清华大学微积分习题课(Stolz定理、数列极限、函数极限)

（ ）求极限 ． 4
lim
x→0
2 1
+ +
1
ex
4
ex
+
sin x
x
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3．求下列极限
（ ）求 ．1
1
lim(1 + sin x)2x
x→0
（ ） ． x2 −1x2
3
lim
x→∞
x2
+
1
4．求下列极限
（ ）求 2
lim(sin 1 + cos 1 )x .
x→∞
f (x) g(x)
τ = Tf ∈Q
f (x) g(x)
x→∞
Tg
什么关系？
．证明：若 ，且 ≤ ，则 11
f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sin nx
| f (x) | | sin x |
≤ ． a1 + 2a2 + ⋯ + nan 1
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．已知 ，求证： ． 1
lim
n→∞
an
=
+∞
lim a1 + a2 + ⋯ + an = +∞
n→∞
n
．已知数列 单调，且 ，证明： ． 2
{an }
lim a1 + a2 + ⋯ + an = A
n→∞
n
lim
n→∞
an
=
A
3．证明：数列
{an
}
没有收敛子列等价于
lim
n→∞
an
=
∞
．
三、函数极限
n
1
an x
x
(ak
>
0)
（ ） ； 4 lim x cos x x→0+
（ ） ； 5 lim x(π − arctan x) 2 x→+∞
（ ） ； 6
lim
1 x2 3x
1
− 3x+1
x→&
x →1−
[4x] 1+ x
．已知 ，求 与 的值． 5
lim e1−cos x − 1 = a ≠ 0
（1）已知极限 lim ( ，求 与 的值． x2 − x +1 − ax − b) = 0 a b x → +∞
（ ）求极限 ． 2
lim x2 + p2 − p ( q ≠ 0 )
x→0 x2 + q2 − q
（3）讨论极限
lim
x →1
1 x
−
1 x
是否存在，其中
[
x]
表示不超过
x
的最大整数．
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．设 ≤ ≤ ≤ ≤≤ 12
f1(x) = x1x,,
1x x > 2,
1,
2,
f
n
(
x)
=
xn , 1, x
1 x n, n < x n + 1,
x > n + 1.
（1）对任意固定的
n
，求
lim
x → +∞
fn
(
x)
；
（ ）求 在 上的表达式； 2
F (x)
=
lim
n→∞
f1 ( x)
x
x
（ ）求 ． ln(x2 − x +1)
4
lim
x→∞
ln( x10
+
x
+ 1)
（ ） ； 1
lim ( ax
+ bx
+
cx
1
)x
(a,b, c
>
0)
x → +∞
3
（ ） ； 2
lim
x → +∞
1
ax
+ 2
1
bx
x
(a
>
0,
b
>
0)
（ ） ； 3
1
lim
x → +∞
a1
x
1
+ a2 x + ⋯ +
（ ）已知 ，求 ． 1
lim
n→∞
an
=
a
lim
n→∞
a1
+
2a2
+⋯ n2
+
nan
（ ）求 ，其中 为自然数． 2
lim 1m
n→∞
+
2m +⋯ + nm+1
nm
m
（ ）求 ． 3
lim
n→∞
1
2 2n−1 22 −1
1
22 23 −
1
2n−2
⋯
1
2n−1 2n −1
2
二、无穷大量
1．用函数极限的定义证明
（ ） ． 1
lim
x→∞
2x2 +1 x2 − 3
=
2
（ ） ． 2 lim(sin x2 + 2 − sin x2 + 1) = 0 x→∞
（ ）设 ， ．利用 ，求证： ． 3 a >1 k > 0
nk lim
=0
lim xk = 0
a n→∞ n
a x→+∞ x
2．求解下列各题
f2 (x)⋯
fn (x)
[1, +∞)
（ ）求 ． 3 lim F(x) x → +∞
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ka
x→0 tan(xk π)
．求极限： ． 6
lim (arctan x + 1 − π ) x2 + 1
x → +∞
x4
．求极限： ． 7
lim
n→∞
cos
x 2
cos
x 4
⋅
⋯
⋅
cos
x 2n
8．证明：在 x → +∞ 时， ex 是无穷大量． x
9．证明：在 x → +∞ 时，
x
是无穷大量，并求极限
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微积分 B(1)第三次习题课题目
一、Stolz 定理
设 和 为两个数列，若 单调增加，且 ， ， 1．Stolz 定理： {an} {bn}
{bn }
lim
n→∞
bn
=
+∞
lim
n→∞
an+1 bn+1
− −
an bn
=
A
则 lim an = A．（不要求证明） b n→∞ n
2．利用 Stolz 定理求下列极限
lim
x
1 x
ln x
x → +∞
10．设 f (x) 和 g(x) 都是周期函数．
（1）若 lim f (x), lim g(x) 存在且值相等，则函数 f (x) 和 g(x) 有什么关系？ 证明你的结论．
x→∞
x→∞
（ ）若 ，且 与 的周期之比 ，则函数 和 又有 2 lim( f (x) − g(x)) = 0