第三节 几何概型(复习课)

变式探究
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4.有一杯2升水中含有一个细菌，有一个小杯从这杯水中取出 0.3升水，则小杯中含有这种细菌的概率是___________
解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为 150°- 45°- 75°= 30°，30/150=1/5
答案：1/5
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甲乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共 汽车，在这段时间内有4班公共汽车，它的开车时刻分别为 1∶15,1∶30,1∶45,2∶00，如果他们约定：(1)见车就乘；(2)最 多等一辆车.求甲、乙同乘一辆车的概率.假定甲、乙两人到达 车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻 到达车站是等可能的.
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在②中，必须满足:如果甲在1∶00~1∶15到达，乙就在
1∶15~1∶30到达，如果甲在1∶15~1∶30到达，乙就在
1∶30~1∶45到达，如果甲在1∶30~1∶45到达，乙就在
1∶45~2∶00到达，如图(乙)阴影部分面积3×1/16.
综上，代入公式
P(B)
1
3
1 16
2
5
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8
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（2009年苍山期末测试）已知关于x的一元二次函
数f（x）=ax2-4bx+1.
（1）设集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4}分别从集合P和Q中随机
取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增
函数的概率；
x y 8 0
2）设点（a,b）是区域
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与体积有关的几何概型的求法
在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子， 从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10 毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有 结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率. 解析:取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A， 则P(A)=取出的种子体积/所有种子的体积=10/1000=0.01. 答：取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.
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1.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，几何概型适用 于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型. 2.使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件： 每个事件发生的概率只与构成该事件的几何图形的几何度量 （长度、面积或体积）成比例；几何概型主要用于解决与长度、 面积、体积有关的概率题目. 3.用几何概型计算事件的概率时，关键是要构造出随机事件对 应的几何图形，利用几何图形的几何度量（长度、面积或体积） 来求随机事件的概率.
x
0
y 0
内的随机点，求函数y=f
（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率.
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解析（1）∵函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=2a/b，要使 f(x)=ax2-4bx+1在区间［1，+∞）上为增函数， 当且仅当a>0且2b/a≤1,即2b≤a. 若a=1,则b=-1, 若a=2,则b=-1,1, 若a=3,则b=-1,1, ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5. ∴所求事件的概率为5/15=1/3.
解析:以O为起点的射线OA是随机的，因而射线
OA落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT内的概
率只与∠xOT的大小有关，所以符合几何概型的条
件.记事件B为“射线OA落在∠xOT内”，因为
∠xOT=60°
P（B）=60/360=1/6.
点评：关键是弄清过O的射线OA可以在平面内任意作，而且 是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的
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（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)=ax2-4bx+1在
区间［1,+∞
a b 8 0
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 a 0
构成所求事件的区域为三角形部分.
b 0
由
a b 8 0,
b
a 2
,
得交点坐标为(16/3, 8/3)
∴所求事件的概率为
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1.两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求 灯与两端距离都大于2 m的概率.
解析:记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A，则P(A)= 2/6=1/3
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与角度有关的几何概型的求法
如右图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上， 任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率.
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x y 2 0
2.（2009年滨州一模）在区域,
x
y
20
y
0
内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为（
A.π/2
B.π/8
C.π/6
D.π/4
解析：区域为△ABC
P S半圆 =
2
SABC 1 2 2
2
= .
24
答案是：D
祝
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0 x 24 0 y 24 y x 4或x-y 2
P(B)
1 20 20 2
1 2
22 22
442
221
24 24
576 288
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3.一海豚在水池中自由游弋，水池长为30 m，宽20 m的长方形， 求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.
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4.在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交AB于P， 则同时满足：∠AOP≥45°且∠BOP≥75°的概率为_______
解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为 150°-45°-75°=30°，30/150=1/5. 答案：1/5
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课堂互动探究
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解析:对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图 形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如右图，区域 Ω是长30m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海 豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在 下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600 （m2），阴影A 30×20-26×16=184（m2 即P(A)=184/600=23/75≈0.31.
解析：设x,y分别表示甲乙两人到达的时刻，则样本空间Ω为 1≤x≤2,1≤y≤2,满足这些条件的图形为图(甲)中大正方形， 其面积SΩ=(2-1)2=1.
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(1)设“甲、乙见车就乘，同乘一辆车”为事件A，则事件A 发生的情形必须满足甲乙两人在同一时间段(1∶00~1∶15或 1∶15~1∶30或1∶30~1∶45或1∶45~2∶00)等车，则满足 事件A的图形如图(甲)阴影部分，其面积4×(1/4)2=1/4代入公式 得P(A)=0.25. (2)设“甲、乙最多等一辆车，同乘一辆车”的事件为B，这又 分三种情况：①见车就乘的情况(已在(1)中求出)；②甲先到达 等一辆车，与乙同乘一辆车(如图(乙))；③乙先到达等一辆车， 与甲同乘一辆车(这类似于②).
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2.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，OD， 求使得∠AOD和∠BOC都不小于30°的概率.
解析：如右图，设事件A是“作射线OC，OD使 ∠AOD和∠BOC都不小于30°”
A =90°-30°-30°=30°， =90°，由几何
P( A) A 30 1 90 3
解析：（1）设甲、乙两船到达时间分别为x、y 则0≤x<24,0≤y<24且y-x>4或y-x<-4.
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0 x 24
0 y 24
y x 4或y x 4
2
设“两船无需等码头空出”为事件A，则P(A)=
1 20 2 24 24
20
25 36
（2）当甲船的停泊时间为4小时，两船不需要等码头空出， 则满足x-y>2或y-x>4 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区 域
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第十三章 概率与统计
第三节 几何概型
知识梳理
课前自主学案
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1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积)成正比，则这样的概率模型叫做几何概型.也就是说：事 件A为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量 (长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.满足以 上条件的试验称为几何概型. 2.在几何概型中，事件A P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果 所构成的区域长度（面积或体积）=μA/μΩ,其中μΩ表示区域Ω的 几何度量，μA表示子区域A的几何度量.
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解析: 设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打 开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的
P（A）=（60-50）/60=1/6 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
点评:在本例中，等待的时间X是随机的，可以是0到60之间的任 何一刻，并且是等可能的，我们称X服从［0,60］上的均匀分布， X为［0,60］上的均匀随机数.
基础自测
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1.（2009年福建福州）为了测算如右图阴影部分的面积，做一
个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800
个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影
部分的面积是（
A.12
B.9
C.8
D.6
解析:S阴/S正=200/800， ∴S阴=200/800×36=9.
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与面积有关的几何概型的求法
（2009年临沂高新区期末）甲、乙两艘轮船驶向一 个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达 是等可能的. （1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一
（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时， 求它们中的任何一条船不需要等码头空出的概率.
B
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2.（2009年延安1月）在长为18 cm的线段AB上任取一点M，
并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2
与81 cm2之间的概率为（
A.5/6
B.1/2
C.1/3
D. 1/6
解析：M只能在中间6 cm~9 cm之间选取，而这是一个几何 概型. 答案： D
与长度有关的几何概型的求法
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台 报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.（假定电台是整点 报时） 。
分析：假设他在0到60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等 可能的，但0到60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式 计算随机事件发生的概率.因为电台每隔1小时报时一次，他在 0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪 个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该 时间段的位置无关，因此，可以通过几何概型的求概率公式得 到事件发生的概率.
P
1 88 23 1 88
1 3
2
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题型训练 如右图所示，圆形靶子被分成面积相等的三部分，
并分别染上红色、黄色、蓝色.两人分别向靶子上投射一支飞镖， 假设一定中靶，且投中靶面上任一点都是等可能的，则两人所 投中区域的颜色不同的概率为_________
(红，红)，(红，黄)，(红，蓝)，(蓝，红)，(蓝， 黄)，(蓝，蓝)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，蓝)， 其中，满足条件的有6种结果， 所以，所求概率为：P=6/9=2/3.
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3.（2009年和平区一模）在面积为S的△ABC的边AB上任取一
点P，则△PBC的面积大于S/4的概率是（
A. 1/4
B.1/2
C.3/4
D.2/3
解析:由△ABC和△PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段
BA靠近B的四分之一点E与A
∴P的概率为AE/AB=3/4
C.
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