二次函数性质一览表
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二次函数性质一览表
表达式
(a≠0) a值图像开口
方向
对称轴
顶点
坐标
增减性最值举例
①y=ax2a＞0向上y轴（0，0）
①当x＞0时，y随x
的增大而增大
②当x＜0时，y随x
的增大而减小
当x=0时，y
有最小值，
即y最小值=0
y=
4
3x2
y=3x2 a＜0向下y轴（0，0）
①当x＞0时，y随x
的增大而减小
②当x＜0时，y随x
的增大而增大
当x=0时，y
有最大值，
即y最大值=0
y=-5x2
y=
3
1
x2
②y=ax2+k a＞0向上y轴（0，k）
①当x＞0时，y随x
的增大而增大
②当x＜0时，y随x
的增大而减小
当x=0时，y
有最小值，
即y最小值=k
y=4x2+5
y=3x2-1 a＜0向下y轴（0，k）
①当x＞0时，y随x
的增大而减小
②当x＜0时，y随x
的增大而增大
当x=0时，y
有最大值，
即y最大值=k
y=-2x2+3
y=-3x2-2
③
y=a(x-h)2a＞0向上
直线
x=h
（h，0）
①当x＞h时，y随x
的增大而增大
②当x＜0时，y随x
的增大而减小
当x=h时，y
有最小值，
即y最小值=0
y=2(x-3)2
y=
2
1(x+2)2 a＜0向下
直线
x=h
（h，0）
①当x＞h时，y随x
的增大而减小
②当x＜0时，y随x
的增大而增大
当x=h时，y
有最大值，
即y最大值=0
y=-3(x-2)2
y=-2(x+1)2
④
y=a(x-h)2+
k a＞0向上
直线
x=h
（h，k）
①当x＞h时，y随x
的增大而增大
②当x＜h时，y随x
的增大而减小
当x=h时，y
有最小值，
即y最小值=k
y=5(x-2)2+1
y=2(x-1)2-3
y=3(x+1)2+2
y=4(x+2)2-4 a＜0向下
直线
x=h
（h，k）
①当x＞h时，y随x
的增大而减小
②当x＜h时，y随x
的增大而增大
当x=h时，y
有最大值，
即y最大值=k
y=-2(x-1)2+3
y=-3(x-2)2+1
y=-4(x+1)2+3
y=-5(x+2)2+4
⑤
y=ax2+bx+c
可化为：
y=a(x+)
2a
b
2+
a
b
ac
4
42
-
a＞0向上
直线
x=-
a
b
2
（-
a
b
2
，
a
b
ac
4
42
-
）
①当x＞-
a
b
2
时，y
随x的增大而增大
②当x＜-
a
b
2
时，y
随x的增大而减小
当x=-
a
b
2
时，y有最
小值，即y
最小值
=
a
b
ac
4
42
-
y=2x2+3x+4
y=3x2-3x+4
y=4x2-3x-4
y=5x2+3x-4 a＜0向下
直线
x=-
a
b
2
（-
a
b
2
，
a
b
ac
4
42
-
）
①当x＞-
a
b
2
时，y
随x的增大而减小
②当x＜-
a
b
2
时，y
随x的增大而增大
当x=-
a
b
2
时，y有最
大值，即
y最大值
=
a
b
ac
4
42
-
y=-2x2+3x+4
y=-3x2-3x+4
y=-4x2-3x-4
y=-5x2+3x-4
二次函数的有关知识
一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a≠0)：
1、一般式：y=ax2+bx+c [已知抛物线任意三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)可设一般式求得]
2、顶点式：y=a(x-h)2+k [已知顶点坐标（h，k）和任意一点(x,y)可设顶点式求得]
3、两根式：y=a(x-x1)(x-x2) [已知抛物线与x轴是的两个交点（x1，0），（x2，0）和任意一点(x,y)可设两根式求得]
二、二次函数图象平移变换关系：
三、二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断：
y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）
四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：
1、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解。因此利用二次函数图象可求以x为未知
数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进行判断）。
2、二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横
坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解。
五、关于x轴、y轴对称的二次函数图象的关系：
二次函数y＝ax2+bx+c与y＝－ax2+bx+c关于x轴对称，即关于x轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数