高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结

1. 均值不等式法
例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证
.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n 例2 已知函数
bx
a x f 211
)(⋅+=
，若5
4)1(=
f ，且
)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：
.2
1
21)()2()1(1
-+
>++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(2
2
1321
N n n n C C C C
n n n
n
n
n
∈>⋅>++++-Λ.
例4 已知222121n a a a +++=L ，222
121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2
211≤1.
2．利用有用结论
例5 求证.12)1
21
1()511)(311)(11(+>-+++
+n n Λ 例6 已知函数
.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a n
n a n x f x
x x x 给定Λ
求证：
)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。

例7 已知1
1211
1,(1).2
n n n
a a a n n +==+
++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；
)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L
）
例8 已知不等式
21111
[log ],,2232
n n N n n *+++>∈>L 。

2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。

设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤
>=--n a n na a b b a n n n 求证.3,]
[log 222≥+<n n b b
a n
再如：设函数
()x f x e x =-。

（Ⅰ）求函数
()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N
*
∈，有
1
().1n
n k k e
n e =<-∑ 例9 设n n n
a )1
1(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a
3. 部分放缩
例10 设++
=a n a 2
1111,23a a
a n ++≥L ,求证：.2<n a 例11 设数列
{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：
2)(+≥n a i n ； 2
1
111111)(21
≤+++++
+n a a a ii Λ.
4 . 添减项放缩
例12 设N n n
∈>,1，求证)
2)(1(8)32(
++<n n n . 例13 设数列}{n
a 满足).,2,1(1
,211Λ=+
==+n a a a a n
n n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；
5 利用单调性放缩: 构造函数
例14 已知函数2
2
3)(x ax x f -
=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f
（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<
<N n a f a a n n ),(,2
1
011，证明.11+<
n a n 例15 数列
{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=+n n n x a x x N n ∈． （I ） 证明：对2≥n 总有a x n
≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x
6 . 换元放缩
例16 求证).2,(1
2
11≥∈-+
<<
*n N n n n n
例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4
)1(2
2->
a n a n
.
7 转化为加强命题放缩
例18 设10<<a ，定义a a a a a n
n +=
+=+1
,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,21
2211n
x x x x n n n +==+证明.10012001<x
例20 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝
3
2，且a n
＝n 1n 1
3na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－
（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1?a 2?……a n ?2?n ！
8. 分项讨论
例21 已知数列}{n a 的前
n
项和
n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n
（Ⅰ）写出数列
}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有
8
7
11154<+++m a a a Λ.
9. 借助数学归纳法
例22（Ⅰ）设函数
)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数
n p p p p 2321,,,,Λ满足12321=++++n p p p p Λ，求证：
n
p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log Λ
10. 构造辅助函数法
例23 已知
()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()()
*11 2 ,02
11
N n a f a n a
n ∈=<<-++
（1）求
()f x 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-021，
上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<; （3）判断n a 与1()n a n N *
+∈的大小，并说明理由.
例24 已知数列{}n a 的首项1
3
5a =
，1321n n n
a a a +=+，12n =L
，，．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x
>，21121(1)3n n
a x x
x ⎛⎫-
- ⎪++⎝⎭
≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2
121
n n a a a n +++>+L ．
例25 已知函数f(x)=x 2
-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n ∈N *
). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1； （Ⅱ）求使不等式1
n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由；
（Ⅲ）若x 1
=2，求证：.3
1
211111121-≤++++++n n x x x Λ
例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k
Λ=+=2
12
1)1(+=++<+<k k k k k k Θ，
)21(1
1∑∑==+<<∴n
k n n
k k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2
+<++<<+n n n n S n n n
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式
2
b
a a
b +≤
，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(2
1
+>
++=+<∑=n n n k S n
k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例2 [简析]
411
()11(0)141422x x x x
f x x ==->-≠++•1(1)()(1)22
f f n ⇒++>-⨯L 211(1)(1)2222n +-++-⨯⨯L 1111111(1).42222
n n n n -+=-+++=+-L
例3 简析 不等式左边1
23n
n
n n n C C C C ++++L =12222112-++++=-n n Λ
n n n 1
22221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=2
1
2
-⋅n n ，故原结论成立.
例4
222222
1122
1122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++
L L
222222
121211 1.2222
n n a a a x x x ++++++=+=+=L L
其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。

本题还可以推广为：
若
22
21
2n p a a
a +++=L ，222
12(,0)n
q p q x x x +++=>L ， 试求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。

请分析下述求法：因为2
2
(,)2
x y xy x y R +≤∈，所以有222222
1122
1122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++L L 222222
1212.222n n a a a x x x p q +++++++=+=L L
故n n x a x a x a +++Λ2211的最大值为
2
p q
+，且此时有(1,2,,)k k a x k n ==L 。

上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是(1,2,,)k k a x k n ==L
，即必须有2
21
1
n
n
k k
k k a x
===∑
∑，
即只有p=q 时才成立！那么，
p q ≠呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：
2222221,
==L L
则有
1122n n a x a x a x +++=
L
2
2
2
2
2
2
≤
+=L L
于是，1122max ()n n a x a x a x +++=L
1,2,,).
k n ==L
结合其结构特征，还可构造向量求解：设1212(,,,),(,,,)n n m a a a n x x x ==L L ，则
由||||||m n m n ⋅≤u r r u r r 立刻得解：
1122||n n a x a x a x +++≤=
L
且取“＝”的充要条件是：12
12n
n
x x x a a a ==L 。

2．利用有用结论
例5 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1
>-⋅⋅122563412n n Λ=+⋅⋅n n 212674523Λ)12(212654321+⋅-⋅⋅n n n Λ⇒12)1
22563412(2
+>-⋅⋅n n n Λ 即.12)1
21
1()511)(311)(11(+>-+++
+n n Λ 法2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+
*x x n N n nx x n 的一个特例
1
2121)1211(2-⋅
+>-+k k (此处)得121,2-=
=k x n
，=-+∏⇒-+>
-+=)121
1(12121
2111k k k k n k .121
2121+=-+∏
=n k k n k 例 6 [简析] 高考标准用数学归纳法证明，；这里给出运用柯西（Cauchy ）不等式∑∑∑===≤n
i i
n
i i
n
i i
i b
a
b a 1
21
2
2
1
]
)([的简捷证
法：
⇔>)(2)2(x f x f >⋅+-++++n n a n x x x x 2222)1(321lg Λn
n a n x x x x ⋅+-++++)1(321lg
2Λ 2])1(321[x x x x n a n ⋅+-++++⇔Λ])1(321[2222x x x x n a n n ⋅+-++++•<Λ
而由Cauchy 不等式得2))1(1312
111(x x x x
n a n ⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅Λ
•++<)11(22Λ])1(321[22222x x x x n a n ⋅+-++++Λ(0=x 时取等号)
≤
])1(321[2222x x x x n a n n ⋅+-++++•Λ（10≤<a Θ），得证！
例7 [解析] )(II 结合第)(I 问结论及所给题设条件ln(1)x x +<（0x >）的结构特征，可得放缩思路：
⇒+++
≤+n
n
n a n n a )21
11(211211ln ln(1)ln 2n n n a a n n +≤++++n n n n a 211ln 2+++≤。

于是n
n n n n a a 21
1ln ln 21
++≤
-+，
.221122
11)21(111ln ln )2
11()ln (ln 1
1211
11
1
<--=--+-≤-⇒++≤---=+-=∑
∑
n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即
.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-
【注】：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可
用结论)2)(1(2
≥->n n n n
来放缩：⇒-+-+
≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n 11
1(1)(1)(1)
n n a a n n ++≤++-
111ln(1)ln(1)ln(1).
(1)(1)
n n a a n n n n +⇒+-+≤+
<--11
1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21
2
11
2
<-<+-+⇒-<+-+⇒∑
∑-=+-=n
a a i i a a n n i i i n i ，
即.133ln 1)1ln(2e e a a n n
<-<⇒+<+
例8 【简析】 当2≥n
时n
a a a n a a n na a n n n n n n n 1
1111111+=+≥⇒+≤
-----，即
n a a n n 1111≥--.1)11(212k
a a n k k k n k ∑∑=-=≥-⇒于是当3≥n 时有⇒>-][log 211121n a a n .][log 222n
b b a n +<
注：本题涉及的和式
n
1
3121+++Λ为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论
][log 2
1
131212n n >+++Λ来进行有效地放缩； 再如：【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1x
e
x ≥+，对x>－1有(1)n nx x e +≤，利用此结论进行巧妙赋值：取
1,1,2,,k x k n n =-=L ，则有121011()1211111()()()()()()()11111n
n n n n n n e e n n n e e e e e e e
---+++≤++++=<=
---L L 即对于任意n N *
∈，有
1().1n
n k k e
n
e =<-∑ 例9 [解析] 引入一个结论：若0>>a b 则)()1(11a b b n a b n n n -+<-++，
（可通过构造一个等比数列求和放缩来证明，略）
整理上式得].)1[(1
nb a n b a
n n -+>+（⊗），以n
b n a 1
1,111+=++
=代入（⊗）式得>++
+1)111(n n .)11(n n +。

即}{n a 单调递增。

以n
b a 21
1,1+==代入（⊗）式得
.4)21
1(21)211(12<+⇒⋅+
>n n n
n 。

此式对一切正整数n 都成立，即对一切偶数有4)11(<+n n ，又因为数列}
{n a 单调递增，所以对一切正整数n 有4)11(<+
n
n。

注：上述不等式可加强为.3)1
1(2<+≤
n n
简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩：
.1111)11(221n
n n n n n n n
C n C n C n a ++⋅+⋅+=+=Λ 只取前两项有.2111=⋅+≥n C a n n 对通项作如下放缩： .21
2211!111!111-=⋅≤<+-⋅-⋅⋅=k k k
n
k n k n n n n n k n
C ΛΛ故有.32/11)2/1(121221212111112<--⋅
+=+++++<--n n n a Λ 3. 部分放缩
例10 [解析] ++=a n a 211.1312111312
22n n a a ++++≤++ΛΛ 又2),1(2
≥->⋅=k k k k k k
（只将其中一个k 变成1-k ，进行部分放缩），k
k k k k 1
11)1(112--=-<∴
，
于是)111()3121()211(11312112
22n n n
a n
--++-+-+<++++
≤ΛΛ.212<-=n 例11 【解析】 )(i 用数学归纳法：当1=n 时显然成立，假设当k n ≥时成立即2+≥k a k ，
则当1+=k n
时312)2(1)2(1)(1+>+⋅+≥+-+≥+-=+k k k k a k a a a k k k k ，成立。

)(ii 利用上述部分放缩的结论121
+≥+k k a a 来放缩通项，可得
⇒+≥++)1(211k k a a 111112(1)242k k k k a a --++≥≥+≥⋅=L
11112k k a +⇒
≤+1111
1()1
1112.11242
12
n
n
n
i i i i
a +==-⇒≤=⋅
≤+-∑∑ 【注】上述证明)(i 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：31)2)(2(1
+>+-++≥+k k k k a k ；
证明)(ii 就直接使用了部分放缩的结论121+≥+k k a a 。

例12 [简析] 观察n )32(
即8
)2)(1()211(++>+n n n ，得证.
例13[简析] 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有
法1
法.1,,2,1,22
21-=>-+n k a a k k Λ 则⇒+>+>⇒->-1222)1(22
212
n n a n a a n n
1
2+>n a n
例14 [解析] （Ⅰ）a =1 ；（Ⅱ）由),(1
n n a f a =+得6
161)31(232322
1≤+--=-=+n n n n a a a
a 且.0>n a
用数学归纳法（只看第二步）：
则得
.2
1)11(2311)11(
)(21+<+-+=+<=+k k k k f a f a k k
例15 [解析1+=k n 时⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+k k k x a x x 211在
),[+∞a 递增，故.)(1a a f x k =>+。

对(II)有=-+1n n x x ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-n n x a x 21，构造函数
,21)(⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x a x x f
它在),[
+∞a 上是增函数，故有=
-+1n n x x ≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-n n x a x 210)(=a f ，得证。

【注】①数列{}n x 单调递减有下界因而有极限：).(+∞→→
n a a n
②
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
x a x x f 21)(是递推数列⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+n n n x a x x 211的母函数，研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。

例16 [简析]
),1(0>>n h n 则有
)1(1
2
02
)1()1(2
>-<<⇒->
+=n n h h n n h n n n n n ，从而有.12111-+
<+=<n h a n n 注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。

例17 [简析] 令1+=b a
，则0>b ，b a =-1，应用二项式定理进行部分放缩有
注意到N n n ∈≥,2，则4
2)1(222b n b n n ≥
-（证明从略），因此4
)1(2
2->
a n a n
.
7 转化为加强命题放缩
例18 [解析] 用数学归纳法推1+=k n
时的结论11>+n a ，仅用归纳假设1>k a 及递推式
a a a k k +=
+1
1是难以证出的，因为k a
故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数n 有.11
1a
a n -<
<
（证略） 例19 [简析]
.21412)2(1222221
+<+=⋅+≤+=+k k k k k k
x x x k k k 。

因此对一切*
∈N x 有.2n x n ≤
例20 [解析]：（1）将条件变为：1－
n
n
a ＝n 1
1n 113
a －－（－），因此｛1－n
n
a ｝为一个等比数列，其首项为1－
1
1a ＝
13，公比13
，从而1－
n
n
a ＝n
13
，据此得a n ＝n
n n 331
•－（n ?1）……1?
（2）证：据1?得，a 1?a 2?…a n ＝
2n n 111111333
•！
（－）（－）…（－）
，为证a 1
?a 2
?……a n
?2?n ！，
只要证n ?N ?时有2n 111
111333
•（－
）（－）…（－）?12……2? 显然，左端每个因式都是正数，先证明一个加强不等式： 对每个n ?N ?，有2n 111111333•（－
）（－）…（－）
?1－（2n
111333＋＋…＋）……3?
（用数学归纳法，证略）利用3?得2n
1
111113
33•（－）（－
）…（－）
?1－（2n 111333＋＋…＋）
＝1－n
111331
13
〔－（）〕
－
＝1－n n 11111123223〔
－（）〕＝＋（）?12。

故2?式成立，从而结论成立。

8. 分项讨论
例21 [简析] （Ⅰ）略，（Ⅱ） []
.)1(23
212---+=
n n n
a ；（Ⅲ）由于通项中含有n
)1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当3≥n
且n 为奇数时
1
2222223)121121(23112
1321
2121--++⋅=-++=+-------+n n n n n n n n n a a )2121(2322223123212-----+⋅=+⋅<n n n n n （减项放缩）， 于是, ①当4>
m 且m 为偶数时，
=+++m
a a a 1
1154Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++-Λ .87
8321)2
11(412321)212121(23214243=+<-⋅⋅+=++++<
--m m Λ ②当4>m 且m 为奇数时，
<+++m a a a 11154Λ1
541
111+++++m m a a a a Λ（添项放缩）
由①知
.8
7
1111154<+++++m m a a a a Λ。

由①②得证。

9. 借助数学归纳法 例22
[解析] 科学背景：直接与凸函数有关！（Ⅰ）略，只证（Ⅱ）：
考虑试题的编拟初衷，是为了考查数学归纳法，于是借鉴詹森不等式的证明思路有： 法1（用数学归纳法）
（i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立。

（ii ）假定当
k
n =时命题成立，即若正数
1,,,221221=+++k k p p p p p p ΛΛ满足，
则
.log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++Λ
当1+=k n
时，若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p ΛΛ满足（*）
为利用归纳假设，将（*）式左边均分成前后两段：
令.,,,,2222112
21x
p q x p q x p q p p p x k k k ===+++=ΛΛ 则k q q q 221,,,Λ
为正数，且.1221=+++k q q q Λ
由归纳假定知.log log log 22222212
1k q q p p p q k k -≥+++Λ
k
k k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++ΛΛ
,log )()log 22x x k x x +-≥+ （1）
同理，由
x p p p k k k -=++++++1122212Λ得
1122212212log log ++++++k k k k p p p p Λ).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥（2）
综合（1）（2）两式
11222222121log log log +++++k k p p p p p p Λ
).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x
即当1+=k n
时命题也成立. 根据（i ）
、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立. 法2 构造函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )
(22c x c x c x c x x x g ∈>--+=
],log )1(log )1(log [)(222c c
x
c x c x c x c x g +--+=
利用（Ⅰ）知，当
.)(,)2
(21取得最小值函数时即x g c
x c x == 对任意都有,0,021>>x x 2
log 22log log 2
1
221222121x x x x x x x x ++⋅
≥+]1)()[log (21221-++=x x x x ② （②式是比①式更强的结果）. 下面用数学归纳法证明结论. （i ）当n=1时，由（I ）知命题成立. （ii ）设当n=k 时命题成立，即若正数
有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p ΛΛ
1
1111122212212222121221221222222121log log log log .
1,,,,1.
log log log ++++++++++==++++=-≥+++--k k k k k k k k p p p p p p p p H p p p p p p k n
k p p p p p p ΛΛΛΛ令满足时当
对（*）式的连续两项进行两两结合变成k
2项后使用归纳假设，并充分利用②式有
,
1)()(],1)()[log (]1)()[log (11111121221212221221221=++++-++++-++≥++++++---k k k k k k p p p p p p p p p p p p H ΛΛ因为
由归纳法假设 ,)(log )()(log )(11112
12221221221k p p p p p p p p k k k k -≥++++++++++--Λ 得).1()(1121221+-=++++--≥+++k p p p p k H
k k Λ
即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立.
【评注】（1）式②也可以直接使用函数x x x g 2log )
(=下凸用（Ⅰ）中结论得到；
（2）为利用归纳假设，也可对（*）式进行对应结合：i i i n p p q +-+=12而变成k 2项；
（3）本题用凸函数知识分析如下：
先介绍詹森（jensen ）不等式：若
()f x 为],[b a 上的下凸函数，则
对任意1),,,1(0],,[1=++=>∈n i i
n i b a x λλλΛΛ，有
).()()(1111n n n n x f x f x x f λλλλ++≤++ΛΛ
特别地，若n i
1=
λ，则有)].()([1
)(11n n x f x f n
n x x f ΛΛ+≤++ 若为上凸函数则改“≤”为“≥”。

由)
(x g 为下凸函数
得
)
2
(
2
)
()()(221221n
n
n
n p p p g p g p g p g +++≥+++ΛΛ ，又
1
2321=++++n p p p p Λ，
所以
≥++++n n p p p p p p p p 222323222121log log log log Λ.
)21
(
2n g n
n -≥
（4）本题可作推广如下：若正数
n p p p ,,,21Λ满足121=+++n p p p Λ，则
.ln ln ln ln 2211n p p p p p p n n -≥+++Λ。

简证：构造函数1ln )(+-=x x x x f ，
易得
.1ln 0)1()(-≥⇒=≥x x x f x f ⇒-≥⇒1)ln()(i i i np np np .1
)ln(n
p np p i i i -≥
故
.0ln ln 01])ln([1
1
≥+⇒=-≥∑∑∑==i n
i i i n
i i i
p p n p np p
10. 构造辅助函数法
例23 【解析】(1) 求导可得
()f x 在1-,0 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是增函数,()()max min 5
f =2;f -ln2.2x x ∴= （2）（数学归纳法证明）①当1n =时，由已知成立；②假设当n k =时命题成立，即1
02
k a -
<<成立，
那么当
1n k =+时，由（1）得1152()(ln 2,2)
2
k k a
f a ++=∈-，1135
ln 22222
k a ++<
<-<<，
11112k a +<+<， 1102
k a +∴-<<，这就是说1n k =+时命题成立。

由①、②知，命题对于n N *
∈都成立
（3） 由()1
1112
22n n n a a a n f a ++++-=-, 构造辅助函数()()12+-=x x f x g ，得
()
4ln 4212ln 2)()('1x x x x f x g --=-'=+，当1
02
x -
<<时，121,4 1.22x x <<<<
故112
41022x
x --<-
-<，所以)('x g <0 得g(x)在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡021-，是减函数， ∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0，∴
()n
a n a f +-12>0,即n n a a ++-+1122
1
>0，得1+n a >n a 。

例24 【解析】（Ⅰ）332
n
n n a =+．（Ⅱ）提供如下两种思路：
思路 法1 由（Ⅰ）知3032n n n a =>+，21121(1)3n
x x x ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭ 2112111(1)3n x x x ⎛⎫
=
-+-- ⎪++⎝⎭2
111(1)1(1)
n x x x a ⎡⎤=--+⎢⎥++⎣⎦
2
112
(1)1n a x x =-+++g 2
111n n n a a a x ⎛⎫
=--+ ⎪+⎝⎭
n a ≤，∴原不等式成立．
思路2 将右边看成是关于x 的函数，通过求导研究其最值来解决： 法2 设
2112()1(1)3n f x x x x ⎛⎫
=
-- ⎪++⎝⎭
，则
2222
22(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫
-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=--=
+++g
0x >Q ，∴当2
3n
x <
时，
()0f x '>；当23n
x >
时，
()0f x '<，
∴当23n
x =
时，
()f x 取得最大值212313n n n
f a ⎛⎫
=
= ⎪⎝⎭+．∴原不等式成立． （Ⅲ）思路1 考虑本题是递进式设问，利用（Ⅱ）的结论来探究解题思路：
由（Ⅱ）知，对任意的0x
>，有
122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++--+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭L ≥
21121(1)3n
x x x ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭
L 2212221(1)333n n nx x x ⎛⎫=-+++- ⎪++⎝⎭L ．∴取22111222113311333313n n n x n n n ⎛
⎫
- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭
- ⎪
⎝
⎭
L ， 则22
121111
11133n n
n n n n a a a n n n +++=>
+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭
L ≥．∴原不等式成立． 【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的x 进行巧妙赋值，当然，赋值方法不止一种，如：还可令1
x n
=
，得 22212221111111(1)3333
1(1)n n n n nx n x x n n n
⎛⎫⎛⎫-+++-=---⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++L 2
2211.1131(1)n n n n n n =+⋅>+++ 思路2 所证不等式是与正整数n 有关的命题，能否直接用数学归纳法给予证明？尝试：
122
12333.3232321n n n n ⇔+++>++++L （1）当1n =时121
3311325211=>=++，成立； （2）假设命题对n k =成立，即122
12333.3232321
k k k k +++>++++L
则当1n k =+时，有 12121
12113333332323232132
k k k k k k k k ++++++++>+
++++++L ， 只要证明
212
13(1)1322
k k k k k k ++++>+++；即证12232212
3(1)(1)(2)31
3221(2)(1)32
k k k k k k k k k k k k k k k ++++-+++>-==+++++++， 即证12121212
32232121
322(32)32323232
k k k k k k k k k k k k +++++-++->⇔<⇔+>++++++++ 用二项式定理（展开式部分项）证明，再验证前几项即可。

如下证明是否正确，请分析：易于证明3321
n n n
n
a n =>++对任意n N *
∈成立；于是
2
3.3211
n n n n n a n n =>=+++∑∑
∑
【注】上述证明是错误的！因为：
()1
k
f k k =
+是递增的，不能逐步“缩小”到所需要的结论。

可修改如下： 考虑21n n +是某数列{}n b 的前n 项和，则2222(1)1
1n n n n n b n n n n
-+-=-=++，
只要证明22231
322 2.32k k k k k
k k a b k k k k
+->⇔>⇔>+-++ 思路3 深入观察所证不等式的结构特征, 利用均值不等式可得如下妙证：
由1321n n n a a a +=+取倒数易得：3032
n
n n
a =>+，用n 项的均值不等式： 121212111222111333
n n n a a a n n
n a a a +++>=+++++++++L L L 1
1
11
[1()]12331
313
n n
n n n n n n ==
>+-+-
+-， 2
12.1
n n a a a n ⇒+++>+L
例25 【解析】(Ⅰ) .2121
n
n n x x x +=+（Ⅱ）使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件是x 1
≥1.
(Ⅲ) 基本思路：寻求合适的放缩途径。

探索1 着眼于通项特征，结合求证式特点，尝试进行递推放缩： ⇒+=+
+n
n n x x x 2)1(121
)2(12)1(2)1(2)1(21112
11211≥+≤+-+=+=+-----n x x x x x x n n n n n n 即)2(12111≥+≤+-n x x n n 。

于是由此递推放缩式逐步放缩得.3
2121212111
11221----=+≤≤+≤+≤+n n n n n x x x x Λ
探索2 从求证式特征尝试分析：结论式可作如下变形：
.312)2221(311111111221-=++++≤++++++-n n n x x x ΛΛ 逆向思考，猜想应有：
.32111-≤+n n
x （用数学归纳法证明，略）。

探索3 探索过渡“桥”，寻求证明加强不等式：由（2）知x n ≥1，由此得
)2(2
1
11≥≤+n x n 。

有
.21
3111111121-+≤++++++n x x x n Λ尝试证明3
122131-≤-+n n .1321+≥⇔+n n
证法1（数学归纳法，略）；
法2 （用二项展开式部分项）：当n ≥2时2n
=(1+1)n
≥2
2
2210++=++n n C C C n
n n
.02
)1(213221322
2≥-=--++≥+-n n n n n n
此题还可发现一些放缩方法，如：
)(11111121*∈<++++++N n n x x x n Λ。

（每一项都小于1），而再证3
12-≤n n 即132+≥n n
，则需要归纳出条
件n ≥4.(前4项验证即可)
技巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<
=1211212144
4412
2
2n n n n
n
(2))
1(1)1(1)1()1(212
11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1
11)1(1!11)!(!!11
≥--=-<<⋅-=⋅
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r r
r
n r (4)2
5
)1(12311
2111)11(<-++⨯+
⨯++<+n n n n Λ (5)
n
n n
n 2
1121)12(21--=- (6)
n n n -+<+22
1
(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n
n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !
)1(1!
1!
)1(+-
=+n n n n (11)2
1
2121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+<n n n n n n n
(11)
)2(1
21121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211
12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n
(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11
1
2
3--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
-=+-<
⋅=
n n n n n n n n n n
n n 1111211111
1
+--<-++⋅
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3
212132122)12(332)13(2221n
n n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+
(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-
+=+++++k k k k k k (15) )2(1)
1(1≥--<+n n n n n (15)
11
1)
11)((1122222
222<++
++=
++
+--=
-+-+j i j i j i j i j i j i j i。