5.4二维形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Biblioteka Baidu
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a
2
x1 x2 b x1 x2
2
= a b x1 x2 x1 x2 .得证
课堂练习：P36 第6，7，8, 9
课外思考: 已知 a 1 b2 b 1 a 2 1, 求证： a 2 b2 1 .
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 ,则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
y
P ( x1 , y1 ) 1
y
P ( x1 , y1 ) 1
| y1 - y2 |
x
P2 ( x2 , y2 )
O
这个图中有什么 不等关系?
P ( x2 , y2 ) 2
O
| x1 - x2 |
x
柯西不等式的应用举例: 2 思考 2.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 .
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a 2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a b )(c d )
2 2 2 2
联
想
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是 实数,则 (a b )(c d ) ≥ (ac bd ) . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
证明：由柯西不等式，得 a 1 b2 b 1 a 2 ≤ a 2 1 a 2 b2 1 b 2 1
1 b2 当且仅当 时，上式取等号， a 1 a2 b
2
ab 1 a 1 b , a 2 b 2 1 a 2 1 b 2 ,
课堂练习：P36 第1，3，4
课堂练习：P36 第 5 题: R ，a+b=1, x1 , x2 R , 已知 a,b
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了. 证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1 由柯西不等式可知
二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 a2 an ≥ n a1a2 an (ai R , i 1, 2, , n) . n 本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:柯 西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感 受数学的美妙，提高数学素养.
⑵若 a, b, c, d 都是实数,则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 , 是两个向量,则 ≥ . 当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立. 注：若 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，则 x1 x2 y1 y2 cos , 2 2 2 2 x1 y1 x2 y2
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
( x12 y12 ) ( x22 y22 ) ≥ ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
2
于是 a 2 b2 1 。 注： 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
你能简明地写出这个定理的证明吗？
思考解答
变形
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
5
变式 1.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5
变式 2.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 y 2 的最小值. 2 变式 3.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 y
2 2
36 的最小值. 11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a
2
x1 x2 b x1 x2
2
= a b x1 x2 x1 x2 .得证
课堂练习：P36 第6，7，8, 9
课外思考: 已知 a 1 b2 b 1 a 2 1, 求证： a 2 b2 1 .
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 ,则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
y
P ( x1 , y1 ) 1
y
P ( x1 , y1 ) 1
| y1 - y2 |
x
P2 ( x2 , y2 )
O
这个图中有什么 不等关系?
P ( x2 , y2 ) 2
O
| x1 - x2 |
x
柯西不等式的应用举例: 2 思考 2.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 .
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a 2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a b )(c d )
2 2 2 2
联
想
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是 实数,则 (a b )(c d ) ≥ (ac bd ) . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
证明：由柯西不等式，得 a 1 b2 b 1 a 2 ≤ a 2 1 a 2 b2 1 b 2 1
1 b2 当且仅当 时，上式取等号， a 1 a2 b
2
ab 1 a 1 b , a 2 b 2 1 a 2 1 b 2 ,
课堂练习：P36 第1，3，4
课堂练习：P36 第 5 题: R ，a+b=1, x1 , x2 R , 已知 a,b
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了. 证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1 由柯西不等式可知
二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 a2 an ≥ n a1a2 an (ai R , i 1, 2, , n) . n 本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:柯 西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感 受数学的美妙，提高数学素养.
⑵若 a, b, c, d 都是实数,则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 , 是两个向量,则 ≥ . 当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立. 注：若 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，则 x1 x2 y1 y2 cos , 2 2 2 2 x1 y1 x2 y2
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
( x12 y12 ) ( x22 y22 ) ≥ ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
2
于是 a 2 b2 1 。 注： 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
你能简明地写出这个定理的证明吗？
思考解答
变形
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
5
变式 1.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5
变式 2.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 y 2 的最小值. 2 变式 3.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 y
2 2
36 的最小值. 11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.