，可求 得过该点的任意斜面上的应力。
已知Q点三个互相垂直坐标 面上的应力分量ij，过Q点任 一 斜 面ABC（面积为 dF）的 法线N与三个坐标轴的方向余 弦为l，m，n，