不等式证明课件.ppt

【 例 题 】 已 知 a>0 ， b>0 ， 求 证 ： a3+b3≥a2b+ab2.
证明一：比较法（作差）
（a3+b3）-（a2b+ab2） =（a3- a2b）+（b3-ab2） = ( a-b)2(a+b).
∵a>0，b>0， ∴a+b>0，而( a-b)2≥0.
∴( a-b)2(a+b)≥0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0, 即a3+b3≥a2b+ab2.
a3 b3 a2b ab 2
ba
ab
a2(a b) b2(b a) ab
(a
b)2(a b) ab
0
所以，a2 b2 a b ba
证明二：比较法（作商）
a2 b2 ba
a3 b3
a2 b2 ab
a b ab(a b)
ab
2ab ab ab
1
而a>0，b>0，所以a+b>0.
数学更高的价值在于培养纯粹的思维能 力，启发人们向往理念的端倪；便于将 灵魂从变化世界转向真理的实在．
柏拉图 《理想国》
不等式的证明基本方法
1、比较法：作差比较与作商比较 2、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的 性质推导出所要证明的不等式成立的方法。 3、分析法：从要求证的不等式出发，分析这个不等 式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充 分条件是否具备的问题，即由果索因。
2
分析：观察条件和待证不等式的结构，可知连接它 们 的“桥”较多，可从不同的角度来思考．
思考1:用作差比较来完成，利用a+b=1可将二元问题 化为一元问题．
思考2:用分析法来完成，最终可化为证 (a 1 )2 .0
2
思考3:用综合法来完成，由(a 1 )2 0 出发进行变
形．
2
思考4:用放缩法来完成，利用基本不等式
证明二：比较法（作商）
∵a2+b2≥2ab，
∴
a3 b3
(a b)(a2 b2 ab )
a2b ab 2
ab(a b)
a2 b2 ab 2ab ab 1
ab
ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明三：分析法
欲证a3+b3≥a2b+ab2， 只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b). 由于a>0，b>0， 所以a+b>0， 故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。 即证明a2+b2≥2ab. 而a2+b2≥2ab 显然是成立的 所以有a3+b3≥a2b+ab2.
证明四：综合法 ∵a2+b2≥2ab， ∴a2+b2-ab≥ab. 又∵a>0，b>0， ∴a+b>0， 故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b). 即a3+b3≥a2b+ab2.
练习：已知a>0，b>0，求证：
a2 b2 a b.(课本习题改变） ba
证明一：比较法（作差）
a2 b2 (a b)
构造函数法 放缩法 M N
【探索2 】
求证:
3
5
x2 2x 5 x2 4x 5
3
5
换元法 判别式法
【探索3 】
x 已知 f (x) 2 px q, 求证:
f (1). f (2). f (3) 中至少有一个不小于 1/2
反证法
思考题：已知a, b R，且a b 1，求证： (a 2)2 (b 2)2 25
a2 b2 a b 2 2 2
思考5:用均值换元法来完成，设
a 1 t，b 1 t
Leabharlann Baidu
2
2
思考6:用构造函数法来完成，由a+b=1，设 y=(a+2)2+(b+2)2，则
y 2a2 2a 13 2(a 1 )2 25 25 2 22
思考7: 用判别式法来完成，在得到y＝2a22a+13 后 改变观点，视其为方程，有 2a22a+13y =0． 因a∈R，则∆＝442(13y) 0，从而
（7）判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化 为一元二次函数,根据其有无实数解建立不等式关系 求解问题. （8）换元法：三角换元， 均值换元.
作业:根据本课内容写一篇数学小论文
(a 2)2 (b 2)2 25 2
思考8: 反证法
证明不等式的主要方法
•（1）比较法：
作作商差法法ABA1B(B00) AA
B B
•（2）综合法：由因导果
•（3）分析法：执果索因 •（4）反证法：正难则反 •（5）构造法：构造函数或不等式证明不等式
•（6）放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的
故
a2 b2 ab
ba
证明三:综合法
a 0, b 0
a2 b 2a
同理 b2 a 2b
b
a
a2
b2
b a 2a 2b
b
a
即
a2 b2 ab
ba
证明四:分析法
【探索1】
已知
a 0, b 0, c 0且a b c,
设M a b , N c
4a 4b
4c
求M与N 的大小关系.