数学建模经典问题——旅行商问题

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称X为路线T的关联向量，其m=n(n-2)/2个分量中，恰好 有个为1，其余的都为0。 图有许多Hamilton回路，设为T1, T2… Ts,，对应的关联向 量记为X1, X2… Xs ，在m维空间Rm中，考虑这些向量生成的 凸包（convex hull） Qn ：
s Q i X i i 1
1, xij 0,
若有某推销员从Biblioteka Baidu市i 到城市j 否则
则MTSP的数学模型为：
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min Z d ij xij
i 1 j 0
m
n -1
s.t.
n -1 1, 对j 1, 2, , n 1 xkj m, 对j 0 k 0 n -1 1, 对i 1, 2, , n 1 xik m, 对i 0 k 0 x 0, 1 , x 0, i, j ii ij 且不存在任何子回路
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假定收益的数学性质与相同，则最小比率TSP的 数学模型也与标准TSP类似，仅目标函数不同：
min
Z
d x ij ij i j pij xij
i j
毫无疑问，由于目标函数中的非线性因素，最 小比率TSP的求解比之标准TSP显得更为困难。
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(3) 多人TSP 若标准TSP中，出发点有多个推销员同时出发，各自行 走不同的路线，使得所有的城市都至少被访问过一次，然后 返回出发点，要求所有推销员的总行程最短，则问题就成为 一个多人的旅行商问题（简记MTSP）。 令决策变量
当dij=dji (i, j∈V) 时，问题被称为对称型TSP，否 则称为非对称型TSP。 若对所有1≤i, j, k≤n ，有不等式dij + djk ≥ dik成 立，则问题被称为是满足三角形不等式的，简称为 ΔTSP。
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2. 扩展TSP (1) 瓶颈TSP 瓶颈问题是最早从TSP延伸出来的一种扩展型 TSP，其含义与经典的TSP类似，仅目标不同，要 求巡回路线中经过的最长距离最短，即最小化瓶颈 距离。该情形体现了那些并不追求总巡回路线最短， 而只希望在巡回路线中每次从一个地点至另一个地 点的单次行程尽可能短的实际应用问题的特征。
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TSP在图论意义下又常常被称为最小Hamilton圈问题， Euler等人最早研究了该问题的雏形，后来由英国的 Hamilton爵士作为一个悬赏问题而提出。但这个能让普通人 在几分钟内就可理解的游戏之作，却延续至今仍未能完全解 决，成了一个世界难题。 TSP有着明显的实际意义，如，邮局里负责到各信箱开 箱取信的邮递员，以及去各分局送邮件的汽车等，都会遇到 类似的问题。有趣的是，还有一些问题表面上看似乎与TSP 无关，而实质上却可以归结为TSP来求解。已经证明，TSP 是个NP难题，除非P = NP，否则不存在有效算法。
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§7-2 求解算法
一、下界和上界算法 1. 下界 （1）下界b1和b2 针对TSP对应图的邻接矩阵，将矩阵中每一行最小的元 素相加，就可得到一个简单的下界b1。经进一步改进，可得 到更好的下界：考虑一个TSP的完整解，在每条路径上，每 个城市都有两条邻接边，一条进，一条出，那么，如果把矩 阵中每一行最小的两个元素相加再除以2（不失一般性，可 假定图中所有距离权重都为整数），再对其结果向上取整， 就可得到一个合理的下界b2。 显然，b2≥b1，因此，一般不采用b1作为TSP的下界。
n
i 1, i 0, i 1, 2,, s i 1
s
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Qn是Rm中的一个凸多面体，称做TS多面体。 显然， Qn是有界的，其极点正好是Kn的Hamilton回 路关联向量。 研究Qn的面非常重要的，因为根据线性不等式 及凸多面体的理论， Qn一定是某一个有限线性不等 式组的解集合，或者说， Qn一定是有限多个半空间 的交。因此，如果能找出定义Qn的线性不等式组来， 就可将TSP作为一个线性规划来解。
(b) 距离矩阵
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解： 将矩阵中每一行最小的元素相加，1+3+1+3+2 = 10，即得b1=10。将矩阵中每一行最小的两个元素相 加再除以2，再对结果向上取整，即可得b2 = ((1+3) + (3+6) + (1+2) + (3+4) + (2+3))/2 = 14。
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（2）下界b3 为便于描述下界b3，先定义如下符号： T：对称TSP问题； n：结点总个数； w(i,j)：结点i与j之间距离； dmin(i, k)：与第i个结点关联的所有边中第k (k = 1, 2, 3)长边的 长度； dmin_j(i, k)：与第i个结点关联的所有边中第k (k = 1, 2, 3) 长边 的另一个结点的编号(其中一个结点编号为i)； node_ base(i)= dmin_j(i, 1)+ dmin_j(i, 2)：表示与i点关联边中长 度最短的两条边之和； C*(T)：最优回路长度；
i V j V S V , 2 S n 1
(7 1) (7 2) (7 3)
模型中，为集合中所含图的顶点数。约束（ 7 － 1 ） 和（7－2）意味着对每个点而言，仅有一条边进和一条 边出；约束（7－3）则保证了没有任何子回路解的产生。 于是，满足约束（7－1）、（7－2）和（7－3）的解构 6 成了一条Hamilton回路。
i V j V S V , 2 S n 1
(7 1) (7 2) (7 3)
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min Z dij xij
i 1 j 1
n
n
s.t
n xij 1, j 1 n xij 1, i 1 xij S 1, iS jS xij 0, 1
假定原问题为对称型MTSP，V={v0,v1,…vn-1}， v0为名推销员出发点，记V‘={v01,v02,…v0m; v0,v1,…vn1} ，扩大的m-1个顶点称为“人造顶点”，其距离 矩阵也相应扩大，其中，位于出发点的m个顶点相13 互间的距离设定为∞，其他数值不变。
二、多面体理论 从上世纪70年代开始的关于算法复杂性的研究 表明，要想为TSP找到一个好的算法，也即多项式 算法，似乎是不可能的。由于推销员的每条路线可 以用一个以1开始的排列来表示，因此所有可能的 路线有条。这样，若用枚举法来解决这一问题，即 使不太大，例如n＝30，用目前最快的计算机，也 要化几百万年才能求出一条最短的路线。
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从严格的数学意义而言，瓶颈TSP（简称BTSP） 并没有降低问题的难度，也未能提供任何特殊的解决 办法。 瓶颈TSP的数学模型与标准TSP类似，仅目标函 数不同：
min Z max d ij xij
i, j V
由于目标函数为瓶颈值，故求得的最佳巡回路 线与标准TSP的往往截然不同。
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例1 已知TSP及其距离矩阵如图7－1所示，试求其下 界
1 5 3 6 7 4 2 5 9 1 3 2
8
4 3
3 1 5 8 3 6 7 9 1 5 4 2 5 7 4 3 8 9 2 3
(a) 无向图 图7－1 无向图及 距离矩阵
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(2) 最小比率TSP 最小比率TSP（简称MRTSP）是从经典TSP引 申出来的另一个变形问题，假定从一个城市走到另 一个城市可得到某种收益（记为），则MRTSP的 目标就是确定最佳行走路线，使得回路的总行程与 总收益之比最小。这种优化目标的思想类似于人们 日常生活中经常使用的费用效益比，与单纯的总行 程最短相比，往往更具实际意义。
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TS多面体研究中的一个重要问题就是寻找能导出Qn 最大面的不等式，Grotschel等人发现了一类很重要的能导 出最大面的梳子不等式，并予以了证明。此外，还有其它 能导出最大面的不等式，如团树不等式等。可见， Qn的最 大面极多，曾经计算过由梳子不等式所导出的最大面个数 如表7－1所示：
表 7－ 1
第 7章
旅行商问题
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目录
第 7章 旅行商问题
1.问题概述 2.求解算法
2.1.下界和上界算法 2.2.分支定界法 2.3.动态规划法 2.5.近似算法 2.5.竞赛题
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§7-1 问题概述
一、数学模型
1. 标准TSP 旅行商问题（简称TSP），也称货郎担问题或 旅行推销员问题，是运筹学中一个著名的问题，其 一般提法为：有一个旅行商从城市1出发，需要到 城市2、3、…、n去推销货物，最后返回城市1，若 任意两个城市间的距离已知，则该旅行商应如何选 择其最佳行走路线？
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考虑个顶点的完全图Kn ，则解TSP就相当于在 中求一条总长度最短的Hamilton回路。现在，对每 条边ej，定义一个变量xj与之对应，这样，TSP的一 条路线T，即Kn的一条Hamilton回路，就可对应一 个向量X={x1,x2,….xm}，其中，
x j 1, x j 0, 若e j T 若e j T
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于是，dmin(i, 1)代表与第i个结点关联的所有边 中最长边的长度，dmin_j(i, 1) 代表与第i个结点关联 的所有边中次长边的另一个结点编号(其中一个结点 编号为i)，第i结点的dmin(i, k)和dmin_j(i, k)可由距 离矩阵w轻易求得。 通过对下界b2进行改进，可以得出一个求对称 型TSP更好的下界b3。 在求b2的过程中，只有当与每一结点关联的边 中长度最小的两条边都出现在最优TSP回路中时， 等号才成立，下面就来分析如何提高这个下界。
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早在1954年，Dantzig等人就曾提出过一种方 法（非多项式算法），并且求出了一个42城市的 TSP最优解。到了1960年代，不少人用分支定界法 解决了许多有几十个城市的TSP。还有人提出了一 些近似方法，也解决了许多有几十个城市甚至上百 个城市的TSP（有时找到的仅是近似解）。更值得 注意的是，从1970年代中期开始，Grotschel与 Padberg等人深入研究了TS多面体的最大面 （facet），并从所得结果出发获得了一种解TSP的 新算法，可以解决一些有100多个城市的TSP，且都 在不长的时间内找到了最优解。
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记为赋权图G=(V,E)，V为顶点集，E为边集， 各顶点间的距离dij已知。设
1 , xij 0,
n n
若 i, j 在回路路径上
其他
则经典的TSP可写为如下的数学规划模型：
min Z d ij xij
i 1 j 1
s.t
n xij 1, j 1 n xij 1, i 1 xij S 1, iS jS xij 0, 1
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当然，用该方法有时会找不到TSP的最优解， 因为很可能在进行了几轮迭代后，却找不到新的不 等式。Padborg与Hong曾计算了74个TSP，其中54 个得到了最优解，其余的虽未得到最优解，却得到 了很好的下界，如果与近似方法配合，可以估计近 似解的精确程度。如，他们解过一个有313个城市 的TSP，获得一个下界41236.46，而用近似方法能 得到一条长为41349的路线，于是可估计出所得近 似解与最优解的误差不超过0.26%。
n c(n) 6 60 8 41420 10 8841970 20 30 1.5*1018 1.5*1031 50 1060 120 2*1017
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可以看出，当增大时，最大面个数增长得非常快。 在TS多面体理论的基础上，可以考虑先解TSP的松弛问 题，如果得到的最优解正好是某一条路线的关联向量，那么 就找到TSP的最优解了；否则，就设法找一些新的不等式作 为额外约束，再解新的线性规划，直至找到恰好是关联向量 的最优解。这种做法的基本思想与解整数规划的割平面法是 同一类的，Gotschel 等人曾用这种方法解过有120个城市的 TSP，所增加的不等式只有子回路消去不等式与梳子不等式 两类，在进行了13轮计算后，即解了13个线性规划后，就找 到了TSP的精确最优解，每一轮的当时计算时间仅在30秒至 2分钟之间。有趣的是，当n = 120时，仅梳子不等式就有 2*10179个，但在计算过程中，总共却只（凭经验）添加了 96个子回路消去不等式与梳子不等式。