46东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-两条直线的位置关系与点到直线的距离A

29 28 , y0 ，所以反射光线 A’B 所在直线的方程为： 13 13
62 28 62 13 13 y ( x 3) ，得 13x－26y+85=0. 12 3 29 13 课时作业（二） 1．过两直线3x+y－1=0与x+2y－7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线 方程是（ B ） （A）x－3y+7=0 （B）x－3y+13=0 （C）2x－7=0 （D）3x－y－5=0 2． 过点P(1， 4)和Q(a， 2a+2)的直线与直线2x－y－3=0平行， 则a的值 （ B ） （A）a=1 （B）a≠1 （C）a=－1 （D）a≠－1 3．直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ C ） （A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定，与m，n取值有关 4．经过两条直线2x+y－8=0和x－2y+=0的交点，且平行于直线4x－3y－7=0 的直线方程是 4x－3y－6=0 . 5．直线ax+4y－2=0与直线2x－5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= 10 ， c= －12 ，m= －2 .
即前两条直线的交点为 (
5
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9．光线由点A(－1，4)射出，在直线l：2x+3y－6=0上进行反射，已知反射 62 光线过点B(3， )，求反射光线所在直线的方程. 13 解：设点 A 关于直线 l：2x+3y－6=0 的对称点 A’的坐标为(x0，y0)，
五、课时作业（一）
1． 如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行， 那么系数a的值为 （ B ） 3 2 （A）－ （B）－6 （C）－3 （D） 2 3 2．若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则 （ C ） （A）a=2 （B）a=－2 （C）a=2或a=－2 （D）a=2，0，－ 3．如果直线ax+y－4=0与直线x－y－2=0相交于第一象限，则实数a的取值 范围是（ A ） （A）－1<a<2 （B）a>－1 （C）a<2 （D）a<－2或a>2 4．直线Ax+4y－1=0与直线3x－y－C=0重合的条件是（ D ） 1 （A）A=12，C≠0 （B）A=－12，C= 4 1 1 （C）A=－12，C≠－ （D）A=－12，C=－ 4 4 5．若两条直线l1，l2的方程分别为 A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，l1与l2只有一个 公共点，则（ B ） （A）A1B1－A2B2=0 （B）A1B2－A2B1≠0 （C）
例 6．直线 l1：ax+(1－a)y－3=0 与 l2：(a－1)x+(2a+3)y=2 互相垂直，求 a 的 值. 解：利用 A1A2+B1B2=0，即 a(a－1)+(1－a)(2a+3)=0 解得：a=1 或 a=－3. [探究五]．求点到直线的距离 例 7．求点 P(3，－2)到下列直线的距离： （1）3x－4y+1=0； （2）y=6； （3）y 轴. 解： （1）由点到直线的距离公式得 d=
A1 A ，l2 的斜率为 k2 2 ，即当 l1、l2 的斜率都 B1 B2
存在时，直线 l1 与 l2 垂直的条件是 k1· k2=－1，当两条直线垂直时，这两条 直线的倾斜角的差为 90°。 3、直线系
1
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一般地说，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的 方程叫直线系方程，直线系方程中除含变量 x，y 以外，还可以根据具体条 件取不同值的变量，简称参数. 经过定点的直线系方程： （1）过定点 P(x0,y0)的直线 y－y0=k(x－x0)（k 为参数）是一束直线（ 方程 中不包括与 y 轴平行的那一条） （即 x=x0） ， 所以 y－y0=k(x－x0)是经过点 P(x0,y0) 的直线系方程； （2）直线 y=kx+b ,（其中 k 为参数，b 为常数） ，它表示过定点(0，b)的直 线系，但不包括 y 轴（即 x=0） ； （ 3 ）经过两条直线交点的直线系方程： l1 ： A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0) 与 l2 ： A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交点的直线系为 m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0， （其中 m、 2 2 n 为参数，m +n ≠0） 当 m=1，n=0 时，方程即为 l1 的方程；当 m=0，n=1 时，方程即为 l2 的方程. 上面的直线系可改写成（(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0（其中λ为参数） ，但是 方程中不包括直线l2，但这个参数方程形式在解题中较为常用. 4、点到直线的距离公式 点P(x1，y1)到直线l：Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离 d
3x 4 y 2 0 x 2 解：解方程组 得 ，所以两直线的交点是(－2，2). 2x y 2 0 y 2
[探究四]．已知直线的位置关系，求参数值 例 5．直线 l1：(m+2)x+(m2－3m)y+4=0，l2：2x+4(m－3)y－1=0 如果 l1//l2， 求 m 的值.
二、题型探究： 、 [探究一]：判断或证明直线的平行关系 例 1．已知直线 l1：3x+6y+10=0，l2：x=－2y+5，求证：l1//l2. 1 5 1 5 证法一：把 l1 与 l2 的方程写成斜截式 y x ， y x ， 2 3 2 2 因为 k1=k2，b1≠b2，所以 l1//l2. 证法二：把 l2 的方程写成一般式 x+2y－5=0， 因为 A1B2－A2B1=0，B1C2－B2C1≠0，所以 l1//l2. 例 2．已知两直线 l1：mx+8y+n=0，l2：2x+my+1=0，试确定 m、n 的值，使 l1//l2. 解：由 m· m－8· 2=0，得 m=±4，由 8· (－1)－mn≠0，得 n≠±2， 即 m=4，n≠－2 或 m=－4，n≠2 时 l1//l2. [探究二]．根据平行或垂直条件求直线方程 例3．求直线l的方程： （1）过点P(2，－1)且与直线3x－2y－6=0平行； （2）过点P(1，－1)且与直线2x+3y+1=0垂直； 解： （1）因已知直线与所求直线平行，故所求直线可设为3x－2y+C=0， 由点P(2，－1) 在直线上解得C=－8，故所求直线方程为3x－2y－8=0. （2） 因已知直线与所求直线垂直， 故所求直线可设为3x－2y+C=0， 由点P(1， －1)在直线上解得C=－5，故所求直线方程为3x－2y－5=0. [探究三]．求直线交点 例4．求下列两直线的交点l1：3x+4y－2=0，l2：2x+y+2=0
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平面两条直线的位置关系与点到直线的距离(教案)A 一、知识梳理： 1、 （1） ．两条直线相交、平行与重合条件 已知两条直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0 l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0；或
A1 B1 A2 B2
（D）
A1 A2 B1 B2
6． 已知点P(1， 1)和直线l： 3x－4y－20=0， 则过P与l平行的直线方程是 －4y+1=0 ；过P与l垂直的直线方程是 4x+3y－7=0 . 7． 设直线l1： (m－2)x+3y+2m=0与l2： x+my+6=0， 当m≠3且m≠－1 l1与l2相交；当m= －1 时，l1与l2平行；当m=
| 3 3 4 (2) 1| 18 . 5 32 (4)2
（2）因为直线 y=6 平行于 x 轴，所以 d=|6－(－2)|=8 （3）d=|3|=3. [探究六]．求两平行线间的距离 例 8．求平行线 2x－7y+8=0 和 2x－7y－6=0 间的距离. 解：在直线 2x－7y－6=0 上任取一点，不妨取(3，0)，则点(3，0)到直线 2x －7y+8=0 的距离就等于两平行线间的距离。因此 d= [探究七]．根据距离求直线方程 例9．求过点A(－1，2)且与原点的距离为
| Ax1 By1 C | A2 B 2
.
（1） ．从运动的观点来看，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的 连线的最短距离； （2） ．使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方 程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式方程； （3） ．若点P在直线上，则点P到直线的距离为零，距离公式仍然成立。 5、求点到直线的距离的步骤 求点P(x1，y1)到直线l：Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离的计算步骤是： （1）给点的坐标赋值：x1=？；y1=?； （2）给A、B、C赋值：A=？，B=?；C=？； （3）计算 d
2 的直线方程。 2
| 23 8 | 2 7
2 2

14 53 . 53
解：设直线的方程为y－2=k(x+1)，则kx－y+2+k=0, 所以
|2k | k 2 1

2 ，解得k=－1或k=－7， 2
故所求的直线方程为x+y－1=0或7x+y+5=0.
三、 方法提升：
四、反思感悟
4
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| Ax1 By1 C | A2 B 2
；
（4）给出d的值. 6、两平行线间的距离
两条平行线 l1：Ax+By+C1=0 与 l2：Ax+By+C2=0 之间的距离是 d
| C1 C2 | A2 B 2
.
2
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2 3 y 4 3 则由直线 l 的斜率为 k=－ ， 得 k AA ' ， 即 0 得 3x0－2y0=－11， ， 3 2 x0 1 2
因为 AA1 的中点在直线 l 上，所以 2( 联立方程组解得 x0
x0 1 y 4 ) 3( 0 ) 6 ，得 2x0+3y0=2 2 2
A x B1 y C1 0 若方程组 1 有惟一实数解，以这个解为坐标的点，就是两 A2 x B2 y C2 0
条直线的交点； 若方程组无解时，说明 l1 与 l2 平行； 若方程组有无数个解时，说明 l1 与 l2 重合。 2、两条直线垂直的条件 （1） ．已知两条直线的方程为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，l1、l2 垂直 的条件是 A1A2+B1B2=0； （2） ．若 l1 的斜率是 k1
(m 2) 4(m 3) (m2 3m ) 2 0 解： ：若 l1//l2.，则有 ，解得：m=4 或 2 (m 3m) ( 1) 4 4(m 3) 0
m=－3.
3
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A1 B1 ； A2 B2 A1 B1 C1 . A2 B2 C2
l1与l2平行的条件是A1B2－A2B1=0且C1B2－C2B1≠0；或
l1与l2重合的条件是A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2，或
A1 B1 C1 . A2 B2 C2
（2） ．判定两直线相交、平行、重合的步骤； 已知两条直线的方程为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则判断 l1、l2 是否平行相交与重合的步骤如下： ①给 A1、A2、B1，B2、C1、C2 赋值； ②计算 D1=A1B2－A2B1，D2=B1C2－B2C1； ③若 D1≠0，则 l1 与 l2 相交； ④若 D1=0，D2≠0，则 l1 与 l2 平行； ⑤若 D1=0，D2=0，则 l1 与 l2 重合. （3） ．设两条直线的方程分别为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
1 2
3x 时，
时，l1⊥l2.
8．设三条直线：x－2y=1，2x+ky=3，3kx+4y=5交于一点，求k的值.
k 6 x x 2y 1 k4 解：解方程组： ，解得 2 x ky 3 y 1 k4
k 6 1 , )， 因为三直线交于一点， 所以第三条直 k 4 k 4 k 6 1 16 ) 4( ) 5 ，解得k=1或k= 。 线必过此定点，故 3k ( k 4 k 4 3