圆锥曲线离心率训练题(含答案)

圆锥曲线离心率训练题
一、单选题（共25题；共50分）
1.已知抛物线上的点到准线的最短距离为1，则p的值为（）
A. B. 1 C. 2 D. 4
2.已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
3.设椭圆的左右焦点为，焦距为2c，过点的直线与椭圆C交于点，若，且
，则椭圆C的离心率为（）
A. B. C. D.
4.已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率等于（）
A. B. C. D.
5.已知双曲线：的左右焦点分别为、，且抛物线：
的焦点与双曲线的右焦点重合，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为45°则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
6.直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于两点，交y轴于C 点，若，则该椭圆的离心率是（）
A. B. C. D.
7.连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
8.已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）
A. 2
B.
C.
D. 3
9.已知，是双曲线，的两个焦点，以线段为边作正三角形
，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
10.已知双曲线的左、右焦点分别，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P，且,则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D. 2
11.已知椭圆C：的左右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一个动点P，P不同于A、B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
12.已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点，O为坐标原点，满足，线段AF交双曲线于点M.若M为AF的中点，则双曲线的离心率为（）
A. B. 2 C. D.
13.椭圆的离心率是（）
A. B. C. D.
14.双曲线的焦点到渐近线的距离是( )
A. 1
B.
C.
D. 2
15.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（）
A. B. C. D.
16.已知分别为双曲线的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以
为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
17.设，为双曲线的左、右焦点，P，Q分别为双曲线左、右支上的点，若，且，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
18.已知点是双曲线上一点，若点p到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线C的离心率为（）
A. B. C. D. 2
19.已知双曲线的两条渐近线的倾斜角之差为，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
20.已知正六边形的两个顶点为双曲线：的两个焦点，其他顶点都在双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A. 2
B.
C.
D. 4
21.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为（）
A. 2
B. 3
C.
D.
22.已知斜率为的直线l经过双曲线的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）
A. B. C. D.
23.设双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上的点，且
与轴垂直，的内切圆的方程为，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
24.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、
右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为（）
A. 3
B. 2
C.
D.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【解析】【解答】因为抛物线上的点到准线的最短距离为,
所以,
故答案为：C.
【分析】抛物线上的点到准线的最短距离为,据此列式求解即可.
2.【答案】A
【解析】【解答】解：由题意知，圆心为在轴上，则圆与双曲线的两条渐近线都相切，
则圆心到渐近线的距离为半径，即，即，
又，则，解得.
故答案为：A.
【分析】求出圆心坐标、半径以及双曲线的渐近线，由渐近线和圆相切，可求出圆心到渐近线的距离为半径，即，结合双曲线中，进而可求出离心率的大小.
3.【答案】C
【解析】【解答】根据题意，作图如下：
由得，，
由
即，
整理得，
则，
得
故答案为：C.
【分析】根据题意，求得，结合余弦定理，即可求得的齐次式，据此即可求得结果.
4.【答案】B
【解析】【解答】双曲线的渐近线为
由渐近线与圆相切
所以可得
两边平方：，又
所以，则
所以，
由，所以
故答案为：B
【分析】根据双曲线的方程，可得渐近线方程，然后根据直线与圆的位置关系，利用几何法表示，根据平方关系以及的关系，结合离心率公式，可得结果.
5.【答案】B
【解析】【解答】设双曲线焦点，则抛物线的准线方程为，
过做，垂足为，则，
，
，
又点在双曲线上，，
.
故答案为：B.
【分析】设双曲线焦点，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点P做，垂足为M，根据题意有，可得轴，进而将用C表示，结合双曲线定义，即可求解.
6.【答案】A
【解析】【解答】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，
所以，即椭圆的左焦点为，且①
直线交轴于，所以，，
因为，所以，所以，
又由点在椭圆上，得②
由，可得，解得，
所以，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：A.
【分析】由直线过椭圆的左焦点F，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公
式，即可求解.
7.【答案】D
【解析】【解答】双曲线与互为共轭双曲线，
四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，
四个顶点形成的四边形的面积，
四个焦点连线形成的四边形的面积，
所以，
当取得最大值时有，，离心率，
故答案为：D.
【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正
方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.
8.【答案】A
【解析】【解答】由已知，，渐近线方程为，因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，
所以圆心M到渐近线的距离为，故，
所以离心率为.
故答案为：A.
【分析】由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.
9.【答案】D
【解析】【解答】由题意，双曲线的焦点坐标为，所以，即等边三角形的边长为，所以的高为，即，
所以中点，
代入双曲线的方程，可得，
整理可得，
又由，可得，
两边同除，可得，解得，
又因为，所以，即.
故答案为：D.
【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标，进而可求得三角形的高，得到点M的坐标，再求得点N的坐标，代入双曲线的方程求得的关系，即可求得双曲线的离心率.
10.【答案】A
【解析】【解答】由题意知，，，三角形为等边三角形，
则，，则，解得，
故离心率为，
故答案为：A.
【分析】由题意知，，三角形为等边三角形，从而可以得到
，即可求出离心率。

11.【答案】D
【解析】【解答】椭圆C：的左右顶点分别为，
右焦点，点圆上且不同于，
，
设，
令，
，
且不等于0.
故答案为：D.
【分析】椭圆焦点在轴上，由在圆，则，有
，设，求出，令，，分离常数，求解得出结论.
12.【答案】C
【解析】【解答】双曲线的一条渐近线方程为，
A是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，
故，，故，
代入双曲线化简得到：，故.
故答案为：.
【分析】计算得到，，代入双曲线化简即可得到答案.
13.【答案】D
【解析】【解答】由题意该椭圆，，由椭圆性质可得，
所以离心率.
故答案为：D.
【分析】由椭圆的一般式求得、、，利用即可得解.
14.【答案】A
【解析】【解答】双曲线的渐近线为，
，，，即，
设一个焦点，渐近线方程为，
则焦点到其渐近线的距离，
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，由点到直线的距离公式进行解即可．15.【答案】C
【解析】【解答】由题意，，，又，则，
由余弦定理可得.
故.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆的定义可得，，再利用余弦定理即可得到结论.
16.【答案】B
【解析】【解答】由题意，设点在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为，
所以，，
又以为直径的圆经过点，则，即，解得，，
所以，，即，即，
所以，双曲线的离心率为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设点在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.
17.【答案】B
【解析】【解答】设，，∵，，
∴，
∵，∴，
∴，，
∴，①
∴，，
∵，∴，②
又∵，③
由②③可得，
代入①得
将点Q坐标代入③得，⇒
（舍去），．
故答案为：B．
【分析】设，，，，由，得，，由，得，，，
将点Q坐标代入双曲线方程得，即可求解．
18.【答案】A
【解析】【解答】设点p的坐标为，有，得.
双曲线的两条渐近线方程为和，则点p到双曲线C的两条渐近线的距离之积为
，
所以，则，即，故，即，所以
.
故答案为：A.
【分析】设点p的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.
19.【答案】A
【解析】【解答】设两条渐近线的倾斜角分别为，，则.
又，
，，
，
所以离心率.
【分析】设两条渐近线的倾斜角分别为，，则，再根据，
求得，，有，再利用离心率与关系求解.
20.【答案】B
【解析】【解答】根据题意，双曲线的焦点必须是正六边形的两个相对的顶点，如图所示.
设正六边形的边长为1，双曲线的半焦距为，则双曲线的焦距为，
，所以双曲线的离心率为.
故选：B
【分析】根据正六边形的几何特征，结合双曲线的几何意义分别求出a，c，即可求得离心率.
21.【答案】D
【解析】【解答】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，
因为，在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知，，即，，
因为圆的半径为，是圆的半径，所以，
因为，，，，
所以，三角形是直角三角形，
因为，所以，，即点纵坐标为，
将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，
将点坐标带入双曲线中可得，
化简得，，，，故答案为：D。

【分析】本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果。

22.【答案】D
【解析】【解答】由题意可得：，所以，因此，
故答案为：
【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出的关系，然后求出离心率的范围．23.【答案】B
【解析】【解答】设内切圆的圆心为，如图所示：
点则为的角平分线，所以，
所以，
所以，在中，，
所以，
所以，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为：B.
【分析】设内切圆的圆心为，利用平几相关知识得，再由倍角公式得
，从而得到，利用双曲线的定义和，求得，代入渐近线方程得：。

24.【答案】B
【解析】【解答】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，
△PF1F2的面积为24 ，可得P的纵坐标y为：，y＝4 ．直线PF2的斜率为﹣4 ，
所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4 ），
|PF1| 13，
|PF2| 7，
所以2a＝13﹣7，a＝3，
所以双曲线的离心率为：e 2．
故答案为：B．
【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．。