高考数学100个高频考点

高考数学100个高频考点
1.集合的性质：(必修1)
(1)①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；③空集是任何非空集合的真子集；
(2)研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定，互异，无序)；2.四种命题的形式及相互关系：
原命题：若P 则q ；逆命题：若q 则p ；
否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

3.函数的性质(必修1)
(1)定义域：(2)值域：
(3)奇偶性：(在整个定义域内考虑)
①定义：偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)
()(x f x f -=-
②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。

(4)函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1，x 2，⑴若当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，则说f(x)在这个区间上是增函数；
⑵若当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，则说f(x)在这个区间上是减函数。

4.二次函数的解析式的三种形式(必修1)
①一般式f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)；
②顶点式f (x )=a (x －h)2+k(a ≠0)；
③零点式f (x )=a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)。

5.设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2那么
⇔>--⇔
>--0)()(0)]()()[(21212121x x x f x f x f x f x x f (x )在[a ，b ]上是增函数；⇔<--⇔<--0)()(0)]()()[(2
1212121x x x f x f x f x f x x f (x )在[a ，b ]上是减函数。

设函数y =f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )>0，则f (x )为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )为减函数。

6.函数y =f (x )的图象的对称性:函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称⇔f (a +x )=f (a －x )⇔f (2a －x )=f (x )。

(必修1)
7.两个函数图象的对称性：(必修1)
(1)函数y =f (x )与函数y =f (－x )的图象关于直线x =0(即y 轴)对称。

(2)函数y =f (x )和y =f －1(x )的图象关于直线y =x 对称。

8.分数指数幂n m n m a a
1=-(a >0，m ，n ∈N*，且n >1)。

(必修1)分数指数幂n m
n m a 1
a =-(a >0，m ，n ∈N*，且n >1)。

9.log a N=b ⇔a b =N (a >0，a ≠1，N>0)(必修1)
10.对数的换底公式(必修1)
a
N N m m a log log log =，推论b m n b a n a m log log =11.⎩⎨⎧≥-==-2
111n s s n s a n n n ，，−≥(数列{a n }的前n 项的和为S n =a 1+a 2+…+a n )。

(必修5)
12.等差数列的通项公式a n =a 1+(n －1)d =dn +a 1－d (n ∈N *)*(必修5)
其前n 项和公式n d a n d d n n na a a n S n n )2
1(22)1(2)(1211-+=-+=+=13.等比数列的通项公式)(·1*11N n q q a q a a n n n ∈=
-=；(必修5)其前n 项的和公式⎪⎩
⎪⎨⎧=≠--=1,1,1)1(11q na q q q a S n n 14.同角三角函数的基本关系式s i n 2θ+cos 2θ=1，1cot tan ,cos sin tan =⋅=θθθ
θθ(必修4)15.和角与差角公式(必修4)
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ；
cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ；tan(α±β)β
αβ±α=tan tan 1tan tan 。

)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a
y (其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a
ϕ=).
16.二倍角公式s i n 2α=2s i nα·cosα。

(必修4)
αααcos sin 22sin =变形
12sin cos sin 2ααα=.
ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=.
变形如下：
升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2
αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩α
α
α2tan 1tan 22tan -=sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+17.三角函数的周期公式函数y =s i n(ωx +ϕ)，x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ)，x ∈R(A ，ω，ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期ω
π=2T ；函数)x tan(y ϕ+ω=，Z k 2k x ∈π+π≠，(A ，ω，ϕ为常数，且A≠0，0>ω)的周期ω
π=T 。

(注意ω小于0的函数周期的求法)(必修4)
18.正弦定理R 2C sin c B sin b A sin a ===。

(必修5)
19.余弦定理a 2=b 2+c 2−2bc cosA ；b 2=c 2+a 2−2ca cosB ；c 2=a 2+b 2−2ab cosC 。

(必修5)20.面积定理(必修5)
(1)c b a ch 2
1
bh 21ah 21S ===(c b a h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高)。

(2)B sin ca 21A sin bc 21C sin ab 21S ===。

21.三角形内角和定理在△ABC 中，有
)B A (22C 22B A 22C )B A (C C B A +-π=⇔+-π=⇔
+-π=⇔π=++。

22.平面两点间的距离公式
212212)()(||y y x x AB AB AB d B A -+-=→⋅→=→=，(A(11y x ，)，B(22y x ，))。

23.向量的平行与垂直设)()(2211y x b y x a ，，，==，且b ≠0，则(必修4)
0)0(0
//21211221=+⇔=⋅⇔≠⊥=-⇔λ=⇔y y x x b a a b a y x y x a b b a 24.线段的定比分公式设)()()(222111y x P y x P y x P ，，，，，是线段P 1P 2的分点，λ是实数，且→
→λ=21PP P P ，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x 25.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为)()(2211y x B y x A ，、，、)(33y x C ，，则△ABC 的重心的坐标是3
3(321321y y y x x x G ++++，。

26.点的平移公式→+→=→⇔⎩
⎨⎧-=-=⇔⎩⎨⎧+=+=''''''PP OP OP k y y h x x k y y h x x (图形F 上的任意一点P(x ，y )在平移后图形'F 上的对应点为)''('y x P ，，且→
'PP 的坐标为(h ，k ))。

27.常用不等式：
(1)a ，b ∈R ⇒a 2+b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号)。

(2)a ，b ∈R +ab 2b a ≥+⇒(当且仅当a =b 时取“=”号)。

(3)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0，b >0，c >0)。

(4)柯西不等式R d c b a bd ac d c b a ∈+≥++，，，，22222)())((。

(5)|
|||||||||b a b a b a +≤+≤-28.极值定理已知x ，y 都是正数，则有
(1)如果积xy 是定值p ，那么当x =y 时和x +y 有最小值p 2；
(2)如果和x +y 是定值s ，那么当x =y 时积xy 有最大值2s 4
1。

29.一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或<0)(a ≠0，Δ=b 2−4ac >0)，如果a 与ax 2+bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2+bx +c
异号，则其解集在两根之间。

简
言之：同号两根之外，异号两根之间。

)(0)(21121x x x x x x x <<-⇔<<；
1x x <，或)
(0))((21212x x x x x x x x <>--⇔>30.含有绝对值的不等式当a >0时，有
a
x a a x a x <<-⇔<⇔<22||a x a x a x >⇔>⇔>22||或a x -<。

31.无理不等式(1)⎪⎩
⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f (2)⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]
([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或(3)
⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 32.指数不等式与对数不等式
(1)当a >1时，)()()()(x g x f a a x g x f >⇔>；⎪⎩
⎪⎨⎧>>>⇔>)()(0)(0)()(log )(log x g x f x g x f x g x f a a (2)当0<a <1时，)()()
()(x g x f a a x g x f <⇔>；⎪⎩⎪⎨⎧<>>⇔>)()(0)(0)()(log )(log x g x f x g x f x g x f a a 33.斜率公式))()((2221111
212y x P y x P x x y y k ，、，--=34.直线的四种方程
(1)点斜式：)(11x x k y y -=-(直线l 过点)y x (P 111，，且斜率为k)。

(2)斜截式：y =k x +b (b 为直线l 在y 轴上的截距)。

(注意：(1)截距不是距离；(2)过原点的直线也具有横、纵截距相等的特征)；(3)两点式：)(211
21121y y x x x x y y y y ≠--=--()(111y x P ，、)(222y x P ，(21x x ≠))。

(4)一般式：A x +B y +C =0(其中A 、B 不同时为0)。

35.两条直线的平行和垂直
(1)若l 1：，11b x k y +=l 2：2
2b x k y +=①l 1//l 22121b b k k ≠=⇔，②l 1⊥l 2⇔1
k k 21-=(2)若l 1：0111=++C y B x A ，l 2：0222=++C y B x A ，且2121B B A A 、、、都不为零，
①l 1//l 2212121C C B B A A ≠=⇔；②l 1⊥l 202121=+⇔B B A A ；
36.夹角公式|1|tan 1
212k k k k +-=α。

(l 1：11b x k y +=，l 2：12122-≠+=k k b x k y ，)37.点到直线的距离
2200|
|B A C By Ax d +++=(点P(00y x ，)，直线l ：0=++C By Ax )。

38.圆的四种方程
(1)圆的标准方程：2
22)()(r b y a x =-+-(2)圆的一般方程：)
04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x (3)圆的参数方程：⎩⎨⎧θ
+=θ+=sin cos r b y r a x (4)圆的直径式方程：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x (圆的直径的端点是A(11y x ，)、B(22y x ，))。

39.椭圆)0(122
22
>>=+b a b y a x 的参数方程是⎩⎨⎧θ
=θ=sin cos b y a x。

40.椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 焦半径公式)(||)(||2221x c a e PF c a x e PF -=+=，。

41.双曲线)00(122
22
>>=+b a b y a x ，的焦半径公式
|)(||||)(|||2221x c
a e PF c a x e PF -=+=，。

42.抛物线y 2=2p x 上的动点可设为)2(020y p
y P 或P(pt pt 222，)或P(x ，y )，其中px y 22=。

43.二次函数)0(44)2(222
≠-++=++=a a b ac a b x a c bx ax y 的图像是抛物线：(1)顶点坐标为(a
b a
c a b 4422--，)；44.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
221221)()(||y y x x AB -+-=或
α
+-=α+-=-+=2212212122cot 1||tan 1||))(1(||y y x x x x k AB 45.圆锥曲线的对称问题：曲线F(x ，y )=0关于点P(00y x ，)成中心对称的曲线是0)22(00=--y y x x F ，。

46.对于一般的二次曲线022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，用x x 0代2x ，用y y 0代2y ，用200xy y x +代入xy ，用20x x +代x ，用2
0y y +代入y 即得方程022*******=++⋅++⋅+++⋅
+F y y E x x D y Cy xy y x B x Ax ，曲线的切线、切点弦方程均可由此方程得到。

47.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，
a ∥
b ⇔存在实数λ使a =λb 。

48.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足→+→+→=→OC z OB y OA x OP ，则
四点P 、A 、B 、C 是共面⇔x +y +z=1。

49.空间两个向量的夹角公式
cos<a ，b >=2322212322213
32211b b b a a a b a b a b a ++++++()(321a a a a ，，=，)(321b b b b ，，=)。

50.直线AB 与平面所成角|
|||arcsin →⋅→→⋅→=βm OP m AB (→m 为平面α的法向量)。

51.二面角α−l −β的平面角|n ||m |n
m arccos →→→→⋅=θ或|n ||m |n m arccos →→→→⋅-π(→m ，→n 为平面α，
β的法向量)。

52.设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ。

则21cos cos cos θθ=θ。

53.空间两点间的距离公式
若)z y x (B )z y x (A 222111，，，，，，则212212212)()()(||z z y y x x AB AB AB d B A -+-+-=→⋅→=→=，。

54.异面直线间的距离
||||→→⋅→=n n CD d (l 1，l 2是两异面直线，其公垂向量为→n ，C 、
D 分别是l 1，l 2上任一点，d 为l 1，l 2间的距离)。

55.点B 到平面α的距离=d |
|||→→⋅→n n AB (→n 为平面α的法向量，AB 是面α的斜线，
A ∈α)。

56.面积射影定理θ
=cos '
S S (平面多边形及其射影的面积分别是S 、S '，它们所在平面所成锐二面角的为θ)。

57.球的半径是R ，则其体积是334R V π=
，其表面积是2R 4S π=。

58.分类计数原理n m m m N +++= 21。

59.分步计数原理
n m m m N ⨯⨯⨯= 21。

60.排列数公式
=+--=)1()1(m n n n A m n )!(!m n n -。

(n ，m ∈N*，且n m ≤)。

61.排列恒等式(1)1)1(-+-=m n
m n A m n A ；(2)m n m n A m n n A 1--=；(3)11--=m n m n nA A ；(4)n n n n n n A A nA -=++11；(5)11-++=m n
m n m n mA A A 。

62.组合数公式
)*()!
(!!21)1()1(n m N m n m n m n m m n n n A A C m m m n m n ≤∈-⋅=⨯⨯⨯+--==，且， 。

63.组合数的两个性质
(1)m n n m n C C -=；(2)m n m n m n C C C 1
1+-=+64.组合恒等式(1)11-+-=m n m n C m m n C ；(2)m n m n C m n n C 1--=；(3)11--=m n m n C m n C ；(4)n n r r n C 20
=∑=；(5)1r 1n r n r 2r r 1r r r C C C C C +
+++=++++ 。

65.排列数与组合数的关系是：m n
m n C m A ⋅=!66.二项式定理n n n r r n r n n n n n n n n b
C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1(r=0，1，2…，n )。

67.等可能性事件的概率n
m A P =)(。

68.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)。

69.n 个互斥事件分别发生的概率的和
P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )。

70.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A·B)=P(A)·P(B)。

71.n 个独立事件同时发生的概率P(A 1·A 2·…·A n )=P(A 1)·P(A 2)·…·P(A n )。

72.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(。

73.离散型随机变量的分布列的两个性质：
(1)0P i ≥(i =1，2，…)；(2)1P P 21=++ 。

74.数学期望
++++=ξn n P x P x P x E 221175.数学期望的性质：
(1)E (a ξ+b )=aE (ξ)+b ；
(2)若ξ～B (n ，p )，则E ξ=np 。

76.方差
+⋅ξ-++⋅ξ-+⋅ξ-=ξn n P E x p E x p E x D 2222121)()()(77.标准差ξ=σξD 。

78.方差的性质
(1)22)E (E )(D ξ-ξ=ξ；(2)ξ=+ξD a )b a (D 2；(3)若)(~p n B ，ξ，则)1(p np D -=ξ。

79.正态分布密度函数2226)(621
)(μ--π=x e x f ，
)(∞+-∞∈，x 式中的实数μ，σ(0>σ)是参数，分别表示个体的平均数与标准差。

80.标准正态分布密度函数)(621
)(22
∞+-∞∈π=-，，x e x f x 。

81.对于N(μ，σ2)，取值小于x 的概率⎪⎭
⎫ ⎝⎛σμ-=x x F Φ)(。

)
()()()()(1212201x F x F x x P x x P x x x P -=<-<=<<⎪⎭
⎫ ⎝⎛σμ--⎪⎭⎫ ⎝⎛σμ-=m x x 12ΦΦ。

82.特殊数列的极限
(1)⎪⎩
⎪⎨⎧-=<=<=∞→11||111||0lim q q q q q n n 或
不存在
(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=++++++----∞→)()()(0lim 011011t k t k b a t k b n b n b a n a n a k
t t t t t k k k k n 不存在
(3)q
a q q a S n n -=--=∞→11)1(lim 11(S 无穷等比数列)1|}(|{11<-q q a n 的和)。

84.函数的夹逼性定理
如果函数)()()(x h x g x f ，，在点0x 的附近满足：
(1))()()(x h x f x g ≤≤；(2)a x h a x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，(常数)，则a x f x x =→)(lim 0。

本定理对于单侧极限和x →∞的情况仍然成立。

85.两个重要的极限(1)1sin lim 0=→x x x ；(2))718281845.2(11lim ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→e e x x
x 。

86.f (x )在0x 处的导数(或变化率或微商)
x
x f x x f x y y x f x x x x ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim |')('000000-+===→→=87.瞬时速度
t
t s t t s t s t s t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim )('00-+===ν→→。

88.瞬时加速度
t t v t t v t v t v a t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim
)('00-+===→→。

(注意这个物理意义)89.)(x f 在(a ，b )的导数x x f x x f x y dx df dx dy y x f x x ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim ')('00-+=====→→。

90.函数y =f (x )在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))((00x f x P ，处的切线的斜率)('0x f ，相应的切线方程是))(('000x x x f y y -=-。

91.几种常见函数的导数
(1)0'C =(C 为常数)(2))
()'(1Q n nx x n n ∈=-(3)x
x cos )'(sin
=
(4)x x sin )'(cos -=(5)x x 1)'(ln =；e a x x a log 1)'(log =(6)a a a e e x x x x ln )'(;)'(==。

92.复合函数的求导法则
设函数)(x u ϕ=在点x 处有导数)(''x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数)(''u f y u =，则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x u y y ⋅=，或写作)(')('))(('x u f x f x ϕ=ϕ。

93.可导函数y =f (x )的微分dy ='f (x )dx 。

94.注意构造新的函数，再利用导数的有关性质来解题的解题技巧。

95.a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 。

(a ，b ，c ，d ∈R)
96.复数z=a +bi 的模：|z|=|a +bi |=22b a +。

97.复数的四则运算法则
(1)(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i ；
(2)(a +bi )－(c +di )=(a －c )+(b －d )i ；(3)(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i ；(4)i d c ad
bc d c bd
ac di c bi a 2222)()(+-+++=+÷+(c +di ≠0)
98.
99.圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ
=+⎧⎨=+⎩100.椭圆参数方程cos sin x a y b ϕϕ
=⎧⎨=⎩。