专题：积的末尾有几个零的问题、经济问题

专题：积的末尾有几个零的问题
典型例题：
例1：1×2×3×4×5×……×200积的末尾有几个0？
解：答案取决于1到200所有数字有多少个因子5。

含5因子的数有：5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5560 65 70 75 80 85 90 95 100。

100里含有5的倍数的个数是[100/5] = 20，100里含有5*5的倍数的个数是[100/25]=4，100里含有5*5*5的倍数的个数是0。

因为10=5*2，而因子2的数量远多于因子5，所以要看结尾有多少个零，就看含有因子5的个数。

100个数里，含有是5的倍数而不是5*5倍数的数有20-4=16个，含有5*5倍数4个，而5*5倍数里，每个含有2个因子5。

所以总共有16 + 4×2 = 24 个。

同理，101----200中：105，110，115，120，125，...200，含有5的倍数的个数一共20个，含两个5因子的有125，150，175，200四个，含三个5因子的只有125一个，20+4+1=25个。

所以答案为24+25=49，即积的末尾有49个0 。

例2：1×2×3×……×100的积末尾有几个零?
解：1-100中，5的倍数20个；25=5*5的倍数有25，50，75，100共4个，因而一共有24个约数5，而约数2远多于5的约数，由此5的个数就是0的个数，因此乘积的末尾有24个0。

例3：1*2*3*......*688的末尾有多少个0？
解：5*5*5*5=625，但是5的5次方>688了
所以，a=4
答案就是：
4*([688/625])+3*([688/125]-[688/625])+2*([688/25]-[688/125]-[688/625])+1*([688/5]-[688/25]-[6
88/125]-[688/625])=4*1+3*3+2*23+110=169个0 。

例4：1*2*3*4*......*50积的末尾有几个零？
解：末尾的一个0，由质因数分解后一个2和一个5相乘得到。

容易看出，2有很多，因此我们
只需要数质因数分解后有多少个5即可。

50÷5=10，有10个数是5的倍数，他们贡献出10个5；
50÷25=2，有2个数是25的倍数，他们每个数一共可以贡献2个5，在上面已经贡献出一个了，
还可以每个再贡献一个5.因此一共有12个5.结尾有12个0 。

例5：1×2×3×4×5.......×30积的末尾有几个0？
解：∵0的个数取决于2和5的个数，而1~100中2的个数明显比5的多，∴只需算5的个数即可。

∵1~30共有30/5=6（个），但25含有两个5，∴共有6+1=7（个），∴有7个0。

例6：n!表示1*2*3....*(n-1)*n，计算末尾的0的个数。

很简单，我们来倒推：
要知道有多少个0，实际就是要知道结果里面有10的多少次方，10=2*5，显然1到n里面，2的个数要远远大于5的个数，实际就是要我们找出结果里面有5得多少次方，其实也就是算算有多少个5了。

1）假设最接近n的5的幂数是5的a次方这个自然数（那么接近100的也就是5的2次方=25了，a=2）；
2）答案就是a*(n/5的a次方)+(a-1)*(n/5的a次方-n/5的a-1次方)+(a-2)(n/5的a-2次方-n/5的a-1次方-n/5的a次方)+........
那么问题的答案就是：
2*(100/25)+1*(100/5-100/25)=8+16=24个0。

奥数中的“经济利润问题”。