物理竞赛4曲线运动

曲线运动
一、复习基础知识点
一、考点内容
1．运动的合成与分解。

2．曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向，且必具有加速度。

3．平抛运动；斜抛运动。

4．匀速率圆周运动、线速度和角速度、周期；圆周运动的向心力、向心加速度。

5．离心运动 二、知识结构
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⎪⎩⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨
⎧==⎩⎨
⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪
⎪⎨⎧-⎩⎨⎧⎩⎨
⎧⎩⎨
⎧应用实例
向心力、向心加速度周期、频率线速度、角速度基本概念匀速圆周运动动
做竖直上（或下）抛运竖直方向以初速度做匀速运动水平方向以初速度
斜抛运动的规律竖直方向自由落体运动水平方向匀速直线运动平抛物体运动规律平行四边形定则运动的合成与分解
分位移分速度分运动合位移合速度合运动运动的合成和分解做曲线运动的条件曲线运动的速度方向曲线运动曲线运动θθsin cos 000v v v v y x 三、复习思路
复习本单元除了掌握基础知识点外，要掌握处理问题的基本方法，如运动合成和分解的方法、平行四边形定则等；同时要学会应用基本规律处理实际问题，如运动学公式、牛顿第二定律、万有引力规律的应用；还要掌握主要物体运动形式的规律，如平抛物体运动的规律和匀速圆周运动的规律。

做好本单元的复习，应注意做好以下几点：
1．运动的合成与分解是本单元的难点，在学习中，要明确合成与分解的定则，以及实际运动或运动量的合成与分解，并了解运动的独立性和等时性。

2．小船渡河问题和绳拉物体问题都是运动的合成与分解的典型例子，分析这些问题时
要搞清运动分解的根据——效果。

通过训练，应熟练掌握。

3．对于曲线运动要搞清曲线运动瞬时速度的方向、曲线运动的条件，能按照曲线运动的形状判断合力的大体方向。

结合平抛运动和圆周运动弄清曲线运动的条件和性质。

4．在圆周运动中，要明确向心力与物体的合外力的关系。

在匀速圆周运动中，合外力就是向心力，另外对具体问题要会分析什么力提供向心力。

r m r
v
m
F 2
2
ω==是牛顿
第二定律在圆周运动中的应用。

5．从近几年高考看，本单元主要考查对平抛运动是水平方向匀速直线运动和竖直方向自由落体运动的合运动的理解。

熟练掌握运动的合成与分解，理解并掌握匀速圆周运动及重要公式，如线速度、角速度、向心力等。

考题多为主观性较强的综合性试题，考题知识覆盖面宽，一题中考查的知识点多，更多的是与电场、磁场、机械能相结合的综合题，以及与实际生活、新科技、新能源等相结合的应用性题型，在学习过程中要加强本单元知识的综合及应用题训练。

基础题
1．平抛物体的运动规律可以概括为两点：（1）水平方向做匀速运动；（2）竖直方向做自由落体运动。

为了研究平抛物体的运动，可做下面的实验：如图所示，用小锤打击弹性金属片，A 球就水平飞出，同时B 球被松开，做自由落体运动，两球同时
落到地面。

这个实验：
A 、只能说明上述规律中的第（1）条
B 、只能说明上述规律中的第（2）条
C 、不能说明上述规律中的任何一条
D 、能同时说明上述两条规律
2．一物体由静止开始自由下落一小段时间后突然受一恒定的水平风力的影响，则其运动轨迹可能的情况是图中的：
3．甲、乙两物体做匀速圆周运动，其质量之比为1：2，转动半径之比为1：2，在相等
时间里甲转过600，乙转过450
，则它们所受合外力之比为：
A 、1：4
B 、2：3
C 、4：9
D 、9：16
4．排球场总长18m ，网高2．25 m ，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3m 线正上方被我方运动员后排强攻击回。

假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。

（g 取10m/s 2）
（1）若击球的高度h ＝2．5m ，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？ （2）若运动员仍从3m 线处起跳，起跳高度h 满足一定条件
时，会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界，试 求h 满足的条件。

二、从高考到初赛要求知识要点分析
一、运动的合成与分解
1、标量和矢量
标量的运算遵守代数法则如加、减、乘、除等。

而矢量的运算不能用上述法则。

中学常用的矢量运算是所谓矢量的合成与分解，这种运算都遵守平行四边形定则（或三角形法则）。

当矢量在一条直线上合成和分解时，规定正方向后，可转化为代数运算。

2.运动的合成
由已知的分运动求其合运动叫运动的合成．这既可能是一个实际问题，即确有一个物体同时参与几个分运动而存在合运动；又可能是一种思维方法，即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的运动合成的，通过对简单分运动的处理，来得到对于复杂运动所需的结果．
描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量，运动的合成应遵循矢量运算的法则：（1）如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算．
（2）如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则．
3．合运动的性质取决于分运动的情况:
①两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动．
②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动，二者共线时，为匀变速直线运动，二者不共线时，为匀变速曲线运动。

③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当合运动的初速度与合运动的加速度共线时为匀变速直线运动，当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。

3、运动的分解
1．已知合运动求分运动叫运动的分解．
2．运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则．
3．将速度正交分解为v x＝vcosα和v y=vsinα是常用的处理方法．
4．速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，常用的思想方法有两种：一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；另一种思想方法是先确定合运动的速度方向（物体的实际运动方向就是合速度的方向），然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．
4、合运动与分运动的特征：
（1）等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等．
（2)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响．
(3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系，不能并存；
(4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。

【例1】如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以2
d H t
=- (SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高
2
度)规律变化，则物体做
(A)速度大小不变的曲线运动．
(B)速度大小增加的曲线运动．
(C)加速度大小方向均不变的曲线运动．
(D)加速度大小方向均变化的曲线运动．答案：B C
5、物体做曲线运动的条件
1．曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线；曲线运动的速度方向是该点的切线方向；曲线运动速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动．
2．物体做一般曲线运动的条件：运动物体所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直线上（即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π的夹角）． 说明：当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小。

3.重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向都不变的曲线运动，叫匀变曲线运动，如
、运动的合成与分解的应用
合运动与分运动的关系：满足等时性与独立性．即各个分运动是独立进行的，不受其他运动的影响，合运动和各个分运动经历的时间相等，讨论某一运动过程的时间，往往可直接分析某一分运动得出．
【例2】小船从甲地顺水到乙地用时t 1，返回时逆水行舟用时t 2，若水不流动完成往返用时t 3，设船速率与水流速率均不变，则（ ）
A ．t 3＞t 1＋t 2 ；
B ．t 3＝t 1＋t 2；
C ．t 3＜t 1＋t 2 ；
D ．条件不足，无法判断
解析：设船的速度为V ，水的速度为v 0，
则1
2
3
2,,,S S S
t t t V v V v V ===+-20
2212v V VS t t -=+因此 2
2S v V V
=
-
<
，V
S 2故选C
【例3】如图所示，A 、B 两直杆交角为600，交点为M ，若两杆
各以垂直于自身的速度V 1、V 2沿着纸面运动，V 1= V 2=1m/s ，则交点M 的速度为多大？
解析：如图所示，若B 杆不动，A 杆以V 1速度运动，交点将沿B 杆移动，速度为V /1，V /1=V 1／sin θ．若A 杆不动，B 杆移动时，
交点M 将沿A 杆移动，速度为V /2，V /
2
=V 2
／sin θ．两杆一起移动
时，交点M 的速度v M 可看成两个分速度V /1和V /2的合速度，故v M
的大小为
v M =()θ--+0/2/12/22/1180cos 2v v v v =θθsin /cos 2212221v v v v -+=3/2 m ／s
【例4】玻璃板生产线上，宽9m 的成型玻璃板以43m ／s 的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为8m ／s ，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割一次的时间多长？
解析：要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直v ，如图 设v 刀与v 玻方向夹角为θ，cos θ=v 玻/v 刀=43/8，则θ=300。

v=
2
2玻
刀
v v -=
48
64-=4m/s 。

时间t=s/v=9/4=2.45s
【例5】如图所示的装置中，物体A 、B 的质量m A ＞m B 。

最初，滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向，若用水平力F 向右拉A ，起动后，使B 匀速上升。

设水平地面对A 的摩擦力为f,绳对A 的拉力为T ，则
力f,T 及A 所受合力F 合的大小（ ） A.F 合≠O,f 减小，T 增大； B.F 合≠O,f 增大，T 不变； C. F 合＝O,f 增大，T 减小； D. F 合＝O,f 减小，T 增大；
分析:显然此题不能整体分析。

B 物体匀速上升为平衡状态，
所受的绳拉力T 恒等于自身的重力，保持不变。

A 物体水平运动， 其速度可分解为沿绳长方向的速度（大小时刻等于B 物体的速度） 和垂直于绳长的速度（与B 物体的速度无关），写出A 物体速度与B 物体速度的关系式，可以判断是否匀速，从而判断合力是否为零。

解：隔离B 物体：T=m B g ，保持不变。

隔离A 物体：受力分析如图所示，设绳与水平线夹角为θ，则：
①随A 物体右移，θ变小，由竖直平衡可以判断支持力变大。

由f=μN ，得f 变大。

②将A 物体水平运动分解如图所示，有v B ＝v A cos θ，故随θ变小，cos θ变大，V B 不变，V A 变小，A 物体速度时时改变，必有F 合≠O 。

所得结论为：F 合≠O ，f 变大，T 不变。

B 项正确。

【例6】如图所示，A 、B 两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A 物体以速度v 向左运动时，系A,B 的绳分别与水平方向成a 、β角，此时B 物体的速度大小为 ，方向水平向右
解析：根据A,B 两物体的运动情况，将两物体此时的速度
v 和v B 分别分解为两个分速度v 1（沿绳的分量） 和v 2（垂直绳的分量）以及v B1（沿绳的分量） 和v B2（垂直绳的分量），如图，由于两物体沿绳 的速度分量相等，v 1＝v B1，vcos α＝v B cos β. 则B 物体的速度方向水平向右，其大小为cos cos B
v
v
αβ
=
【例7】一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V 0匀速运动。

在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。

当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。

解析：设竖直杆运动的速度为V 1，方向竖直向上，
由于弹力方向沿OP 方向，所以V 0、V 1在OP 方向的投影相等，即有
θθcos sin 10V V =，解得V 1=V 0.tg θ.
2、小船渡河问题分析
【例8】一条宽度为L 的河，水流速度为v s ，已知船在静水中的航速为v c ，那么，（1）怎样渡河时间最短？（2）若v s ＜v c 怎样渡河位移最小？（3）若v s ＞v c ，怎样渡河船漂下的距离最短？ 分析与解：（1）如图2甲所
示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在
垂直于河岸方向的速度分量V 1=V c sin θ,渡河所需时间为：θsin c V L
t =.可以看出：
L 、V c 一定时，t 随sin θ增大而减小；当θ=900
时，sin θ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，c
V L t =
min .
(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。

为了使渡河位移等于L ，必须使船的合速度V 的方向与河岸垂直。

这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。

根据三角函数关系有：V c cos θ─V s =0.
所以θ=arccosV s /V c ,因为0≤cos θ≤1,所以只有在V c >V s 时，船才有可能垂直于河岸横渡。

（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。

怎样才能使漂下的距离最短呢？
如图2丙所示，设船头V c 与河岸成θ角，合速度V 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以V s 的矢尖为圆心，以V c 为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，根据cos θ=V c /V s ,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosV c /V s .
船漂的最短距离为：θ
θsin )cos (min c c s V L V V x -=.
此时渡河的最短位移为：L V V L s c
s ==
θ
cos .
思考：①小船渡河过程中参与了哪两种运动？这两种运动有何关系？ ②过河的最短时间和最短位移分别决定于什么？
二、抛体运动
将质点以一定的初速度抛出后，只在重力作用下的运动叫做抛体运动，可分为以下几种：
1．自由落体运动以及竖直上抛运动。

（轨迹为直线，我们在第二部分的讲义中有详尽的分析，在此不再讲解！）
2．平抛物体的运动：将物体沿水平方向抛出，其运动为平抛运动．
（1）运动特点：a 、只受重力；b 、初速度与重力垂直．尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g ，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动
（2）平抛运动的处理方法：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．
2 图2甲
图2乙
（3）平抛运动的规律：以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建成立坐标。

a x =0……① a y =0……④
水平方向 v x =v 0 ……② 竖直方向 v y =gt ……⑤
x=v 0t ……③ y=½gt 2……⑥
①平抛物体在时间t 内的位移S 可由③⑤两式推得s=()
2
2
2
02
1⎪⎭
⎫ ⎝⎛+gt t v =
2
24042
t
g v t +，
②位移的方向与水平方向的夹角α由下式决定
tg α=y/x=½gt 2
/v 0t=gt/2v 0
③平抛物体经时间t 时的瞬时速度v t 可由②⑤两式推得v t =()22
0gt v +，
④速度v t 的方向与水平方向的夹角β可由下式决定tg β=v y /v x =gt/v 0 ⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间t 而推得：y=20
2v g
·x 2， 可见，平抛物
体运动的轨迹是一条抛物线．
⑥运动时间由高度决定，与v 0无关，所以t=
g
h /2，水平距离x ＝v 0t ＝v 0
g
h /2
⑦Δt 时间内速度改变量相等，即△v ＝g Δt ，ΔV 方向是竖直向下的．说明平抛运动是匀变速曲线运动．
（4）处理平抛物体的运动时应注意： ① 水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一个分运动的存在而受到影响——即垂直不相干关系；
② 水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性，运动时间由高度决定，与v 0无关； ③ 末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹
角，由上证明可知tg β=2tg α
【例1】 物块从光滑曲面上的P 点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q 点，若传送带的皮带
轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图1－16所示，再把物块放到P 点自由滑下则
A.物块将仍落在Q 点
B.物块将会落在Q 点的左边
C.物块将会落在Q 点的右边
D.物块有可能落不到地面上
解答:物块从斜面滑下来，当传送带静止时，在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力，物块将做匀减速运动。

离开传送带时做平抛运动。

当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是向前运动，受到滑动摩擦力方向与运动方向相反。

物体做匀减速运动，离开传送带时，也做平抛运动，且与传送带不动时的抛出速度相同，故落在Q 点，所以A 选项正确。

【小结】若此题中传送带顺时针转动，物块相对传送带的运动情况就应讨论了。

（1）当v 0=v B 物块滑到底的速度等于传送带速度，没有摩擦力作用，物块做匀速运动，离开传送带做平抛的初速度比传送带不动时的大，水平位移也大，所以落在Q 点的右边。

（2）当v 0＞v B 物块滑到底速度小于传送带的速度，有两种情况，一是物块始终做匀加速运动，二是物块先做加速运动，当物块速度等于传送带的速度时，物体做匀速运动。

这两种情况落点都在Q 点右边。

（3）v 0＜v B 当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度，有两种情况，一是物块一直减速，二是先减速后匀速。

第一种落在Q 点，第二种落在Q 点的右边。

、平抛运动的分析方法
水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．其运动规
律有两部分：一部分是速度规律，一部分是位移规律．对具体的
平抛运动，关键是分析出问题中是与位移规律有关还是与速度规
律有关 【例2】如图在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度V 0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空气阻力不计，求 （1）小球从A 运动到B 处所需的时间； （2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？
解析：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从
球从A 运动到B 处所需的时间为t,则：水平位移为x=V 0t
竖直位移为y=2
2
1gt , 由数学关系得到:
g
V t t V gt
θ
θtan 2,tan )(2
1002
=
=
（2）从抛出开始计时，经过t 1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行
时，小球离斜面的距离达到最大。

因V y1=gt 1=V 0tan θ,所以g
V t θ
tan 01=
【例3】 已知方格边长a 和闪光照相的频闪间隔T ，求：v 0、g 、v c 解：水平方向：T
a v 20= 竖直方向：22,T
a g gT s =∴=∆
先求C 点的水平分速度v x 和竖直分速度v y ，再求合速度v C ：
412,25,20T
a v T
a v T a v v c y x =
∴=
=
=
【例4】如图所示，一高度为h=0.2m 的水平面在A 点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V 0=5m/s 的速度在平面上向右运动。

求小球从A 点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s 2）。

某同学对此题的解法为：小球沿斜面
运动，则2
1sin ,sin 2h V t g t θθ=+⋅由此可求得落地的时间t 。

问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的
时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。

解析：不同意。

小球应在A 点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。

正确做法为：落地点与A 点的水平距离0
51()
s V t V
m ===⨯
=
斜面底宽 0.20.35()l hctg m θ===
因为l s >,所以小球离开A 点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。

∴ 0.2()
t s =
=
图8
2、平抛运动的速度变化和重要推论
①水平方向分速度保持v x =v 0.竖直方向，加速度恒为g,速度
v y =gt,从抛出点起，每隔Δt 时间的速度的矢量关系 如图所示．这一矢量关系有两个特点：
(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v 0;
(2)任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量均竖直向下， 且Δv=Δv y =g Δt.
②平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的
反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点 的距离都等于水平位移的一半。

证明：设时间t 内物体的水平位移为s ，
竖直位移为h ，则末速度的水平分量v x =v 0=s/t ， 而竖直分量v y =2h/t ，
s
h v v 2tan x
y ==
α，
所以有2
tan s h s ==
'α
【例5】从倾角为θ=30°的斜面顶端以初动能E =6J 向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E /为______J 。

解：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD ，可以证明末速度v t 的反向延长线必然交AB 于其中点O ，由图中可知AD ∶AO =2∶3，由相似形可知v t ∶v 0=7∶3，因此很容易可以得出结论：E /=14J 。

3、平抛运动的拓展（类平抛运动）
【例7】如图所示，光滑斜面长为a ，宽为b ，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P 水平射入，而从右下方顶点Q 离开斜面，求入射初速度．
解析：物块在垂直于斜面方向没有运动，物块沿斜面方向上的曲线运动可分解为水平方向上初速度v 0的匀速直线运动和沿斜面向下初速度为零的匀加速运动．
在沿斜面方向上mgsin θ=ma 加 a 加＝gsin θ………①，
水平方向上的位移s=a=v 0t ……②， 沿斜面向下的位移y=b=½ a 加t 2……③，
v t
v x /
【例8】从高H 处的A 点水平抛出一个物体，其水平射程为2s 。

若在A 点正上方高H 的B 点抛出另一个物体，其水平射程为s 。

已知两物体的运动轨迹在同一竖直平面内，且都从同一竖屏M 的顶端擦过，如图所示，求屏M 的高度h ？
分析：思路1：平抛运动水平位移与两个因素有关：初速大小和抛出高度，分别写出水平位移公式，相比可得初速之比，设出屏M 的顶端到各抛出点的高度，分别写出与之相应的竖直位移公式，将各自时间用水平位移和初速表示，解方程即可。

思路2：两点水平抛出，轨迹均为抛物线，将“都从同一竖屏M 的顶端擦过”转化为数学条件：两条抛物线均过同一点。

按解析几何方法求解。

解析:画出各自轨迹示意图
法一:由平抛运动规律根据题意得
2s=V A t A …①，s=V B t B ……②，H=½gt A 2…③, 2H=½gt B 2……④
可得:,2
A
B A B
t
v =
=,又设各自经过时间t 1、t 2从屏M
的顶端擦过，则在竖直方向上有H －h=½gt 12，2H －h=½gt 22， 在水平方向上有x=v A t 1=v B t 2，由以上三式解得h=6H/7。

法二：由平抛运动规律可得抛物线方程2
2g y
x
v
=
，依题意有
y A =H －h ，y B =2H －h 时所对应的x 值相同，将（x ，y A ）（x ，y B ）分别代入各自的抛物线方程联立求出h=6H/7。

三、圆周运动的应用
1.圆周运动中的临界问题的分析方法
首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值． 2.特例（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖
直平面做圆周运动过最高点的情况：
注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好
转不过的速度）
注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v ＝0时，N ＝mg （N 为支持力） ②当 0＜v ＜Rg
时， N 随v 增大而减小，且mg ＞N ＞0，N 为支持力．
③当v=
Rg
时，N ＝0
④ 当v ＞Rg
时，N 为拉力，N 随
v 的增大而增大（此时N 为拉力，方向指向圆心）
注意：管壁支撑情况与杆子一样 若是图（b ）的小球，此时将脱
离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力．
（二）“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系
（1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动，所以质点在做变速运动，处于非平衡状态。

(2）物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态。

对于物体上
，则均在做匀速圆周运动。

1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程
【例1】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO /
旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m 的物块A ，设弹簧劲度系数为k ，弹簧原长为L 。

将物块置于离圆心
R 处，R ＞L ，圆盘不动，物块保持静止。

现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A 相对圆盘始终未惰动。

当ω增大到ω
=
时，物块A 是否受到
圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。

【解析］对物块A ，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω0，此时向心力仅为弹簧弹力；若ω＞ω0，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若ω＜ω0，则需要较小的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。

依向心力公
式有m ω02R=k(R －L)，所以
ω
=
，故
ω=
,得ω＞ω0。

可见物块所受静摩擦力指向圆心。

【例2】如图所示，赛车在水平赛道上作900转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r 1和r 2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？
分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为v m 。

转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到v m 。

车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定． 对于外车道，设其走弯路时所允许的
最大车速为v 2
，则应有mv 22
/r 2=μmg 解得v 2= 如图所示，设车自M 点开始减速，至N 点其速度减为v 2，且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=μmg/m=μg
此减速过程中行驶的路径长度（即MN 的长度）为x 2=
a
v v m 22
2
2-=
g
v m μ
22
－
22
r
车沿弯道到达A 点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为x 2的路程上加速，才能达到速度v
m 。

上述过程所用的总时间为。