高二数学之人教版高中数学选修4-5课件：2.3反证法与放缩法
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2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
[通一类] 2．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：y＝f(x) 在区间(a，b)上至多有一个零点．
证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，
不妨设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零 点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.
2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适 当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母 放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小， 则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放 大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数 相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中
[考题印证] (2011· 安徽高考)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，
其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交； (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上． [命题立意] 本题考查直线与直线的位置关系，线线相
交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，考查学生推 理论证的能力．
[精讲详析]
本题考查放缩法在证明不等式中的应用，
解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不 能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放 大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．
∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)， 1 1 1 ∴ ＜ 2＜ ， k kk－1 kk＋1 1 1 1 1 1 即k－ ＜ 2＜ －k(k∈N*且 k≥2)． k＋1 k k－1 分别令 k＝2,3，…，n 得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＜ ＜1－ ， － ＜ 2＜ － ， 2 3 22 2 3 4 3 2 3 … 1 1 1 1 1 n－n＋1＜n2＜n－1－n，将这些不等式相加得
[通一类] 2．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：y＝f(x) 在区间(a，b)上至多有一个零点．
证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，
不妨设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零 点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.
2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适 当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母 放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小， 则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放 大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数 相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中
[考题印证] (2011· 安徽高考)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，
其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交； (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上． [命题立意] 本题考查直线与直线的位置关系，线线相
交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，考查学生推 理论证的能力．
[精讲详析]
本题考查放缩法在证明不等式中的应用，
解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不 能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放 大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．
∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)， 1 1 1 ∴ ＜ 2＜ ， k kk－1 kk＋1 1 1 1 1 1 即k－ ＜ 2＜ －k(k∈N*且 k≥2)． k＋1 k k－1 分别令 k＝2,3，…，n 得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＜ ＜1－ ， － ＜ 2＜ － ， 2 3 22 2 3 4 3 2 3 … 1 1 1 1 1 n－n＋1＜n2＜n－1－n，将这些不等式相加得
高中数学 反证法与放缩法主课件 新人教A版选修4-5
放缩法
• 在证明不等式过程中，有时为了证明的需 要，可对有关式子适当进行放大或缩小， 实现证明。例如：
• 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) • 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
• 这种证明方法,我们称之为放缩法。
• 放缩法的依据就是传递性。
已知a, b, d∈R+，求证 1 a b c d 2
a b db c ac d bd a c 分析：
缩小法 a b c d
a b db c ac d bd a c a b c d
a b d cb c a dc d b ad a c b
abcd 1 abcd
放大法 a b c d
a b db c ac d bd a c abc d
放大法 a b c d
a b db c ac d bd a c abc d
ab ba cd dc
abcd112 ab cd
注意：放缩时应放缩适度
a bc d abcd
已知a, b 是实数，
求证 |ab| |a| |b| 1|ab| 1|a| 1|b|
法一
法二
已知a, b 是实数，
①如果a=0，则abc=0.这与已知abc>0矛盾， 所以a=0是不可能的。
②如果a<0，那么由abc>0得bc<0 因为a+b+c>0，所以b+c>-a, b+c>0, a(b+c)<0
a(b+c)+bc<0 所以ab+bc+ca<0 这与已知ab+bc+ca>0相矛盾。 所以，a<0也不可能。 综上所述，a>0
人教版高中数学选修4-5课件第二讲2.3反证法与放缩法精选ppt课件
所以 M＜1，选 B. 答案：B
4．用反证法证明“ 2， 3， 5不可能成等差数列” 时，正确的假设是________．
答案： 2， 3， 5成等差数列
5．A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1与 n
n(n∈N＋)的大小关系
是______________________．
解析：A＝
11＋
12＋
13＋…＋
[变式训练] (1)已知 x＞0，y＞0，z＞0，求证：
x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＞x＋y＋z； (2)求证：12＜n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＜1(n＞1，n∈N*)．
证明：(1)因为 x＞0，y＞0，z＞0，
所以 x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2＞x＋2y，①
[变式训练] 已知 0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2， 求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1. 证明：法一：假设 x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x) ＞1 均成立， 则三式相乘得 xyz(2－x)(2－y)(2－z)＞1，① 因为 0＜x＜2，
所以 0＜x(2－x)＝ － x2＋2x＝ － (x－1)2＋1≤1， 同理，0＜y(2－y)≤1，0＜z(2－z)≤1. 所以三式相乘得 0＜xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1② ②与①矛盾，故假设不成立． 所以 x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1.
归纳升华 1．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存 在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比 较具体． 2．用反证法证明不等式时，若原命题结论的否定不 止一个，就必须将结论的所有否定逐一驳倒．
3．当遇到命题的结论以“至多”“至少”等形式给 出时，一般多用反证法；应注意“至少有一个”“都是” 的否定形式分别是“一个也没有”“不都是”．
高二数学人教A版选修4-5课件：2.3 反证法与放缩法
证明:假设 4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)都大于 1,则 a(1-
b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)>14,d(1-a)>14.
∴
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������) > 12.
������ ������ 变式训练 2
设
n
是正整数,求证12
≤
1 ������+1
+
������+1 2+…+21������<1.
分析:要求一个
n
项分式 1
������+1
+
������+1 2+…+21������的范围,它的和又求不
出来,可以采用“化整为零”的方法,先观察每一项的范围,再求整体的 范围.
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探究一
探究二
探究三
证法二:假设a+b>2,则a>2-b. ∵a3+b3=2,∴2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0, 这与(b-1)2≥0矛盾, ∴a+b≤2. 证法三:假设a+b>2, 则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6, ∴ab(a+b)>2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0,这与(a-b)2≥0矛盾,∴a+b≤2.
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．
[研一题]
[例1]
设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－
b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
[精讲详析]
本题考查反证法的应用．解答本题若采用
直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手 解决．
假设 4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1， 4d(1－a) ＞1，则有 1 1 a(1－b)＞ ，b(1－c)＞ ， 4 4 1 1 c(1－d)＞ ，d(1－a)＞ . 4 4 1 1 ∴ a1－b＞ ， b1－c＞ ， 2 2 1 1 c1－d＞ ， d1－a＞ . 2 2 a＋1－b b＋1－c 又∵ a1－b≤ ， b1－c≤ ， 2 2
c＋1－d d＋1－a c1－d≤ ， d1－a≤ ， 2 2 a＋1－b 1 b＋1－c 1 ∴ ＞ ， ＞ ， 2 2 2 2 c＋1－d 1 d＋1－a 1 ＞ ， ＞ . 2 2 2 2 将上面各式相加得 2＞2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不 可能都大于 1.
[小问题· 大思维] 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一 论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证， 就不是反证法． (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛 盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与 已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.3 反证法与放缩法
栏 目 链 接
1 1 同理，(1－b)b≤ ，(1－c)c≤ ， 4 4 1 ∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤ ，与假设矛盾． 64 1 ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于 . 4 1 证法二 假设三式同时大于 . 4 ∵0＜a＜1，∴1－a＞0， －a ＋b 1 1 ≥ －a b＞ ＝ . 2 4 2 －b ＋c －c ＋a 1 同理 ， 都大于 . 2 2 2 3 3 三式相加，得 ＞ ，此式矛盾， 2 2 ∴原命题成立．
栏 目 链 接
例 3 若 a，b，c，d∈R＋，求证：1<
a b c ＋ ＋ a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b
d ＋ <2. d＋a＋c
a b c d 证明：记 x＝ ＋ ＋ ＋ . a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b d＋a＋c ∵a、b、c、d∈R＋， a b c d ∴x> ＋ ＋ ＋ ＝1， a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a b c d x< ＋ ＋ ＋ ＝2. a＋b a＋b c＋d c＋d ∴1<x<2，即原式成立．
栏 目 链 接
1 1 1 1 － < <1－ ， 2 3 22 2 1 1 1 1 1 － < < － ， 3 4 32 2 3 „， 1 1 1 1 1 － < < － . n n＋1 n2 n－1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将它们相加得： － ＋ － ＋„＋ － < ＋ ＋„＋ 2<1－ 2 3 3 4 n n＋1 22 32 n 2 1 1 1 1 ＋ － ＋„＋ － . 2 3 n－1 n 1 1 1 1 1 1 即 － < ＋ ＋„＋ 2<1－ . 2 n＋1 22 32 n n 3 1 1 1 1 1 ∴ － <1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ (n∈N*，且 n≥2)． 2 n＋1 2 3 n n
(教师用书)高中数学 2.3 反证法与放缩法配套课件 新人教A版选修4-5
利用反证法证“至多”、“至少”、 “唯一”型命题
已知f(x)＝x2＋px＋q，求证： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； 1 (2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2.
【思路探究】 算可得结论． (2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论． (1)把f(1)、f(2)、f(3)代入函数f(x)求值推
2．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 放大 或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方 法称为放缩法．
1．反证法的一般步骤是什么？
【提示】 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2) 从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
2．放缩法证明不等式常用的技巧有哪些？
【证明】 a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少 有一个是负数，故有假设a、b、c、d都是非负数． 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0 则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 这与已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假设错误， 故a、b、c、d中至少有一个是负数． 即a，b，c，d中至多有三个是非负数．
1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠ B≥90° ”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法， “＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等． 2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确 推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R. (1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结 论．
【证明】 (1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.
由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(－b)． 又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)． 两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
人教数学选修4-5全册精品课件：第二讲三反证法与放缩法
三反证法与放缩法学习目标1・理解并掌握反证法、换元法与放缩法；2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式.1.将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法•2.证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理，得到和命题的条件或己讦明的定理、性质、明显成立的事实等矛盾的结论,以说明假设不正确，从而证明原命题成立.我们把它称之为反证法.3.在证明不等式时，通过把不等式的某些部分的值放大或缩小,简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.思考感悟运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大（或缩小）要适当.如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大.有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式.课堂互动讲练考点突破反证法证明不等式设0<«v2,0v方v2,0vcv2, 求证: (2 —a)9C, (2—&)•«, (2—c)•方不可能同时大于1.【思路点拨】结论若是“都是”、“都不是”、“至少”、“差不多”或“不等于”形式的命题，往往考虑反证法，本题“不大于”的反面是“大于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”・【ss】sa ^(2—a )・C V L(2—b)・avL(2lc)・0VL s(2—a)・c ・(2—b)・a ・(2—c)・bvl ・CD・・• 0AaA290AT2©<CA292—a+a7・・・(2—a )・a /A( 2) H l ・ 回«“(2—3&A L (2—c )・c/Al ・・・・(2—a )a ・(2—3&・(2—c)・c /A L wIr ㊀m^M. •••s ^^ 暑•【名师点评】当题目结论为否定性命题时，常采用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.变式训练1已知f(x)=x2+px+q,⑴求证：/(1)+/(3)-2/-(2)=2；⑵求证：旷(1)1,『(2)1,『(3)1中至少有一个不小于12-证明：(1加1)+/(3)-欲2)=(l+〃+q)+(9+切+q) —2(4+2p+q)=2・⑵假设肛1)1，『(2)1,『(3)1都小于言・则『⑴ l+2『(2)l+|/(3)lv2・而f(l)l+2『(2)l + !A3)IM/⑴+/(3)—欲2)=(l+p+q)+(9+3p+q)—(8+4p+2q)=2 从而导出了两个矛盾的结果.・・・『(1)1、『(2)1、『(3)1中至少有一个不小于乞已知 0>0，6>0, C>0,且 0+方 2=c2.求证:当〃 M3时,a tl +b n <c n.岁点二Ih换元法证明不等式【思路点拨】条件中的^+b2=c2可化为(夕尸L/ + (£)2=1,满足这个关系的务可以用三角代换，变成三角函数式的证明.【证明】sinA=_, cosA=-，c c0<sinA<l,0<cosA<l,/. sin A+cos"A=sin" 一2A «siii2A+cos" 一2A POS%<sin2A+COS2A = 1,即(#)"+(£)"vl・:.a n+b n<c n.④对于pl —込可设工=cos 〃或x=sin 仇【名师点评】 如果两个非负数的和为1,就可用 某个角的正、余弦表示这两个数，使两个变量变成一个以角为变量的三角函数式，三角代换的规律②若 a 2+b 2=r 2(r>0)9 可设 a=rcosa, ③若 r 2^a 2+b 2^R 2(R>r>0),可设 a=ccosa, b =csimz(/WcWR)；x=cos 伏 y=sin 〃；fe=rsina ；为:・号巴+半+1+卡・・・GWZ+9ZZ启z+ra启 s +1+a +ys o e a +9z u le 「z +£0。
人教版选修A4-5数学课件：2.3 反证法与放缩法(共21张PPT)
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三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
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探究一 探究二 思维辨析
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【例 2】 求证 2(
1 1 1 ������ + 1-1)<1+ + …+ <2 2 3 ������
������(n∈N+).
分析：观察所证不等式,中间有 n 项需裂项相消,当 k∈N+时,因为 ������ + ������ + 1>2 ������ ,所以
1 >2( ������
������ + 1 −
1
1 4
1
1 4
1 4
1
1
又 ������(1-������) ≤
以上四个式子相加 ,得 2>2,矛盾 . ∴原命题结论成立.
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利用放缩法证明不等式
则 a(1-b)> ,b(1-c)> ,c(1-d)> ,d(1-a)> .
1 4
∴ ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2.
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【例 2】 求证 2(
1 1 1 ������ + 1-1)<1+ + …+ <2 2 3 ������
������(n∈N+).
分析：观察所证不等式,中间有 n 项需裂项相消,当 k∈N+时,因为 ������ + ������ + 1>2 ������ ,所以
1 >2( ������
������ + 1 −
1
1 4
1
1 4
1 4
1
1
又 ������(1-������) ≤
以上四个式子相加 ,得 2>2,矛盾 . ∴原命题结论成立.
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利用放缩法证明不等式
则 a(1-b)> ,b(1-c)> ,c(1-d)> ,d(1-a)> .
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∴ ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2.
高中数学人教A版选修4-5课件：2-3反证法与放缩法
否定 一个也 有两个或两 没有或有两 不 不都 是 有 假设 没有 个以上 个及以上 全 是
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典例透析
1
2
对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时 在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾, 尤其在一些选择题中,更是如此.
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>
2 ������+ ������+1
(������ ∈ R,k>1)
等.
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题型一
题型二
题型三
题型一 利用反证法证明不等式
【例1】 若a3+b3=2,求证:a+b≤2. 分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简洁,宜用反证法. 证法一：假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2. 证法二：假设a+b>2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6. 故ab(a+b)>2. ∵a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0. 这不可能,故a+b≤2.
=
n n
=
答案： A≥ ������
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
[例 2]
2
已知实数 x、y、z 不全为零．求证：
2 2 2 2 2
3 x ＋xy＋y ＋ y ＋yz＋z ＋ z ＋zx＋x > (x＋ y＋ 2 z)．
[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方
后再用放缩法证明．
[证明] ＝ ≥
x2＋xy＋y2 y2 3 2 x＋ ＋ y 2 4 y2 x＋ 2
②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明
而断定原命题成立．
2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大
或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．
3．放缩法的理论依据主要有 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为 不等量 ； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
y y ＝|x＋ |≥x＋ . 2 2 z 同理可得： y ＋yz＋z ≥y＋ ， 2
2 2
x z ＋zx＋x ≥z＋ ，由于 x、y、z 不全为零，故 2
2 2
上述三式中至少有一式取不到等号， 所以三式相加得： y x ＋xy＋y ＋ y ＋yz＋z ＋ z ＋zx＋x >(x＋ ) 2
2 2 2 2 2 2
z x 3 ＋(y＋ )＋(z＋ )＝ (x＋y＋z)． 2 2 2
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端
的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，
进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证 的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法， 利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正
(
)
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是 “至少有一个不为0”．
2019高二数学人教A版选修4-5课件：2.3 反证法与放缩法
10
归纳小结
1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在 证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．
2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于 增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无 法推出矛盾．
11
练一练 1．已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1. 求证：a，b，c，d 中至多有三个是非负数． 【证明】 a，b，c，d 中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数， 故有假设 a，b，c，d 都是非负数． 即 a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则 1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 这与已知中 ac＋bd＞1 矛盾，∴原假设错误， 故 a，b，c，d 中至少有一个是负数．即 a，b，c，d 中至多有三个是非负数.
C．a，b，c 不全是正数
D.abc＜0
【解析】 a＞0，b＞0，c＞0 的反面是 a，b，c 不全是正数，故选 C.
【答案】 C
24
随堂检测
3．要证明 3＋ 7＜2 5，下列证明方法中，最为合理的是( )
A．综合法
B．放缩法
C．分析法
D.反证法
【解析】 由分析法的证明过程可知选 C.
【答案】 C
111
1
【解析】 A＝ 1＋ 2＋ 3＋…＋ n≥
n ＝ n＝ n.
【答案பைடு நூலகம் A≥ n
6
课堂探究
教材整理 1 反证法 先假设要证的命题不成立 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、 定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定 理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明 原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．
归纳小结
1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在 证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．
2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于 增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无 法推出矛盾．
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练一练 1．已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1. 求证：a，b，c，d 中至多有三个是非负数． 【证明】 a，b，c，d 中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数， 故有假设 a，b，c，d 都是非负数． 即 a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则 1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 这与已知中 ac＋bd＞1 矛盾，∴原假设错误， 故 a，b，c，d 中至少有一个是负数．即 a，b，c，d 中至多有三个是非负数.
C．a，b，c 不全是正数
D.abc＜0
【解析】 a＞0，b＞0，c＞0 的反面是 a，b，c 不全是正数，故选 C.
【答案】 C
24
随堂检测
3．要证明 3＋ 7＜2 5，下列证明方法中，最为合理的是( )
A．综合法
B．放缩法
C．分析法
D.反证法
【解析】 由分析法的证明过程可知选 C.
【答案】 C
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1
【解析】 A＝ 1＋ 2＋ 3＋…＋ n≥
n ＝ n＝ n.
【答案பைடு நூலகம் A≥ n
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课堂探究
教材整理 1 反证法 先假设要证的命题不成立 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、 定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定 理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明 原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
[悟一法]
(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或
证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证 明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显 然的事实矛盾，也可以自相矛盾． (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的
假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用
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∵函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1＜x2， ∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，
∴原假设不成立．
∴函数y＝f(x)在(a，b)上至多有一个零点．
[研一题]
[例 3] n≥2)． 3 1 1 1 1 求证： － ＜1＋ 2＋…＋ 2＜2－n(n∈N*且 2 n＋1 2 n
[小问题· 大思维] 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一 论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证， 就不是反证法． (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛 盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与 已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
1＋2 2＋3 3＋4 n＋n＋1 ∴an< ＋ ＋ ＋…＋ 2 2 2 2 n＋1 nn＋2 1 ＝ ＋(2＋3＋…＋n)＋ ＝ . 2 2 2 nn＋1 nn＋2 综上得： ＜an＜ . 2 2
反证法和放缩法在高考中单独命题的可能性不大， 一般以解答题一问的形式出现，但反证法和放缩法是一种 重要的思维模式，在逻辑推理中有着广泛的应用．
人教A版高中数学选修4-5课件第二讲三反证法与放缩法
证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac. 又∵a、b、c成等差数列 ∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)． ∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2. ∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a、b、c不可能成等比数列．
3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋ f(－a)，求证：a<b.
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的 特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施， 进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证 的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利 用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项 或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或 者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而 达到证明不等式的目的．
5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证： |f(a)－f(b)|<|a－b|. 证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b| ＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1| ∵0≤a≤1,0≤b≤1 ∴0≤a＋b≤2， －1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1. ∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得 f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a) 于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不 成立． ∴a<b.
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为( ) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是 “至少有一个不为0”． 答案：D
3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋ f(－a)，求证：a<b.
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的 特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施， 进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证 的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利 用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项 或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或 者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而 达到证明不等式的目的．
5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证： |f(a)－f(b)|<|a－b|. 证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b| ＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1| ∵0≤a≤1,0≤b≤1 ∴0≤a＋b≤2， －1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1. ∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得 f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a) 于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不 成立． ∴a<b.
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为( ) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是 “至少有一个不为0”． 答案：D
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
[悟一法] (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等 词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体． (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形
式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相
矛盾．
[通一类] 1．已知f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)＋f(－b)＞f(－a) ＋f(b)．求证：a＜b. 证明：假设a≥b，则当a＝b时－b＝－a，
c＋1－d d＋1－a c1－d≤ ， d1－a≤ ， 2 2 a＋1－b 1 b＋1－c 1 ∴ ＞ ， ＞ ， 2 2 2 2 c＋1－d 1 d＋1－a 1 ＞ ， ＞ . 2 2 2 2 将上面各式相加得 2＞2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不 可能都大于 1.
[精讲详析]
本题考查放缩法在证明不等式中的应用，
解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不 能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放 大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．
∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)， 1 1 1 ∴ ＜ 2＜ ， k kk－1 kk＋1 1 1 1 1 1 即k－ ＜ 2＜ －k(k∈N*且 k≥2)． k＋1 k k－1 分别令 k＝2,3，…，n 得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＜ ＜1－ ， － ＜ 2＜ － ， 2 3 22 2 3 4 3 2 3 … 1 1 1 1 1 n－n＋1＜n2＜n－1－n，将这些不等式相加得
∵函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1＜x2， ∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，
∴原假设不成立．
人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：2-3
1 1 1 ∴1 ＋ ＋ ＋„＋ <1 ＋2( 2－ 1)＋2( 3－ 2)＋„ ＋ 2 3 n 2( n－ n－1)＝2 n. 综上分析可知，原不等式成立．
规律技巧
放缩法证明不等式主要是依据不等式的传递性
进行变换，即欲证 a>b，可变换证 a>c 且 c>b，欲证 a<b，可变 换证 a<c 且 c<b.一般放缩要恰当，不能放缩过头，同时要使放 缩后便于求和．
【变式训练 1】
若假设 a，b，c，d 都是小于 1 的正数，
求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能 都大于 1.
证明
假设 4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)都大
1 1 1 1 于 1，则 a(1－b)> ，b(1－c)> ，c(1－d)> ，d(1－a)> . 4 4 4 4 1 1 1 1 ∴ a1－b> ， b1－c> ， c1－d> ， d1－a> . 2 2 2 2
典例剖析
【例 1】 【分析】
若 a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2. 本题若直接证明，难度较大．而本题结论的反
面更简单，所以宜用反证法．
证法一 假设 a＋b>2，则 a>2－b，
∴2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3， 即 2>8－12b＋6b2， 即(b－1)2<0， 这是不可能的． ∴a＋b≤2.
【证明】
对 k∈N＋，1≤k≤n，有
1 2 > ＝2( k＋1－ k)． k k＋ k＋1 1 1 1 ∴ 1 ＋ ＋ ＋ „ ＋ >2( 2 － 1) ＋ 2( 3 － 2) ＋ „ ＋ 2 3 n 2( n＋1－ n)＝2( n＋1－1)． 1 2 又∵ < ＝2( k－ k－1)(2≤k≤n)， k k＋ k－1
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3.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项. (2)在分式中增大或减小分子或分母. (3)应用重要不等式放缩,如a2+b2≥2ab,
(4a )b 利 用a 函b ， 数a 的b 单( a 调 b 性) 2 等， a . b c 3 a b c ( a ,b ,c ＞ 0 ) . 2 23
2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB> ∠APC,求证:∠BAP<∠CAP用反证法证明时的假设为 __________________.
【解析】反证法对结论的否定是全面否定, ∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或 ∠BAP>∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.
【自主预习】
1.反证法
(1)方法:先假设_________________,以此为出发点,结 要证的命题不成立
合已知条件,应用_______________________等,进行正 确的推理,得到和_公__理__、__定__义__、(或定已理证、明性的质定理、性
命题的条件
质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正 确,从而证明___________,我们把它称为反证法.
3 a＜3 b
的否定是
3a3b 或
2.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列.
求证:
不成等差数列.
a, b, c
【证明】假设
成等差数列,则
即a+c+a, b,=4c b,
又三a个c正数2ab,， b,c成等比2数a列c ,所以b2=ac,即b= .
ac
所以a+c+2a c =4 a c ,即a+c-2 =a c0,
【知识探究】 探究点 反证法与放缩法 1.用反证法证明时,导出矛盾有哪几种可能? 提示:①与原命题的条件矛盾; ②与假设矛盾; ③与定义、公理、定理、性质矛盾; ④与客观事实矛盾.
2.用反证法证明命题“若p则q”时, ¬q假,q即为真吗? 提示:是的.在证明数学问题时,要证明的结论要么正确, 要么错误,二者中居其一, ¬q是q的反面,若¬q为假,则 q必为真.
原命题成立 (2)适用范围:对于那些直接证明比较困难的否定性命 题,唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的问 题,常常用反证法证明.
2.放缩法
(1)方法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分
的值_____或_____,简化不等式,从而达到证明的目 放大 缩小
的,我们把这种方法称为放缩法.
(2)关键:放大(缩小)要适当.
类型一 利用反证法证明否定性命题 【典例】设0<a<2,0<b<2,0<c<2,求证:(2-a)·c, (2-b)·a,(2-c)·b不可能同时大于1. 【解题探究】典例中待证结论的反面是什么?
提示:待证结论的反面为 2 a c ＞ 1 ,
2
b
a
＞
1
,
2
c
b
＞
1
,
【证明】假设(2-a)·c>1,(2-b)·a>1,(2-c)·b>1,
【方法技巧】 1.用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾. (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
2.否定性不等式的证法及关注点 当待证不等式的结论为否定性命题时,常采用反证法来 证明,对结论的否定要全面不能遗漏,最后的结论可以 与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.
【即时小测】
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可把下列哪些作
为条件使用 ( )
(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理
等.(4)原结论.
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(1)(2)(3)
D.(1)(2)(4)
【解析】选C.根据反证法的定义可知,用反证法证明过 程中,可应用(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、 公理、定理等推出矛盾.
所以( )2=0,所以 ,即a=c.
a－ c
a= c
从而a=b=c,这与已知中a,b,c不成等差数列矛盾,
所以原假设错误,故
不成等差列.
a, b, c
类型二 利用反证法证明“至少”“至多”型问题
【典例】已知f(x)=x2+px+q,求证:
(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.
(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 1 2
1
则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,(*)
2
又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2. 所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2与(*)矛盾,假设不 成立. 故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .
【变式训练】1.(2016·泰安高二检测)用反证法证明
命题“如果a>b,那么
”时,假设的内容是( )
3 a＞3 b
A.3 a 3 b成立 B.3 a＜3 b成 立 C.3 a 3 b或 3 a＜3 b成 立 D.3 a 3 b且 3 a＜3 b成 立
【解析】选C.结论 3 a＞3 b 成立.
【解题探究】典例(2)中待证结论的反设是什么?
提示:反设是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 1 . 2
【证明】(1)由于f(x)=x2+px+q,
所以f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.
(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ,
【归纳总结】 1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假 设
常见 至少有 至多有 词语 一个 一个
唯一 一个
不 是
不可 能
全
都是
否定 假设
一个也 没有
有两个或 两个以上
没有或有 两个或 两个以上
是
有或 存在
不 全
不都 是
2.放缩法证明不等式的理论依据 (1)不等式的传递性. (2)等量加不等量为不等量. (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.
则(2-a)·c·(2-b)·a·(2-c)·b>1 ①,
因为0<a<2,0<b<2,0<c<2,
所以(2-a)·a≤
=1.
同理:(2-b)·b≤1( ,2(2a2-c)a·)2 c≤1.
所以(2-a)·a·(2-b)·b·(2-c)·c≤1, 这与①式矛盾. 所以假设不成立. 即:(2-a)·c,(2-b)·a,(2-c)·b不可能同时大于1.