5 几何元素间的相对位置关系

定理：若直线垂直于平面上两条相交直线，则该直线与该平面垂直。
28
例：
l 2‘ l 1‘ l 3‘ l ‘ 1
.
l 2‘
l 3‘ l ‘ 1
.
l2
.
l1
l3
l1
l3 . l2 l1 L1⊥(L2×L3)
L1⊥L2
L1⊥L3
29
例：已知面及点，求点与面的距离。
PV 2' b' 4' d'
• 做KD⊥△ • 求KD与△的交点L • 求KL实长 • 判断可见性
O
面上找点 判断可见性(利用重影点)， 交点是可见点。
c
16
2. 一般情况
例：
辅助平面法
B b' e' P 2‘≡ ( 3' ) m' 1' k' M E a' C f' K n' c' O X N b A f F m 3 k c (n ) 分析：• 交点K为△与EF的公有点 PH a 2 ≡1 e • 含 EF作 P⊥H 解题步骤： • △与 P 相交于直线 MN ① 含已知线 EF作辅助面 P（垂直面） • MN与 EF共面于P,交于K ② 求 P与已知面的交线 MN • K既在EF上，又在△上， ③ 求MN与EF的交点 K ，即所求 交点K即为△与EF的交点。 ④ 利用重影点判断可见性
a'
e'
步骤：
1）过A为作正平线AD⊥BC，水平线 AE⊥BC，则(AD ╳AE) ⊥BC 2）求直线与平面 (AD ╳AE) 的交点K， 则K即为垂足。 3）连接点A和点K，则直线AK即所求。
31
3.平面与平面垂直
定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 推论1：平面Q经过垂直于平面P的一条垂线，则平面Q垂直于平面P。 推论2：平面Q垂直于平面P上的一条直线，则平面Q垂直于平面P。
b' d' e'
k'
f'
① 解题步骤： 作 KE∥AB, 即KE∥(AB×CD)。 ② 解题步骤： • 先作面上任一水平线 BI • 再作 KF∥IB, 则水平线 KF ∥(AB×CD)。
X
a
d k c f e
O
1
b
7
例：判断图中的直线与△平面平行否。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
答：△∥b、c、d、e
17
三.平面与平面相交
例： a'
求交线，核心问题仍是求公有点
1. 有一个几何元素垂直于投影面的情况
例：
k'≡l' b' c' b a' b' c'
X
k l
O
X
c
O
a
c
小结： • 从有积聚性的投影出发 b • 利用面上找点或线上找点的方法 • 在需判断可见性的投影上找重影点，来判断可见性
18
a
2. 一般情况
1 b
10
例：判断下列直线、平面与平面 P 平行否。
PV
QV
RV
PH
QH
RH
(a)
(b) ∥ (c) ∥
(d)
(e) ∥ (f) ∥
∥(g)
(h)
∥(i)
P∥b、c、e、f、g、i
11
5.2 几何元素间 的相交问题
12
一.直线与直线相交
1.两直线相交
相交条件：两直线各同名投影均相交，且交点 符合点的投影规律，即两直线只有一个公有点。
8
三．平面与平面平行
定理：若两个平面上的两条相交直线相互平行，则 此二平面互相平行。 推理：若两个投影面垂直面具有积聚性的投影相互 平行，则此二平面互相平行。
9
例:(KE×KF)∥(AB×CD) ?
c' 1' a' b' d' e'
k'
f'
X
a d k c f
O
e
作 k‘ f’ ∥1‘ b’ → kf∥1b → KF∥IB 又∵KE∥BA ∴(KE×KF)∥(AB×CD)
27
三．一般情况
1.直线与平面垂直
推论1：若直线垂直于平面,则： • 该直线的水平投影与该平面上水平线的水平投影垂直； • 该直线的正面投影与该平面上正平线的正面投影垂直； • 该直线的侧面投影与该平面上侧平线的侧面投影垂直。 推论2： 若一条直线的水平投影垂直于某一平面上水平线的水平投 影，同时，它的正面投影垂直于该平面上正平线的正面投影， 则该直线必定垂直于该平面。
a c b d
• 求线 CD上点 B 的水平投影 b • 连ab ，则 AB 为所求
25
二．特殊情况（一几何元素处于特殊位置）
1.一几何元素处于平行位置
作线⊥线 作面⊥线
作线⊥面 .
作面⊥面 .
.
多解， 水平投影垂直 于已知线投影 的所有线
.
铅垂面 铅垂线
多解， 通过铅垂线 的所有平面
26
2.一几何元素处于垂直位置
13
例：判断两直线是否相交。
c' b' c' k' a'
k'
a'
b' d'
d'
X
c
O
k1
k2 d b
X
c a k d
O
b
a
不相交
相交
14
2.两直线交叉
交叉条件：两条直线没有公有点，也不平行。 其投影的交点为两直线的重影点。
c' l ' 2
a'
l1 ' k1
b'
(k1 ')k k ' 2'
d'
X
b
d"
X
b
O
YW
c
a
d
YH
5
二．直线与平面平行
定理：若平面外一条直线平行于面上的任一直线， 则该直线与该平面平行。 推理：若直线的投影与投影面垂直面具有积聚性的 投影相互平行，则此直线与该平面平行。
6
例： ①过点K作一直线平行于面（AB×CD)。 ②过点K作一水平线平行于面（AB×CD)。
c' 1' a'
几何元素间的垂直问题
一．垂直问题的基础－直角定理 二．直线与平面垂直的条件 三．求点与平面距离的问题
相对位置的综合问题
38
k2
O
c
a
(ll 1)l2
d
不相交，也不平行——交叉
15
二. 直线与平面相交
1. 有一个几何元素垂直于投影面的情况
相交的核心问题是求公有点 例：1）求△与直线的交点 2）判断可见性 DE⊥V:
a'
2' b' 1' d’≡e' ≡k' ≡3' c' a
d '≡e ‘≡k '
X
d
k 2 (3 ) e b 1
例：过直线MN作一 平面，使其垂直于
b' 2'
k' n'
△ABC所确定的平
面。
a'
1' c' b
m'
m
平面MN╳ MK即为所求
a
2 1 n
c
k
32
5.４ 相对位置 综合问题
33
相对位置综合问题解题方法：
利用点、线、面的基本知识及几何元素间的相互平行、 相交、垂直等关系，解决工程实际中所遇到的距离、角 度、实形、轨迹等问题：
5' (1') X a' 1 d k 5 a
e' b e
3 l 2 (4) 6 c
O
交点在无穷远处，应重选辅助面 重点：
• 利用辅助面法求交线 • 利用重影点判断可见性
f
QH
19
例：求△ABC与DE∥FG的交线。
e' 1'
4' 2' b' g' k' 3' 6' a' c' 7'
PV QV
5'
f'
• 从空间入手，进行空间分析 • 把复杂的问题分解为若干个简单问题逐个解决 • 最后加以综合，得出结果
应熟练掌握点、线、面的基本知识及相互关系，才能应 用自如。
34
例1：过K点作直线KL与△ABC平行，并与直线EF相交。
e' 2' b'
4'
l' 3' 1' f' k' c'
a'
c
e 1
3
l f 4
θ＝θ
A B a b
θ1 θ
C
θ
C
A
C
B
c a b
θ2
c
c
θ1 ≠θ2
22
2．直角的投影
若直角的一个边为投影面的平行线，则该直角在该投影 面上的投影为直角。
证明:
已知 ABBC，BC∥H， AB 倾斜于 H ∵ BbH, BC∥H ∴ BCBb BCQ(AB ╳ Bb) 又 bc∥BC ∴ bcQ ∴ bcab B A a
4
YH
例：判断AB与CD是否平行。 Z 方法一： 利用侧投影判断 求得结果： a”b” 不平行于c”d” ， 所以AB与CD不平行。 方法二： 若 AB∥CD， 则有：a‘b’∥c‘d’，ab∥cd， 图中：a‘b’∥c‘d’，ab∥dc， 所以 AB与CD是不平行。
a' c'
c"
a"
b'
b" d'
解题步骤： 注意：
基本方法：线面求交（穿点法）
b' PV 3' f' 2' c' l' 6' k' 4'
例：求△ABC与△DEF的交线。
• 利用辅助面法求AB与△DEF的交点K ① 所做的辅助面为垂直面 • 利用辅助面法求EF与△ABC的交点L ② 辅助面所包含的直线是任选的 • 连接KL，即△ABC与△DEF的交线 ③ 交线在两平面图形的公有区内 • 利用重影点判断可见性 ④ 若所做的辅助面与交线平行， • 完成△ABC与△DEF各边的轮廓 d'
对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同名投 影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
3
例：完成平行四边形ABCD的投影。
b' a'
Z b"
c'
注意：点C应符 合点的投影规律。
c"
d' b c
a" d"
X
O
YW
若需完成其侧投 影时，要保证作 图的准确性。
a
d
解题步骤： ∵ DC∥AB,BC∥AD ∴ d‘c’∥a‘b’，b’c’∥a’d’； dc∥ab，bc∥ad。
4
a
c d b
e
3
1
36
本节要点
几何元素间的平行问题
一．直线与直线平行
空间两直线相互平行 同名投影相互平行
直线与平面平行 二平面互相平行
二．直线与平面平行
直线与平面上任一直线平行
三．平面与平面平行
两平面上的两相交直线对应平行
37
几何元素间的相交问题
一．相交问题的核心－求公有点 二．辅助平面法求交点 三．利用重影点判断可见性
X
d'
l' l
O
7 3 c b
a
k
f d
4
1
2 g
e 辅助平面法： • 取水平面 P • 取 Q∥P，即 Qv∥Pv 则：4 5∥1 2，6 7∥3C ，从而简化作图 KL即为所求
20
5.3 几何元素间的 垂直问题
21
一．直角的投影特性
1. 任意角的投影
一般情况下：角的投影≠角的实际大小。 角的两边均平行于投影面： 角的投影＝角的实际大小。
k a
PV
问题分解： 2 • 过K点作直线KL与△ABC平行 • 过K点作直线KL与直线EF相交
b
35
例2：求两平行线间的距离。
2’ PV b’ a’ 1’ 3’ 2
解题步骤： • 过C作面ⅠCⅡ AB • 求AB与ⅠCⅡ的交点E 则CE为距离的投影 • 求CE的实长
d’
L
e’ 4’
c’
△Z
ce
Q
.
CBiblioteka Baidu
.
c H
.b
bc垂直于Q面上所有直线 在H投影面上的投影。
23
例：判断两直线是否垂直。
.
.
( ) ( )
.
.
(╳ )
.
交叉垂直 ()
24
例：已知CD及A，求做AB与CD垂直相交。
c'
. b'
a' d'
分析： CD∥V ： a’b’与c’d’ 垂直相交。 解题步骤： • 过a’ 做a’b’⊥c’d’，交c’d’ 于b’
作线线 作面线 作线面 作线面 作线面 作面面
多解， 水平线
水平面
垂直于面 的水平线
垂直于面 的水平线
垂直于面 的正平线
结论:
① 投影面垂直线的垂线 投影面垂直线的垂面 均平行于该投影面 投影面垂直面的垂线 ② 直线垂直于平面
多解， 过垂直于面 的正平线的 所有面
直线的投影垂直于平面的迹线
a'
.l'
k' 3' b k 2
1' L c' kl
△ZKL
4 1
.
3
l
d
c
a
30
2.直线与直线垂直
定理：如果一条直线垂直于某一平面，则它垂直于该平面上 的所有直线。
例：已知A为任意一点，BC为一般 位置直线，要求过A点做一条直线 与BC垂直，并求出垂足K。
Rv b' 1' k' 2' c' a 1 k b 2 e d c d'
5 几何元素间的相对位置
5.1 5.2 5.3 5.4 几何元素间的平行问题 几何元素间的相交问题 几何元素间的垂直问题 相对位置综合问题
1
5.1 几何元素间 的平行问题
2
一．直线与直线平行
定理：若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必 然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互 平行，则此两直线在空间也一定相互平行。