九年级《图形的相似》知识点归纳
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2
AC BC 0.618 AB ．即
AB AC
5 1 简记为： 长 ＝ 短 ＝ 5 1
2
全长 2
注： ①黄金三角形：顶角是 360 的等腰三角形
②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
ac
（ 3）合、分比性质：
bd
ab cd
．
b
d
注： 实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
得平行线）构造相似三角形或比例线段。
知识点 8 相似多边形的性质
(1) 相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比． (2) 相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比． (3) 相似多边形面积比等于相似比的平方． 注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和 关键．
（ 1）定义： 在四条线段 a, b, c, d 中，如果 a和 b的比等于 c和d 的比，那么这四条线段 a,b,c, d 叫做 成比例
线段 ，简称比例线段． 注 ：①比例线段是有顺序的，如果说
a 是 b, c, d 的第四比例项，那么应得比例式为：
②a c bd
a b ，(交换内项 ) cd
dc ，(交换外项 )
BD
C
(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2) 相似三角形周长的比等于相似比． (3) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知识点 6 相似三角形的几种基本图形：
（ 1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“ A 型”与“ X 型”图）
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等
三边对应成比例 “斜边和一直角边对应成比例”
（ 3）射影定理：
如图， Rt △ ABC 中，∠ BAC=90°， AD 是斜边 BC上的高，
则
∽
2
＝＝＞ AD =BD· DC，
A
∽
＝＝＞ AB 2=BD· BC ，
∽
＝＝＞ AC 2=CD· BC .
知识点 5 相似三角形的性质
一条直线上 ) ，则需要进行“转移” ( 或“替换” ) ，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代
换、等积代换 .
即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。
(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线
( 通常是添加平行线 ) 构成
比例 .
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为 1 的相似三角形．
（2）三角形相似的判定方法
1 、平行法：（上图）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原
三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为： 两角对应相等，两三角形相似．
(2) 找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且
这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后
由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论
.
(3) 找中间比：若没有三角形 ( 即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同
3、判定定理 2：简述为： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ．
4 、判定定理 3：简述为： 三边对应成比例，两三角形相似 ．
5、判定定理 4：直角三角形中， “斜边和一直角边对应成比例”
全等与相似的比较：
三角形全等Βιβλιοθήκη Baidu
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
知识点 9 位似图形有关的概念与性质
（ 1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
苏科版九下《图形的相似》知识点归纳
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
ba dc
发生同样和差变化比例仍成立．如：
ac bd
a
c 等等．
ab cd
a b cd
a
（ 4）等比性质：如果
b
那么 a b
ce df ce df
m (b d f n
m a． nb
n 0) ，
A
D
B
E
C
F
知识点 3 比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条直线 , 所截得的对应线段成比例 . 已知 AD∥BE∥ CF,
可得 AB DE或 AB DE或 BC EF 或 BC EF 或 AB BC EF AC DF AB DE AC DF DE
特别在三角形中：
由 DE∥ BC可得： AD
AE BD 或
EC AD 或
AE
DB EC AD EA AB AC
BC
等.
EF
A
D
E
B
C
知识点 4 相似三角形的概念
（ 1）定义： 对应角相等， 对应边成比例的三角形， 叫做相似三角形． 相似用符号 “∽”表示，读作“相似于” ．相 似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注： ①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上
A
E
D
A
D
E
C
B
(1)
B
C
(3)
(2) 如图：其中∠ 1=∠ 2，则△ ADE∽△ ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反 A 共角型”、 “反 A 共角共边型”、 “蝶型”）
(3) 一线三等角的变形 : （ K 字型相似）
知识点 7 等积式证明题常用方法归纳：
(1) 总体思路 : “等积”变“比例” ，“比例”找“相似”
ba
核心内容： ad bc
d b ．(同时交换内外项 ) ca
bd
．
ca
（ 2 ）黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC, BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB和BC 的比例中项，即
AC 2 AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC
51 AB ≈
AC BC 0.618 AB ．即
AB AC
5 1 简记为： 长 ＝ 短 ＝ 5 1
2
全长 2
注： ①黄金三角形：顶角是 360 的等腰三角形
②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
ac
（ 3）合、分比性质：
bd
ab cd
．
b
d
注： 实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
得平行线）构造相似三角形或比例线段。
知识点 8 相似多边形的性质
(1) 相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比． (2) 相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比． (3) 相似多边形面积比等于相似比的平方． 注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和 关键．
（ 1）定义： 在四条线段 a, b, c, d 中，如果 a和 b的比等于 c和d 的比，那么这四条线段 a,b,c, d 叫做 成比例
线段 ，简称比例线段． 注 ：①比例线段是有顺序的，如果说
a 是 b, c, d 的第四比例项，那么应得比例式为：
②a c bd
a b ，(交换内项 ) cd
dc ，(交换外项 )
BD
C
(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2) 相似三角形周长的比等于相似比． (3) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知识点 6 相似三角形的几种基本图形：
（ 1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“ A 型”与“ X 型”图）
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等
三边对应成比例 “斜边和一直角边对应成比例”
（ 3）射影定理：
如图， Rt △ ABC 中，∠ BAC=90°， AD 是斜边 BC上的高，
则
∽
2
＝＝＞ AD =BD· DC，
A
∽
＝＝＞ AB 2=BD· BC ，
∽
＝＝＞ AC 2=CD· BC .
知识点 5 相似三角形的性质
一条直线上 ) ，则需要进行“转移” ( 或“替换” ) ，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代
换、等积代换 .
即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。
(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线
( 通常是添加平行线 ) 构成
比例 .
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为 1 的相似三角形．
（2）三角形相似的判定方法
1 、平行法：（上图）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原
三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为： 两角对应相等，两三角形相似．
(2) 找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且
这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后
由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论
.
(3) 找中间比：若没有三角形 ( 即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同
3、判定定理 2：简述为： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ．
4 、判定定理 3：简述为： 三边对应成比例，两三角形相似 ．
5、判定定理 4：直角三角形中， “斜边和一直角边对应成比例”
全等与相似的比较：
三角形全等Βιβλιοθήκη Baidu
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
知识点 9 位似图形有关的概念与性质
（ 1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
苏科版九下《图形的相似》知识点归纳
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
ba dc
发生同样和差变化比例仍成立．如：
ac bd
a
c 等等．
ab cd
a b cd
a
（ 4）等比性质：如果
b
那么 a b
ce df ce df
m (b d f n
m a． nb
n 0) ，
A
D
B
E
C
F
知识点 3 比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条直线 , 所截得的对应线段成比例 . 已知 AD∥BE∥ CF,
可得 AB DE或 AB DE或 BC EF 或 BC EF 或 AB BC EF AC DF AB DE AC DF DE
特别在三角形中：
由 DE∥ BC可得： AD
AE BD 或
EC AD 或
AE
DB EC AD EA AB AC
BC
等.
EF
A
D
E
B
C
知识点 4 相似三角形的概念
（ 1）定义： 对应角相等， 对应边成比例的三角形， 叫做相似三角形． 相似用符号 “∽”表示，读作“相似于” ．相 似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注： ①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上
A
E
D
A
D
E
C
B
(1)
B
C
(3)
(2) 如图：其中∠ 1=∠ 2，则△ ADE∽△ ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反 A 共角型”、 “反 A 共角共边型”、 “蝶型”）
(3) 一线三等角的变形 : （ K 字型相似）
知识点 7 等积式证明题常用方法归纳：
(1) 总体思路 : “等积”变“比例” ，“比例”找“相似”
ba
核心内容： ad bc
d b ．(同时交换内外项 ) ca
bd
．
ca
（ 2 ）黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC, BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB和BC 的比例中项，即
AC 2 AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC
51 AB ≈