5 多元向量值函数的导数与微分 工科数学分析基础

∂f 1 ( x 0 ) ⎞ ∂x 2 ⎟ ⎟ ∂f 2 ( x 0 ) ⎟ ⎟ ⎛ dx1 ⎞ ∂x 2 ⎟ ⎜ ⎟ dx2 ⎠ ⎟⎝ ⎟ ∂f m ( x 0 ) ⎟ ∂x 2 ⎟ ⎠
于是，将矩阵
称为导数
Jacobi 矩阵
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2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
一般地，对于n元向量值函数： f 定义导数(Jacobi矩阵)为：
⎛ ∂f 1 ( x 0 ) ⎜ ∂x 1 ⎜ ⎜ ∂f 2 ( x0 ) ⎜ Df ( x0 ) = ⎜ ∂x1 ⎜ ⎜ ⎜ ∂f m ( x 0 ) ⎜ ∂x 1 ⎝ ∂f 1 ( x0 ) ∂x 2 ∂f 2 ( x0 ) ∂x 2 ∂f m ( x 0 ) ∂x 2
:A⊂
n
→
m
∂f1 ( x0 ) ⎞ ∂x n ⎟ ⎟ ⎛ ∇f ( x ) 1 0 ∂f 2 ( x0 ) ⎟ ⎜ ∇ f 2 ( x0 ) ⎟ ∂x n ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ∇ f m ( x0 ) ⎟ ∂f m ( x 0 ) ⎟ ⎝ ∂x n ⎟ ⎠ ∂f 1 ( x 0 ) ∂x 2 ∂f 2 ( x0 ) ∂x 2 ∂f m ( x 0 ) ∂x 2
x1 , x2 ∈
定义：
∂f ( x ) ⎛ ∂f 1 ( x 0 ) ⎞ dx1 + 1 0 dx2 ⎟ ⎜ ∂x ∂x 2 1 ⎜ ⎟ ⎛ df1 ( x0 ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ∂f 2 ( x0 ) dx + ∂f 2 ( x0 ) dx ⎟ 1 2 ⎟ ⎜ df 2 ( x0 ) ⎟ = ⎜ ∂x ∂x 2 df ( x0 ) = 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ df m ( x0 ) ⎠ ⎜ ∂f ( x ) ⎜ m 0 dx + ∂f m ( x0 ) dx ⎟ 1 2⎟ ⎜ ∂x ∂x 2 1 ⎝ ⎠
Df [ g ( x )] = Df ( u) u = g ( x ) ⋅wenku.baidu.comDg( x )
例：试通过如下函数验证上述公式
2 ⎛ u1 ⎞ ⎛ ⎛ w1 ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎞ w = f ( u) = ⎜ ⎟, ⎜ w = ⎜ ⎟,u = ⎜ ⎟⎟ ⎝ w2 ⎠ ⎝ u2 ⎠ ⎠ ⎝ u1 u2 ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
定义微分为：
⎛ ⎜ df ( x 0 ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ ∂f 1 ( x 0 ) ⎜ ∂x 1 df 1 ( x 0 ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ∂f ( x ) df 2 ( x 0 ) ⎟ ⎜ 2 0 ∂x1 = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ df m ( x 0 ) ⎠ ⎜ ⎜ ∂f m ( x 0 ) ⎜ ∂x 1 ⎝
T T
D( uf )( x ) = uDf ( x ) + f ( x )Du( x )
f,g: →
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（u 为数量值函数）
D( f × g )( x ) = Df ( x ) × g ( x ) + f ( x ) × Dg( x )
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向量值复合函数求导的链式法则
m
可微
→ 可微
, f m '( x0 )Δx )
T
f 的任意分量 f i : A ⊂
df ( x0 ) = f '( x0 )Δx = ( f1 '( x0 )Δx ,
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二、二元向量值函数的导数与微分
f :A⊂
2
→
m
⎛ f1 ( x1 , x2 ) ⎞ ⎜ ⎟ f 2 ( x1 , x2 ) ⎟ f ( x1 , x2 ) = ⎜ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ f m ( x1 , x2 ) ⎠
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利用矩阵乘法：
∂f 1 ( x 0 ) ⎛ ∂f 1 ( x 0 ) ⎞ ⎛ ∂f 1 ( x 0 ) ⎜ ∂x dx1 + ∂x dx2 ⎟ ⎜ ∂x 1 2 1 ⎟ ⎜ ⎛ df1 ( x0 ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ∂f ( x ) ∂f ( x ) ⎜ ⎟ ⎜ ∂f ( x ) df 2 ( x0 ) ⎟ ⎜ 2 0 dx1 + 2 0 dx2 ⎟ ⎜ 2 0 ∂x1 ∂x 2 df ( x0 ) = ⎜ = ⎟ = ⎜ ∂x1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ df m ( x0 ) ⎠ ⎜ ∂f ( x ) ⎜ m 0 dx + ∂f m ( x0 ) dx ⎟ ⎜ ∂f m ( x0 ) 1 2⎟ ⎜ ⎜ ∂x ∂x 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ∂x1
x∈
定义一元向量值函数 f 的导数为：
f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) Df ( x0 ) = f '( x0 ) = lim Δx → 0 Δx
显然 f 可导当且仅当其每个分量可导，并且：
Df ( x0 ) = f '( x0 ) = ( f1 '( x0 ),
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, f m '( x0 ) )
x → x0
lim f ( x ) = a ⇔ ∀i = 1,
, m , lim f i ( x ) = ai
x → x0
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一、一元向量值函数的导数与微分
f :A⊂ →
m
⎛ f1 ( x ) ⎞ ⎜ ⎟ f2 ( x ) ⎟ f ( x) = ⎜ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ fm ( x) ⎠ ⎝
T
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类似可以定义 f 的二阶导数以及n阶导数：
D f ( x0 ) = f "( x0 ) = ( f1 "( x0 ),
2
, f m "( x0 ) )
T
D n f ( x 0 ) = D ( D n − 1 f ( x ) ) | x = x0
定理：
f :A⊂
→
∂f 1 ( x0 ) ⎞ ∂x n ⎟ ⎟ ⎛ dx 1 ∂f 2 ( x 0 ) ⎟ ⎜ ⎟ dx 2 ∂x n ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ dx n ∂f m ( x 0 ) ⎟ ⎝ ∂x n ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
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对于n元向量值函数，若m=n： f
⎛ ∂f 1 ( x 0 ) ⎜ ∂x 1 ⎜ ⎜ ∂f 2 ( x0 ) ⎜ ⎜ ∂x1 ⎜ ⎜ ⎜ ∂f m ( x 0 ) ⎜ ∂x 1 ⎝ ∂f 1 ( x 0 ) ⎞ ∂x 2 ⎟ ⎟ ∂f 2 ( x0 ) ⎟ ⎟ ∂x2 ⎟ = Df ( x0 ) ⎟ ⎟ ∂f m ( x 0 ) ⎟ ∂x 2 ⎟ ⎠
T
本质上是一元向量值函数的导数！
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三、微分运算法则
f 和 g 为向量值函数
D( f + g )( x ) = Df ( x ) + Dg( x )
D f , g ( x ) = ( f ( x ) ) Dg ( x ) + ( g( x ) ) Df ( x )
多元向量值函数的导数与 微分
一元向量值函数的导数与微分 二元向量值函数的导数与微分 微分运算法则
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对于一般的n元向量值函数：
f :A⊂
n
→
m
⎛ f1 ( x ) ⎞ ⎛ f1 ( x1 , x2 , , xn ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f 2 ( x ) ⎟ ⎜ f 2 ( x1 , x2 , , xn ) ⎟ = f ( x) = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ f m ( x ) ⎠ ⎝ f m ( x1 , x2 , , xn ) ⎠
⎛ x1 + e x2 ⎞ ⎛ ⎛ x1 ⎞ ⎞ u = g ( u) = ⎜ ⎟, ⎜ x = ⎜ ⎟⎟ ⎝ x2 ⎠ ⎠ ⎝ sin x1 ⎠ ⎝
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:A⊂
n
→
n
则称Jacobi矩阵的行列式为Jacobi行列式，计作：
J f ( x0 ) =
∂ ( x1 , x2 ,
∂ ( f1 , f 2 ,
, fn )
, xn )
x0
向量值函数的偏导数：
∂f ( x 0 ) ∂x i ⎛ ∂ f 1 ( x 0 ) ∂f 2 ( x 0 ) =⎜ ⎜ ∂ x , ∂x , i i ⎝ ∂f m ( x 0 ) ⎞ , ⎟ ∂x i ⎟ ⎠