3.1.1 空间向量及其加减运算(理科)
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A H E F
， OH = k OD
O D B G C
7.练习 7.练习1 练习1 空间四边形ABCD中,M、G分别是 中 、 分别是 空间四边形 BC、CD边的中点 化简： 边的中点,化简 、 边的中点 化简：
A
1 (1) AB + ( BC + BD) 2
D G
1 (2) AG − ( AB + AC ) 2
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 ）首尾相接的若干向量之和， 向量的起点指向末尾向量的终点的向量． 向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + ⋯ + An −1 An = A1 An
A1
An −1
An
A2
A3
A4
推广
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， ）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量． 则它们的和为零向量．即：
1 ＝ AB + BM + MG − ( AB + AC ) 2
1 ＝ BM + MG + ( AB − AC ) 2
= BM + MG+ MB
= MG
C
7.练习 7.练习2 练习2 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 中 点 是面 在正方体 AC’的中心 求下列各式中的 、y的值 的中心,求下列各式中的 的值. 的中心 求下列各式中的x、 的值
⑵ AB + AD + AA' = AC + AA' AC + CC ' = = AC '
A D A’
D’ B’
C’
C B
练习
空间四边形ABCD中,M、G分别是 、CD 中 、 分别是 分别是BC、 空间四边形 边的中点,化简： 边的中点,化简：
A
D G B M C
1 (1) AB + ( BC + BD ) 2 1 ( 2) AG − ( AB + AC ) 2
运 算 律
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 成立吗？ 成立吗？
( a + b ) + c = a + (b + c )
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c )
O a A b B C c a b +c A b B c C O
空间向量的加法、 空间向量的加法、减法运算 （1）加法交换律： a + b = b + a ）加法交换律：
运 算 律
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 成立吗？ 成立吗？
( a + b ) + c = a + (b + c )
C
a b
O
+
A
b
B
OB = OA + AB
a
CA = OA − OC
空间向量的加减法
B b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量， 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它 们可用同一平面内的两条有向线段表示. 们可用同一平面内的两条有向线段表示 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题， 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们. 量中有关结论仍适用于它们
空间向量的加法、 空间向量的加法、减法运算 平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 运算 减法 三角形法则
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律
百度文库
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 减法 三角形法则
A
(1)AC = x(AB+ BC+ CC )
' '
E C
D
B
(2)AE= AA + xAB+ yAD
'
A B C
D
7.练习 7.练习2 练习2 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 中 点 是面 在正方体 AC’的中心 求下列各式中的 、y的值 的中心,求下列各式中的 的值. 的中心 求下列各式中的x、 的值
D
5.共面向量 5.共面向量
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共 共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共
面向量. 面向量.
a
O A
α
a
不共线,则向量P 不共线,则向量P与向量 a, b共面的充要条 件是存在实数对 x, y 使P = xa + yb 要条件是存在有序实数对x,y使 要条件是存在有序实数对 使 OP=xAB+yAC 或对空间任一点O,有 或对空间任一点 有 OP=OA+xAB+yAC
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空间向量 及其加减运算
中学生学习报 数学周刊
国家级优秀教辅读物 ISO9001国际质量管理体系认证
复习
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量． 定义： 既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示； 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法： 字母表示法：用字母 a、等或者用有向线段 b 、等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB表示． 表示． 的向量． 相等的向量：长度相等且方向相同的向量 相等的向量：长度相等且方向相同的向量． B D A C
⑴ AB + BC ；
⑵ AB + AD + AA'；
C’
D A B
C
例题
例 已知平行六面体 ABCD − A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量： 列向量表达式， 化简结果的向量：
⑴ AB + BC ； ⑵ AB + AD + AA'； 解：⑴ AB + BC = AC
例如: 例如:
a
−3a
3a
2. 空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即：λ(a + b) = λa + λb a （λ +η） = λa + µa
λ(η)a = (λµ)a
P96 练习 1 1 （）、（2）、（3 ）
A
D F
B
E
C
3.向量的平行与重合 3.向量的平行与重合 如图：L为经过已知点且平行非零向量a的
直线，对空间任意一点O， 在直线L上 点P在直线 上 ⇔ ∃ t ∈ R， OP = OA + ta （） 在直线 （） 1 非零向量a叫做直线L的方向向量。 ） 在直线L上 点P在直线 上 ⇔ ∃ t ∈ R， OP = OA + t AB（2 在直线
（1）、（2）都称为空间直线的向量表示式。 即 ： 空间直线由空间一点及直线的方向向 L 量唯一确定
） （2）加法结合律： （a + b + c = a + (b + c ) ）加法结合律：
a b c
a b c
说明 对空间向量的加法、 对空间向量的加法、减法的说明
空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒈ 空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒉ 两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立． 仍然成立． ⒊ 空间向量的加法运算可以推广至若干个 向量相加． 向量相加．
B
M
C
7.练习 7.练习1 练习1
1 1 (1) AB + ( BC + BD) (2) AG − ( AB + AC ) 2 2 A
(1)原式＝AB + BM + MG = AG
(2)原式 原式
D G B M
空间四边形ABCD中,M、G分 中 、 分 空间四边形 别是BC、 边的中点 化简： 边的中点,化简 别是 、CD边的中点 化简：
复习
2.平面向量的加减法与数乘运算 平面向量的加减法与数乘运算
（1）向量的加法： ）向量的加法：
a+b
a
a+b
b
a
平行四边形法则
三角形法则
复习
（2）向量的减法 ） 三角形法则
a − b b a
3. 平面向量的加法运算律
加法交换律： 加法交换律： a + b = b + a 加法结合律： 加法结合律： a + b） c = a + (b + c ) （ +
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + ⋯ + An −1 An + An A1 = 0
A1
An −1
An
A2
A3
A4
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到 A′B′C ′D′ 平移向量 平行四边形 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体 平行六面体． 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记 作ABCD— A′B′C ′D′ ．
b a A
空间向量的加法、 空间向量的加法、减法运算 平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 运算 减法 三角形法则
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 减法 三角形法则
A O •
•
a
• B
• P
4.例题 4.例题1 例题1
问题；如图；已 知空间四边形 A B C D中， 向量AB = a， = b， = c，若M为BC的中点， AC AD G为ΔBCD的重心，试用a、 c表示下列向 b、 量：（1）DM （2） AG
A
1 （ + b) - c a 2
B M C G
= 2( AD + AB + AA1 ) = 2AC1
D A B C
∴ x = 2.
4.例题 4.例题2 例题2
在正方体AC 是面AC 的中心, 在正方体 1中,点E是面 ’ 的中心 点 是面 AE = AA ' + x AB + y AD ，求实数 求实数x,y. 若
A E B C D
A B C
1.回 1.回 顾
2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理 必修④ 平面向量》 ——平面向量基本定理：如果 1、e2是同一平面内两 平面向量基本定理：如果e 平面向量基本定理 个不共线的向量， 个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向 量a，有且只有一对实数 1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. ，有且只有一对实数λ ＝ 其中不共线向量e 其中不共线向量 1、e2叫做表示这一平面内所有向量 基底． 的一组基底 的一组基底．
1.回 1.回 顾
a
α
b
结论： 空间任意两个向量都是共面向量。 结论： 1）空间任意两个向量都是共面向量。 涉及空间任意两个向量问题， 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。 面向量中有关结论仍适用它们。
2.空间向量的数乘运算 2.空间向量的数乘运算
££ 1）实数 与空间向量a的乘积 a仍然是一个向量 （1）当 时， a与向量a方向相同； （2）当 时， a与向量a方向相同； （3）当 时， a是零向量。
1 （ + b + c) a 3
D
4.例题 4.例题1 例题1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 已知平行六面体 求满足下列各式的x的值 的值. 求满足下列各式的 的值
(3)
解(3)
AC + AB1 + AD1 = x AC1
D1 B1 C1
AC + AB1 + AD1
= (AD+ AB) + (AA + AB) + (AA + AD)A1 1 1
共面向量定理: 共面向量定理:如果两个向量 a, b
推论:空间一点P位于平面ABC内的充 位于平面ABC内的充 推论 空间一点P位于平面
6.例题 6.例题4 例题4 已知平行四边形ABCD， 从平面 ， 从平面AC外一 已知平行四边形 外一 点O引向量 = k OC OE = k OA 引向量 ， OG 求证： OF = k OB ，求证： (1) 四点 、F、G、H共面； 四点E、 、 、 共面 共面； (2)平面 ∥平面 平面EG∥平面AC . 平面
D’ C’ B’
平行六面体 的六个面都是平 行四边形， 行四边形，每个 面的边叫做平行 面的边叫做平行 六面体的棱． 六面体的棱． a
A’
D A B
C
例题
例 已知平行六面体 ABCD − A' B' C ' D'，化简下
列向量表达式， 化简结果的向量： 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
D’ A’ B’
练习参考答案
A
(1)原式＝ AB + BM + MG = AG 原式＝
(2)原式 原式
1 ＝ AB + BM + MG − ( AB + AC ) D 2 1 ＝ BM + MG + ( AB − AC ) 2 G
B
= BM + MG+ MB
M C
= MG
空间向量 的数乘运算
1.回 1.回 顾 1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？ 怎样判定向量b与非零向量a是否共线？ 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于 任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上， 所以平行向量也叫做共线向量． 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一 个实数λ，使b=λa ,称平面向量共线定理.
， OH = k OD
O D B G C
7.练习 7.练习1 练习1 空间四边形ABCD中,M、G分别是 中 、 分别是 空间四边形 BC、CD边的中点 化简： 边的中点,化简 、 边的中点 化简：
A
1 (1) AB + ( BC + BD) 2
D G
1 (2) AG − ( AB + AC ) 2
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 ）首尾相接的若干向量之和， 向量的起点指向末尾向量的终点的向量． 向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + ⋯ + An −1 An = A1 An
A1
An −1
An
A2
A3
A4
推广
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， ）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量． 则它们的和为零向量．即：
1 ＝ AB + BM + MG − ( AB + AC ) 2
1 ＝ BM + MG + ( AB − AC ) 2
= BM + MG+ MB
= MG
C
7.练习 7.练习2 练习2 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 中 点 是面 在正方体 AC’的中心 求下列各式中的 、y的值 的中心,求下列各式中的 的值. 的中心 求下列各式中的x、 的值
⑵ AB + AD + AA' = AC + AA' AC + CC ' = = AC '
A D A’
D’ B’
C’
C B
练习
空间四边形ABCD中,M、G分别是 、CD 中 、 分别是 分别是BC、 空间四边形 边的中点,化简： 边的中点,化简：
A
D G B M C
1 (1) AB + ( BC + BD ) 2 1 ( 2) AG − ( AB + AC ) 2
运 算 律
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 成立吗？ 成立吗？
( a + b ) + c = a + (b + c )
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c )
O a A b B C c a b +c A b B c C O
空间向量的加法、 空间向量的加法、减法运算 （1）加法交换律： a + b = b + a ）加法交换律：
运 算 律
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 成立吗？ 成立吗？
( a + b ) + c = a + (b + c )
C
a b
O
+
A
b
B
OB = OA + AB
a
CA = OA − OC
空间向量的加减法
B b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量， 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它 们可用同一平面内的两条有向线段表示. 们可用同一平面内的两条有向线段表示 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题， 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们. 量中有关结论仍适用于它们
空间向量的加法、 空间向量的加法、减法运算 平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 运算 减法 三角形法则
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律
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空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 减法 三角形法则
A
(1)AC = x(AB+ BC+ CC )
' '
E C
D
B
(2)AE= AA + xAB+ yAD
'
A B C
D
7.练习 7.练习2 练习2 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 中 点 是面 在正方体 AC’的中心 求下列各式中的 、y的值 的中心,求下列各式中的 的值. 的中心 求下列各式中的x、 的值
D
5.共面向量 5.共面向量
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共 共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共
面向量. 面向量.
a
O A
α
a
不共线,则向量P 不共线,则向量P与向量 a, b共面的充要条 件是存在实数对 x, y 使P = xa + yb 要条件是存在有序实数对x,y使 要条件是存在有序实数对 使 OP=xAB+yAC 或对空间任一点O,有 或对空间任一点 有 OP=OA+xAB+yAC
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空间向量 及其加减运算
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国家级优秀教辅读物 ISO9001国际质量管理体系认证
复习
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量． 定义： 既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示； 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法： 字母表示法：用字母 a、等或者用有向线段 b 、等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB表示． 表示． 的向量． 相等的向量：长度相等且方向相同的向量 相等的向量：长度相等且方向相同的向量． B D A C
⑴ AB + BC ；
⑵ AB + AD + AA'；
C’
D A B
C
例题
例 已知平行六面体 ABCD − A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量： 列向量表达式， 化简结果的向量：
⑴ AB + BC ； ⑵ AB + AD + AA'； 解：⑴ AB + BC = AC
例如: 例如:
a
−3a
3a
2. 空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即：λ(a + b) = λa + λb a （λ +η） = λa + µa
λ(η)a = (λµ)a
P96 练习 1 1 （）、（2）、（3 ）
A
D F
B
E
C
3.向量的平行与重合 3.向量的平行与重合 如图：L为经过已知点且平行非零向量a的
直线，对空间任意一点O， 在直线L上 点P在直线 上 ⇔ ∃ t ∈ R， OP = OA + ta （） 在直线 （） 1 非零向量a叫做直线L的方向向量。 ） 在直线L上 点P在直线 上 ⇔ ∃ t ∈ R， OP = OA + t AB（2 在直线
（1）、（2）都称为空间直线的向量表示式。 即 ： 空间直线由空间一点及直线的方向向 L 量唯一确定
） （2）加法结合律： （a + b + c = a + (b + c ) ）加法结合律：
a b c
a b c
说明 对空间向量的加法、 对空间向量的加法、减法的说明
空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒈ 空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒉ 两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立． 仍然成立． ⒊ 空间向量的加法运算可以推广至若干个 向量相加． 向量相加．
B
M
C
7.练习 7.练习1 练习1
1 1 (1) AB + ( BC + BD) (2) AG − ( AB + AC ) 2 2 A
(1)原式＝AB + BM + MG = AG
(2)原式 原式
D G B M
空间四边形ABCD中,M、G分 中 、 分 空间四边形 别是BC、 边的中点 化简： 边的中点,化简 别是 、CD边的中点 化简：
复习
2.平面向量的加减法与数乘运算 平面向量的加减法与数乘运算
（1）向量的加法： ）向量的加法：
a+b
a
a+b
b
a
平行四边形法则
三角形法则
复习
（2）向量的减法 ） 三角形法则
a − b b a
3. 平面向量的加法运算律
加法交换律： 加法交换律： a + b = b + a 加法结合律： 加法结合律： a + b） c = a + (b + c ) （ +
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + ⋯ + An −1 An + An A1 = 0
A1
An −1
An
A2
A3
A4
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到 A′B′C ′D′ 平移向量 平行四边形 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体 平行六面体． 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记 作ABCD— A′B′C ′D′ ．
b a A
空间向量的加法、 空间向量的加法、减法运算 平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 运算 减法 三角形法则
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 减法 三角形法则
A O •
•
a
• B
• P
4.例题 4.例题1 例题1
问题；如图；已 知空间四边形 A B C D中， 向量AB = a， = b， = c，若M为BC的中点， AC AD G为ΔBCD的重心，试用a、 c表示下列向 b、 量：（1）DM （2） AG
A
1 （ + b) - c a 2
B M C G
= 2( AD + AB + AA1 ) = 2AC1
D A B C
∴ x = 2.
4.例题 4.例题2 例题2
在正方体AC 是面AC 的中心, 在正方体 1中,点E是面 ’ 的中心 点 是面 AE = AA ' + x AB + y AD ，求实数 求实数x,y. 若
A E B C D
A B C
1.回 1.回 顾
2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理 必修④ 平面向量》 ——平面向量基本定理：如果 1、e2是同一平面内两 平面向量基本定理：如果e 平面向量基本定理 个不共线的向量， 个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向 量a，有且只有一对实数 1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. ，有且只有一对实数λ ＝ 其中不共线向量e 其中不共线向量 1、e2叫做表示这一平面内所有向量 基底． 的一组基底 的一组基底．
1.回 1.回 顾
a
α
b
结论： 空间任意两个向量都是共面向量。 结论： 1）空间任意两个向量都是共面向量。 涉及空间任意两个向量问题， 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。 面向量中有关结论仍适用它们。
2.空间向量的数乘运算 2.空间向量的数乘运算
££ 1）实数 与空间向量a的乘积 a仍然是一个向量 （1）当 时， a与向量a方向相同； （2）当 时， a与向量a方向相同； （3）当 时， a是零向量。
1 （ + b + c) a 3
D
4.例题 4.例题1 例题1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 已知平行六面体 求满足下列各式的x的值 的值. 求满足下列各式的 的值
(3)
解(3)
AC + AB1 + AD1 = x AC1
D1 B1 C1
AC + AB1 + AD1
= (AD+ AB) + (AA + AB) + (AA + AD)A1 1 1
共面向量定理: 共面向量定理:如果两个向量 a, b
推论:空间一点P位于平面ABC内的充 位于平面ABC内的充 推论 空间一点P位于平面
6.例题 6.例题4 例题4 已知平行四边形ABCD， 从平面 ， 从平面AC外一 已知平行四边形 外一 点O引向量 = k OC OE = k OA 引向量 ， OG 求证： OF = k OB ，求证： (1) 四点 、F、G、H共面； 四点E、 、 、 共面 共面； (2)平面 ∥平面 平面EG∥平面AC . 平面
D’ C’ B’
平行六面体 的六个面都是平 行四边形， 行四边形，每个 面的边叫做平行 面的边叫做平行 六面体的棱． 六面体的棱． a
A’
D A B
C
例题
例 已知平行六面体 ABCD − A' B' C ' D'，化简下
列向量表达式， 化简结果的向量： 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
D’ A’ B’
练习参考答案
A
(1)原式＝ AB + BM + MG = AG 原式＝
(2)原式 原式
1 ＝ AB + BM + MG − ( AB + AC ) D 2 1 ＝ BM + MG + ( AB − AC ) 2 G
B
= BM + MG+ MB
M C
= MG
空间向量 的数乘运算
1.回 1.回 顾 1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？ 怎样判定向量b与非零向量a是否共线？ 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于 任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上， 所以平行向量也叫做共线向量． 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一 个实数λ，使b=λa ,称平面向量共线定理.