教材张量分析及场论

张量分析与场论 第一章 张量代数

任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的，这是客观的存在，而不以人们的意志为转移。但是，在研究、分析这些物理现象时，采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。无数事实证明，研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关，而研究方法的好坏则直接关系到求解问题的繁简程度。

由于物理量的分量与坐标的选择有关，所以由物理量的分量表示的方程，其形式就必然与坐标系的选取有关。在建立基本方程时，每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。

张量分析能以简洁的表达式，清晰的推导过程，有效地描述复杂问题的本质，并突出现象的几何和物理特点。张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下不变的性质，即由张量表示的方程，其形式不随坐标的选择而变化。

第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数，第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析及场论，作为进一步的学习的基础，在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。

1.1点积、矢量分量及记号ij δ

我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量，如

位移u ρ

，力F ρ等。这些量满足平行四边形运算的矢量加法

法则，即设u ρ，v ρ为矢量，则v u w ρ

ρρ+=的运算如右图所

示。

在理论力学中我们还知道，如u ρ

表示某一点的位移，

F ρ

表示作用在该点上的力，

则该力对物体质点所做的功为 其中F ρ、|u ρ

|分别表示矢量F ρ、u ρ的大小，θ表示矢

量F ρ与矢量u ρ

之间的夹角，这就定义了一种称为点积的运算。

点积的定义：设u ρ，v ρ为两个任意矢量，设|u ρ|，|v ρ

|分别为其大小（也称为模）。θ为

这两个矢量之间的夹角，则u ρ与v ρ

的点积为

由点积定义可知，点积具有交换律，即u ρ•v ρ=v ρ•u ρ

。可以用几何的方法证明点积也具

有分配率，即如w ρ=u ρ+v ρ

，则

或可写为

如果0v u =⋅ρρ则称u ρ垂直于v ρ，记为u ρ⊥v ρ。

由点积的定义可知，2u u u ρρρ=⋅。如|u ρ|=1则称u ρ

为单位矢量。

以上对矢量的记法是一种几何记法，称为实体记法，也有的书上称其为不变性形式。这种记法的特点是非常直观。如在力学中，分析作用力时，就用有向线段来表示矢量。但是用几何记法只能进行简单的矢量运算，稍微复杂一点的矢量运算就无法进行了，因此必须借助于坐标用分析的方法来进行。

我们引入坐标系，用坐标的方法来描述一个矢量。在空间选三个矢量组成坐标架，这三个矢量取名为

（1e ρ,2e ρ,3e ρ

），其大小为1，方向互相垂直，即有如下的性质：

111=⋅e e ρρ，122=⋅e e ρ

ρ，133=⋅e e ρρ 021=⋅e e ρ

ρ，032=⋅e e ρρ，013=⋅e e ρρ

{i e ρ

}称为基矢量或坐标架。

空间的任意矢量u ρ

可以用平行四边形法则表示为三个基矢量的和，即

其中i u 表示u ρ在方向i e ρ上的投影，即i i e u u ρρ⋅=，称为在坐标{i e ρ}下u ρ

的分量。 矢量的表示方法：实体记法u ρ

；分量记法（1u ，2u ，3u ）或i u 即我们有

可以用分量记法表示矢量的加、减法和点积，设u ρ，v ρ

是矢量，

即有i i i e u u ρρ∑==31

，i i i e v v ρρ∑==31

，则矢量v u w ρ

ρρ±=可以表示为 则w ρ

的分量为i i i v u w ±=

利用点积的分配率我们可得，

=33223

1

113

1

)()()(e v e u e v e u e v e u i i i i i i i i ρρρρρρ⋅+⋅+⋅∑∑∑==

=332211v u v u v u ++

为了进一步简化写法，这里我们引入求和规则：若某个指标在一项中重复出现一次，则表示这个指标应从1到3求和。这个约定就是著名的爱因斯坦（Einstein ）约定求和。按照约定求和，一个矢量可写为

两个矢量的和可以表示为 点积可以表示为 考虑到i x 到'

j x 的线性变换可写为

用约定求和的写法有

在一项中指标相同的要求和，求和的指标称为哑指标，不求和的指标称为自由指标。在点积的表达式中指标i 为哑指标。在线性变换的表达中指标i 为自由指标，等号右边第一项的指标j 为哑指标。

设微元矢量为r d ρ

，则微元弧长ds 为 一个函数的微分可以写为 这里我们引进一个算子

称为哈米顿算子，这个算子兼有导数和矢量的两重作用。这样一个函数的微分可以写为 其中i i dx e dx e dx e dx e r d ρ

ρρρρ=++=332211

一个表达式中，哑指标必须是成对出现的，其名称是可以改变的，每一项的自由指标的多少以及名称都应是一样的。一个表达式中的自由指标的名称要换必须同时换，而且不能

与其它指标的名称相同。如线性变换i j ij i g x a x +='这个表达式中有三项'

i x ，j ij x a ，i g ，其中第二项有哑指标j ，可以换成k ，或l ，但不能换成i ，因为这一项中i 为自由指标。在这三项中都有自由指标i ，要换必须同时换，如换成k ，即可写为k j kj k g x a x +='

，但不能换成j ，因为第二项中j 为哑指标。

一般的情况下由i i i i c a b a =推不出i i c b =。只有在任意的i a 上成立时，才能推得出该式。

在引入坐标系时，要求基矢量有下列关系

1332211=⋅+⋅+⋅e e e e e e ρρρρρρ，及0133221=⋅=⋅=⋅e e e e e e ρ

ρρρρρ 这一性质可用记号ij δ来表示，令

由定义可知ij δ具有对称性，即ij δ=ji δ。我们有如下关系： ij j i e e δ=⋅ρ

ρ， 3,2,1,=j i

如用矩阵的表示方法，ij δ可以表示为一个3×3的单位矩阵，即 由ij δ的定义，根据约定求和的规定，我们有 因此，我们有

由于ij δ对称性，上式也可写为

对点积运算可以按如下形式进行

其中用到了上边的推导的结果，即i ij j v v =δ。这与前边点积可写为v u ρ

ρ⋅=i i v u 的结果一致。由此可以看出，ij δ的作用是使该式中的指标j 变为指标i ，ij δ也称为换标符号。

利用ij δ的换标作用，一个函数的微分可以进行如下的推导 利用ij δ及约定求和使得推导变得很方便了。 1.2记号ijk ε、矢积（叉乘）、δε-关系 在介绍矢积之前，我们先定义另一个记号ijk ε， 由ε的定义可知kij ijk εε=；jik ijk εε-=。

可以用ε来表示三阶行列式