最优化理论与方法-第3章 对偶理论

表 3-1 原问题与对偶问题间的对应关系
原问题(对偶问题)
对偶问题(原问题)
目标函数形式 变量 约束
min
n 个变量
变量 0
变量 0
无正负限制 m 个约束 约束 约束 约束
约束条件的右端项
目标函数形式
max
约束 变量
n 个约束
约束 约束 约束
m 个变量 变量 0 变量 0
无正负限制
目标函数中变量的系数
当 c x b y ，根据(3-19)式知， c x c x ，因此 x 为 LP 的最优解．同
理，可以证明 y 是 LD 的最优解．
□
定理 3-3（强对偶性定理） 若 LP 和 LD 中有一个有最优解，则另一个问 题也必存在最优解，且两个问题最优解的目标函数值必相等． 证明：假设原问题 LP 存在最优解，根据定理 1-3 知，一定存在一个基本可行
定理 3-5（互补松弛定理） 设 x 和 y 分别是 LP 和 LD 的可行解，则它们分别
是 LP 和 LD 的最优解的充要条件是 x c A y 0 ．
证明 必要性：设 x 和 y 分别是各自问题的最优解，则
b y Ax y x A y x A y c c 而根据强对偶性定理知，
b y c x．
m
x c Ay
0
xj cj
或
aij yi
i1
y Ax b 0
n
yi
aij x j bi
j1
0, j 1, 2, , n 0, i 1, 2, , m
利用互补松弛定理，可在已知一个问题的最优解时，求其对偶问题最优解．
例 3-3 给定如下线性规划问题
max s.t. 3y1
2 y1 y1 yi
2 y1 4 y2 3y3 4 y2 2 y3 60
如果 LD 的目标函数值在可行域上无上界，则 LP 必无可行解．
证明：假设 LD 有可行解 y 存在，则对 LP 的任一可行解 x 都应有 c x b y ，
这就与 LP 的目标函数值在可行域上无下界矛盾，故 LD 必无可行解．类似地，
可以证明推论中的后一个结果．
□
定理 3-2（最优性定理） 若 x 和 y 分别是 LP 和 LD 的可行解，则 LP 和
证明：令 u c A y ，因为 y 是 LD 的可行解，故 u 0 ．因为
Ax b, A y c u , x 0, u 0 ，
所以有
b y Ax y x A y x c u c x x u c x (3.2.1)
因此，定理的结论成立．
□
根据定理 3-1 的结果，可以得到下述推论： 推论 3-1 如果 LP 的目标函数值在可行域上无下界，则 LD 必无可行解；
40x2 80x3 x3 2 3x3 4 2x3 3 1, 2, 3
直接验证便知 y1, y2, y3
0, 20 , 50 是对偶问题的一个可行解． 33
如果它是对偶问题的最优解， x1, x2, x3 为原问题的最优解，则根据互补松弛定
理可知， x1, x2, x3 除了必须是原问题的一个可行解外，还必须满足下列条件：
b Байду номын сангаас y b cBB 1b c x
根据定理 3-2 知， y 是 LD 的最优解．
□
给定线性规划 LP 的一个基 B ，我们称 y cBB 1 是 LP 关于基 B 的一个 单纯形乘子．根据上述定理 3-3 的证明过程，可得到如下单纯形乘子定理．
定理 3-4（单纯形乘子定理） 假设 LP 有一个对应于基 B 的最优基本可行
4x1 2x2 3x1 x2 x1 0, x2
56 30 ． 0
故，该个体经营者的数学模型应为：
min z 120x1 50x2 s.t. 4x1 2x2 56
3x1 x2 30 x1 0, x2 0
(3-2)
解之得： x1 2, x2 24, z 1440 ．
我们将线性规划模型(3-1)和(3-2)称为一对互为对偶的线性规划模型，两者 之间有着密切联系也有区别．它们使用了相同的数据，只是这些数据在模型中所 处的位置不同，反映所要表达的含义也不同．(3-1)是反映追求木器生产车间收 入最大的模型，而(3-2)是寻求个体经营者付给木器生产车间最少的工时费用模 型．若将(3-1)称为原问题，则(3-2)就是其对偶问题．可以看出：原问题的价值 系数在对偶问题中成为约束条件的右端项，而对偶问题的价值系数成为原问题约 束条件的右端项；原问题中第一(二)个不等式的变量系数，在对偶问题中成为决
4x1
x2
3x3 4 因为 y2
20 0 3
2x1 2x2
2x3 3 因为 y3
50 0 3
x3 0
因为 y1
3 y2
2 y3
160 3
80
由此方程组可解得 x1, x2, x3
5 , 2 , 0 ．直接验证可知它是原问题的一个可 63
行解．现 y1, y2, y3
0, 20 , 50 33
和 x1, x2, x3
第三章 线性规划的对偶理论
任意线性规划问题都伴随着另一个与之有密切联系的线性规 划问题，我们将其中的一个称为原问题，另一个就称为对偶问 题．对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题之间的内在联系，在线 性规划的理论研究和算法设计中起着重要的作用．例如，成功的线 性规划原-对偶内点算法就是基于互补松弛定理而提出来的．
有 b y c x b y ．这两个不等式说明 x 和 y 分别是 LP 和 LD 的最优解．至
此，定理的结论证毕．
□
根据定理 3-5 的结论，我们可以证明下面的对称形式的互补松弛定理： 推论 3-2 设 x 和 y 分别是对称形式的原问题(3-5)及其对偶问题(3-6)的可 行解，则 x 和 y 分别是各自问题最优解的充要条件为：
5 , 2 , 0 分别是对偶问题和 63
原问题的可行解，又满足互补松弛条件，故分别是对偶问题和原问题的最优解．
设 x1为付给木工每个工时的价格，x2 为付给油漆工每个工时的价格，则该个 体经营者的目标函数为每日所付工时总费用最小：
min z 120x1 50x2．
但该个体经营者所付的价格不能太低，至少不能低于该车间生产木门、木窗时所
得到的收入，否则该车间觉得无利可图就不会替他加工这批订单．即，x1 与 x2 的 取值应满足如下约束条件：
现在从另一角度来考虑该车间的生产问题．假若有一位个体经营者，手中有 一批木器家具生产订单．他想利用该木器车间的木工和油漆工来加工完成他的订 单，就要事先考虑付给该车间每个工时的价格．他可以建立一个数学模型来研究 如何订价，才能既使木器车间觉得有利可图从而愿意替他加工这批订单、又使自 己所付的工时费用总数最少．
其对偶问题为：
min z c x s.t. Ax b
x0
max b y s.t. A y c
y0
(3-5) (3-6)
其中 A, b, c 的定义与第一章的定义相同， y y1, y2, , ym ．即：原问题求最
小化，对偶问题求最大化；原问题的约束为“ ”形式，对偶问题的约束为“ ”
形式；原问题的价值向量 c 在对偶问题中成为约束的右端项，而对偶问题的价值 向量 b 恰好是原问题约束的右端项；原问题的约束条件左端为 Ax ，而对偶问题 的约束条件左端为 A y ．这说明原问题和对偶问题在形式上恰好是对称的，故
3.1 线性规划的对偶问题
3.1.1 对偶问题的提出
下面，我们通过一个例子引出线性规划的对偶问题. 例 3-1 某家具厂木器车间生产木门与木窗两种产品. 加工木门 收入为56元/扇，加工木窗收入 30元/扇. 生产一扇木门需要木工 4 小 时、油漆工 2 小时；生产一扇木窗需要木工 3小时、油漆工1小时．该 车间每日可用木工总工时为120小时，油漆工总工时为 50 小时．试问 车间应如何安排生产才能使每日收入最大？
目标函数中变量的系数
约束条件的右端项
3.2 对偶性定理
对标准型线性规划 LP 与其对偶问题 LD ，我们有下面的基本定理，其中 这些定理同样适用于一般线性规划(3-10)和其对偶规划(3-13)．
定理 3-1（弱对偶性定理） 设 x 和 y 分别是 LP 和 LD 的可行解，则它们
的目标函数值满足不等式关系： c x b y ．
称为一对对称形式的对偶关系．
至于其他形式的LP问题，首先将原问 题化成对称形式的原问题，再依照对称形式 的对偶关系的定义写出对偶问题．根据这一 原则，可以证明：原问题与对偶问题是互为 对偶的．对于一般形式的线性规划原问题与 对偶问题在数学模型上的对应关系可归纳为 表3-1．根据这些对应关系，可由原问题的 模型直接写出对偶问题的模型．
解 令该车间每日安排生产木门 y1 扇、木窗 y2 扇，则由题意，数学模型为：
max z 56 y1 30 y2 s.t. 4 y1 3y2 120
2 y1 y2 50 y1 0, y2 0
(3-1)
用图解法或单纯形法可求得最优解为： y1 15, y2 20,
1440 (元) ．即该
车间每日安排生产木门15扇、木窗 20 扇时收入最大，为1440(元)．
解，则此时的单纯形乘子 y cBB 1 是相应于对偶问题 LD 的一个最优解． 根据此结论，我们可以从原问题的最优单纯形表中直接获得对偶问题的最优 解．因为，若在原问题 LP 的系数矩阵 A 中有一个对应于初始基本可行解的 m m 阶单位阵，则由初等变换求逆矩阵的方法，在最终单纯形表中与此初始可 行基对应位置上的 m 个系数列向量即组成最优基的逆 B 1．这样，由 y cBB 1 便可求得对偶问题的最优解．
策变量 x1 ( x2 )的系数列向量，而对偶问题第一(二)个不等式的变量系数，在原问
题中成为变量 y1 ( y2 )的系数列向量．
3.1.2 原问题与对偶问题之间的对偶关系
（1）对称形式的对偶关系
对称形式下线性规划原问题的一般形式为：
min z
n
cjxj
j1
n
s.t.
aij x j bi , i 1, 2, , m
y2 2 y3 40 3y2 2 y3 80 0, i 1, 2, 3
试应用互补松弛定理证明： y1, y2, y3
0, 20 3, 50 3 为它的最优解．
解 若把给定的线性规划问题看作对偶问题，则其原问题为
min z 60x1 s.t. 3x1 2x2
4x1 x2 2x1 2x2 xi 0, i
LD 都有最优解，且当 c x b y 时， x 和 y 分别是 LP 和 LD 的最优解．
证明：根据定理 3-1 的结论，对线性规划 LP 的任一可行解 x ，均有
c x b y．
(3-19)
这说明 LP 的目标函数在其可行域内有下界，故有有限的最小值，从而 LP 有
最优解．类似地，可以证明 LD 也有最优解．
cx x c Ay
c x (3-21)
将上述两式结合，便有 x c A y 0 成立．
充分性：因为 x 和 y 分别是 LP 和 LD 的可行解，故由(3-21)式知，
by cx x c Ay．
将其与已知条件 x c A y 0 相结合，得到 c x b y ．这样，根据弱对偶性
定理，对 LP 的任一可行解 x ，都有 c x b y c x ；而对 LD 的任一可行解 y ，
解 x 是其最优解．设 x 所对应的基为 B ，则由 2.5.1 节的分析知， x 的目标 函数值 z c x cBB 1b ，且各变量的检验数
j cj cBB 1Aj 0, j 1, 2, , n ． 取 y cBB 1 ，于是上式可化成
cj y Aj cj Aj y 0, j 1, 2, , n . 即 y 满足 LD 的约束条件 A y c ，从而 y 是 LD 的一个可行解．又
j1
x j 0, j 1, 2, , n
则其对偶问题的数学模型为：
max
m
bi yi
i1
m
s.t.
aij yi c j , j 1, 2, , n
i1
yi 0, i 1, 2, , m
其中 y1, y2, , ym 为对偶问题(3.1.4)的决策变量，称为对偶变量．
(3-3) (3-4)
若用矩阵形式来表示模型(3-3)和(3-4)，则可更清楚地看出两者之间的对称 性．原问题为：