第六节能控性能观测与传递函数的关系
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1 s 3 G ( s ) C ( sI A) 1 B 0 1 1 0 1 2 2 0 s 1 0 1 s 4
1 s 1
1 s2
其特征根为-1，对应的状态变量是 x2 ，构成了可控可观测子 空间。所以说，当且仅当系统的状态完全可控可观测时，系统 的外部描述等价于内部描述。
第六节 能控性、能观测性与 传递函数的关系
Monday, December 03, 2018
1
用数学模型描述系统，通常有两种描述方法：外部描述 （使用传递函数阵）和内部描述（动态方程，状态空间描述）。 这两种描述是否等价呢？应该说，内部描述比外部描述更深刻。 Kalman指出：两种描述的等价是有条件的，不是绝对等价的。 举下例说明：
[解]：可控性矩阵：Pc B
AB A
4 1
B
1 3 9 27 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 rankP 控。 c 2 4,所以系统状态不完全可
Monday, December 03, 2018
6
T 可观测性矩阵： Po C
A C 0 1 4 0
T
T
( A )2 C
T
T
( A )3 C
T
T
0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 8 0
rankP 观测。 o 2 4,所以系统状态不完全可
Monday, December 03, 2018
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使用可控、可观测判据二，可得： （请自行推导） x1 , x2可控，x3 , x4不可控；x1 , x4不可观测， x2 , x3可观测。 则系统的状态空间可以分解为： ①可控可观测子空间：x2 ②可控不可观测子空间：x1
写成矩阵形式： x 1
x1 (t )或x2 (t ) ，即在系统中间存在、隐藏着不 则随着t ， 稳定的因素。
0
Monday, December 03, 2018
4
从上面的讨论可以看出：传递函数中有零极点对消时，与 内部描述是不等价的。有零极点对消会丢掉很重要的信息。那 末，传递函数在什么样的条件下才能完整地描述系统呢？ [卡尔曼-吉伯特定理]：一个给定系统的传递函数，仅表示了系 统既可控又可观测的那部分系统，而不反映不可控可观测，可 控不可观测，不可控不可观测子空间部分。 一般，系统的状态空间可分解为四个子空间：可控可观测， 不可控可观测，可控不可观测，不可控不可观测子空间。
Monday, December 03, 2018
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3 1 [例7-6-1]设有系统： 2 1 试判断可控及可 x x u 0 2 观测性。 4 0 y 0 1 1 0x
x3 ③不可控可观测子空间：
④不可控不可观测子空间：x4
Monday, December 03, 2018
8
用结构图表示如下：
1
1 x
-
u
2
s s
1
x1
2 x
-
3
1
x2
+ y
3 x
-
1
s 1
2
x3 +
x4
4 x
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s
1
4
9
根据卡尔曼-吉伯特定理，若用传递函数阵G ( s) 表示系统时， 只能反映Fra Baidu bibliotek控能观测部分，来看看是否如此。
Monday, December 03, 2018
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5
u(t )
-
1 x
-
s
1
x1
+ y(t ) +
4
x2
s
1
2 x
-
1
1 5(u x2 ) 4 x1 x 状态方程为： 2 y x2 x1 u x2 x2 x1 u x
Monday, December 03, 2018
3
4 5 x1 5 u x 2 1 0 x2 1 x1 y 1 1 u x2 其特征值为1，-5，所以 A阵可以转化为对角阵。 t 1 0 e 0 1 At A , e P P 5t 0 5 0 e t At A( t ) At 中有 t 项， x e x ( 0 ) e B u ( ) d 状态方程的解为： 。 e e
Monday, December 03, 2018
10
应当指出：①当传递函数有零极点相消时，由于选择状态变量 的不同，它们可以分解为可控可观测子空间和不可控可观测子 空间；也可分解为可控可观测子空间和可控不可观测子空间。 ②当传递函数无零极点相消时，线性满秩变换不影响系统的可 控可观测性。
sa [例7-6-2]系统为： ，当a 1,2,3 时，写成 G(s) ( s 1)(s 2)(s 3) 的动态方程一定是可控可观测的；当 a 1,2,3 时，有零极点相 消，动态方程可以写成可控不可观测或不可控可观测两种形式。
设系统如图：
u ( s)
-
5 s4
+ y(s) +
1 s 1
y( s) (s 1) 2 s 1 其传递函数为：G( s) u( s) ( s 1)(s 5) s 5
Monday, December 03, 2018
2
过程中，分子分母消去了(s-1)，有零、极点相消，其结果是 稳定的。若不相消，则闭环极点为1，-5，显然是不稳定的。这 种相消是否可以呢？ 下面我们用内部描述来分析。选择状态变量如下图：
1 s 1
1 s2
其特征根为-1，对应的状态变量是 x2 ，构成了可控可观测子 空间。所以说，当且仅当系统的状态完全可控可观测时，系统 的外部描述等价于内部描述。
第六节 能控性、能观测性与 传递函数的关系
Monday, December 03, 2018
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用数学模型描述系统，通常有两种描述方法：外部描述 （使用传递函数阵）和内部描述（动态方程，状态空间描述）。 这两种描述是否等价呢？应该说，内部描述比外部描述更深刻。 Kalman指出：两种描述的等价是有条件的，不是绝对等价的。 举下例说明：
[解]：可控性矩阵：Pc B
AB A
4 1
B
1 3 9 27 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 rankP 控。 c 2 4,所以系统状态不完全可
Monday, December 03, 2018
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T 可观测性矩阵： Po C
A C 0 1 4 0
T
T
( A )2 C
T
T
( A )3 C
T
T
0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 8 0
rankP 观测。 o 2 4,所以系统状态不完全可
Monday, December 03, 2018
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使用可控、可观测判据二，可得： （请自行推导） x1 , x2可控，x3 , x4不可控；x1 , x4不可观测， x2 , x3可观测。 则系统的状态空间可以分解为： ①可控可观测子空间：x2 ②可控不可观测子空间：x1
写成矩阵形式： x 1
x1 (t )或x2 (t ) ，即在系统中间存在、隐藏着不 则随着t ， 稳定的因素。
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Monday, December 03, 2018
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从上面的讨论可以看出：传递函数中有零极点对消时，与 内部描述是不等价的。有零极点对消会丢掉很重要的信息。那 末，传递函数在什么样的条件下才能完整地描述系统呢？ [卡尔曼-吉伯特定理]：一个给定系统的传递函数，仅表示了系 统既可控又可观测的那部分系统，而不反映不可控可观测，可 控不可观测，不可控不可观测子空间部分。 一般，系统的状态空间可分解为四个子空间：可控可观测， 不可控可观测，可控不可观测，不可控不可观测子空间。
Monday, December 03, 2018
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3 1 [例7-6-1]设有系统： 2 1 试判断可控及可 x x u 0 2 观测性。 4 0 y 0 1 1 0x
x3 ③不可控可观测子空间：
④不可控不可观测子空间：x4
Monday, December 03, 2018
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用结构图表示如下：
1
1 x
-
u
2
s s
1
x1
2 x
-
3
1
x2
+ y
3 x
-
1
s 1
2
x3 +
x4
4 x
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s
1
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根据卡尔曼-吉伯特定理，若用传递函数阵G ( s) 表示系统时， 只能反映Fra Baidu bibliotek控能观测部分，来看看是否如此。
Monday, December 03, 2018
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u(t )
-
1 x
-
s
1
x1
+ y(t ) +
4
x2
s
1
2 x
-
1
1 5(u x2 ) 4 x1 x 状态方程为： 2 y x2 x1 u x2 x2 x1 u x
Monday, December 03, 2018
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4 5 x1 5 u x 2 1 0 x2 1 x1 y 1 1 u x2 其特征值为1，-5，所以 A阵可以转化为对角阵。 t 1 0 e 0 1 At A , e P P 5t 0 5 0 e t At A( t ) At 中有 t 项， x e x ( 0 ) e B u ( ) d 状态方程的解为： 。 e e
Monday, December 03, 2018
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应当指出：①当传递函数有零极点相消时，由于选择状态变量 的不同，它们可以分解为可控可观测子空间和不可控可观测子 空间；也可分解为可控可观测子空间和可控不可观测子空间。 ②当传递函数无零极点相消时，线性满秩变换不影响系统的可 控可观测性。
sa [例7-6-2]系统为： ，当a 1,2,3 时，写成 G(s) ( s 1)(s 2)(s 3) 的动态方程一定是可控可观测的；当 a 1,2,3 时，有零极点相 消，动态方程可以写成可控不可观测或不可控可观测两种形式。
设系统如图：
u ( s)
-
5 s4
+ y(s) +
1 s 1
y( s) (s 1) 2 s 1 其传递函数为：G( s) u( s) ( s 1)(s 5) s 5
Monday, December 03, 2018
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过程中，分子分母消去了(s-1)，有零、极点相消，其结果是 稳定的。若不相消，则闭环极点为1，-5，显然是不稳定的。这 种相消是否可以呢？ 下面我们用内部描述来分析。选择状态变量如下图：