“应用随机过程”讲义一解析
应用随机过程教案 第1章 预备知识
定义 2 两个随机变量 X 与 Y，如果满足 P{ω∈Ω :X(ω) ≠Y(ω) }=0,则称它们是 等价的。
注：为简单起见，习惯将{ω:X(ω) ≥x}记为{X≥x}，其他记号类似。
常用的随机变量：离散型随机变量、连续型随机变量。 离散性随机变量 X 的概率分布用如下分布列描述：
pk = P{X = xk }, k = 1,2, …
n 1
n
n 1
记 An A 。
1 1 例 6 设 { An , n 1,2,} 是一集合序列，其中 An ， 1 ， 则 An A (0,1) F 上的实值函数。如果
2
（1） P(Ω )=1； （2） 任意 A∈F，0≤P(A)≤1； （3） 对两两互不相容事件 A1，A2，… (即当 i≠j 时，Ai∩Aj=ϕ)，有
其分布函数为
F ( x)
xk x
p P{ X x }
k xk x k
x
连续型随机变量 X 的分布用概率密度 f(x)描述，其分布函数为：
F ( x ) f (t ) dt
分布函数 F(x)的性质 （1） 0 F ( x) 1 （2） F () 0, F () 1 （3） F ( x) 是单调不减函数， a b 则 F (a) F (b) （4） F ( x) 是右连续函数，即 x, F ( x 0) F ( x) 随机向量 ( X 1 , X 2 ,, X d ) 的联合分布函数定义为
n
n
若对每个 n，有 An An 1 （或 An An 1 ） ，则称为单调增（单调减）序列。显然 对于单调集合序列 { An } 的极限存在， 且对于单调增集合序列 { An } ， 若 A lim An ，
应用随机过程(第三章)PPT课件
Poisson的特性
平稳增量性。
由 E N tt ，知λ是单位时间内发和事件
的平均次数。 称λ为Poisson近程的强度或速率。
例3.1.1 售票处乘客以10人／小时的平均速率 到达，则9：00 ～10：00最多有5名乘客的 概率？10：00 ～11：00没有人的概率？
例3.1.2 保险公司接到的索赔次数
k 0
k 0 m m k pm 1pkm t m k k !e t
k 0m m !k k !!pm 1pkm t m k k !e t
pm tet 1pktk
m ! k0 k!
tpm ept
m!
Poisson过程的推广
非齐Poisson过程
定义3.3.1 计数过程 N t,t0称作强度函
过程 N t,t0 ，每次的赔付金额Yi都相
互独立，且有相同的分布F，且每次的索赔 额与与它发生的时间无关。则[0，t]内保险
公司赔付的总额 X t,t0 就是一个复
合Poisson 过程，其中：
XtNtYi i1
例3.3.3
（顾客成批到达的排队系统）设顾客到达某
服务系统的时刻 S1, S2, ,形成一个
t 6 6 1 02
1 第i位顾客在商场买东西 Yi 0 第i位顾客在商场未买东西
• 以 N1t 表示在时间[0，t]内到达商场的人
数， E N 112 4320
• 以 N2t 表示在时间[0，t]内在商场买东西
的人数，
E N 1 t E N 1 tY i t 0 .9 i 1
• 若以Zi 表示第i位顾客在商场消费金额，且
Z i~ B 2,0 .5 0
•则
N3 t N 1tZi i1
应用随机过程PPT模板
§2.4更新过程
01 § 2 . 4 . 1 引言
03 § 2 . 4 . 3 极限定理与
停时
05 § 2 . 4 . 5 延迟更新过
程
02 § 2 . 4 . 2 N （t ） 的分
布与更新函数
04 § 2 . 4 . 4 更新定理及
其应用
06 § 2 . 4 . 6 有酬更新过
§5.2平稳过程和相关函数的谱分 解
§5.2.2平稳 过程的谱分 解
§5.2.1相关 函数的谱分 解
§5.2.3平稳 过程的线性 运算
第五章平稳过程
§5.3均方遍历性
0 1 §5.3.1平稳过程均方遍历性的基本概 念
0 2 §5.3.2平稳过程的遍历性定理
第五章平稳过程
§5.4线性系统中的平稳过程
§5.4.1线性时不变 系统
§5.4.2输入为平稳 过程的情形
§5.4.3平稳相关过 程和互谱函数
第五章平 稳过程
§5.5平稳过程的采样定 理
§5.5.1采样 定理
1
§5.5.2白噪 声
2
07 参考文献
参考文献
感谢聆听
第四章随机分析 与随机微分方程
§4.1二阶矩过程和二阶矩随机变 量空间H
§4.1.2二阶 矩随机变量 空间H
§4.1.1二阶 矩过程
§4.1.3均方 极限的性质
第四章随机分析 与随机微分方程
§4.2二阶矩过程的均方微积 分
§4.2.1均方连 续性
01
§4.2.3均方积 分
03
§4.2.5均方导 数与均方积分 的分布
§1.3随机 变量的数
字特征
§1.4概率 论中常用 的几个变
第二章应用随机过程简介(1)
，
1
2
n
Xn
0
n n
……
0例2．当 t (t 0)固定时，电话交换站在 [0, t ]
间内来到的呼叫次数是 r v ，记 ， ， (t ) P(t ) X( 其中t ) X是单位时间内平均来到的呼叫次数， t 0 而 ，若 从 变到 0 ，时刻 来到的呼 t 叫次数需用一族随机变量 表示， X (t ), t [0, ) X (t ) 是一个随机过程. 对电话交换站作一次观察 E 可得到一条表 示 t 以前来到的呼唤曲线 x1 (t ) ，它为非降的阶 梯曲线，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加， （假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多 于一次呼唤）.
1 2 n
1
n
1
n
1
1
n
n
F ( x1,, xm ; t1, t2 ,, tm ) F ( x1,, xm , ,, ; t1, t2 ,, tn )
利用随机过程的统计特性(有限维分布族和数 字特征)进行分类, 主要有两类随机过程：平 稳过程与马尔可夫过程.下面我们介绍随机过 程中的一个重要定理： Theorem（Kolmogorov）若给定参数集 T 及 分布函数族 {F(x ,, x ; t ,, t ): n 1, t ,, t T} 满足相容性条 件，则必存在概率空间(,F , P)及定义于其上 的随机过程 {X (t), t T} ，使 X (t ) 的有限维分布函数 族与上述给定的分布函数族是重合的
2 X (t ) mX (t )
二、随机过程的协方差函数和相关函数
(covariance and correlation function ): 随机过程 X (t ) 的(自)协方差函数 ( X (t1 )与X (t2 ) 的协方差)
2016应用随机过程讲义第二篇
合分布函数全体，即：Ft ,t ,
1 2
, tn
x1 , x2 ,
, xn , t1 , t2 ,
, tn T , n 1
，称为
随机过程的有限维分布族；它具有如下性质： （ⅰ）对称性：对 12 n 的任一排列 i1i2 in ，有 Ft ,t , ,t xi , xi , , xi Ft ,t , ,t x1 , x2 , , xn ；
1 2 m 1 2 m m1 n
2t , 掷出反面；
2
求： X t 的一维分布函数 F1 x , F1 x 和二维分布函数 F1 ,1 x1 , x2 ； 【例 2.1.2】 设有随机过程 X t A Bt ， 其中 A, B 独立同 N 0,12 分 布，试求 X os t , t R ， A 是随机变量，且
1
1
1
仅描述随机过程在任一时刻取值的统计特性，而不能反映随 机过程各个时刻状态之间的联系； （b） t1 , t2 T , X t , X t 是二维随机向量，其联合分布函数为
Ft1 ,t2 x1 , x2 P X t1 x1 , X t2 x2
1
2
，称为随机过程的二维分布函数；
i1 i2 in 1 2 n 1 2 n
（ⅱ）相容性： m n ，有： Ft ,t , ,t x1 , x2 , , xm Ft ,t , ,t ,t , ,t x1 , x2 , , xm , , , 。 【例 2.1.1】利用重复掷硬币的试验可定义一个随机过程 cos t , 掷出正面； 1 X t , t ；已知 P 掷出正(反)面 ，试
李晓峰应用随机过程课后习题_随机过程答案CH1
习 题一、习题编号本次作业：1，2， 7，9，12，17，18，19，23，25 二、习题解答1.1 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次，观察H -正面，T -反面出现的情况，试分析它的概率空间(),,P Ω。
解1.1： 样本空间：Ω = {HH, HT, TH, TT}集类：F = { Ø, Ω, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},{HH,HT}, {HH, TH}, {HH,TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HT, TH, TT}, {TH, TT, HH}, }概率：P: P{HH} = P{HT} = P{TH} = P{TT} = 1/41.2 设,A B ∈Ω，集类{},A B =。
试求：()σ的所有元素。
解1.2：因为：{},A B =所以：(){},,,σ=∅Ω1.3 设四个黑球与两个白球随机地等分为A 与B 两组，记A 组中白球的数目为X ；然后随机交换A 与B 中一个球，再记交换后A 组中白球的数目为Y 。
试求：（1）X 的分布律；（2）Y|X 的分布律；（3）Y 的分布律。
解1.3：（1）总计有2个白球，因此，X 的取值为0，1，2。
等分共有36C 种分法，等分后，X 取值分别为0，1，2的概率为：3211244242333666012012131()()555XX C C C C C P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）交换一个球后，1）如果X 中没有白球，则交换后Y 可能取值为0、1 2）如果X 中有一个白球，则交换后Y 可能取值为0、1、2 3）如果X 中有两个白球，则交换后Y 可能取值为1、2|0|01|00|11|12|11|22|21225221(|)3399933Y XP Y X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）20()(|)()i P Y P Y X i P X i ====∑2(0)(0|)()1123359515i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯=∑2(1)(1|)()21532135953535i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯+⨯=∑2(2)(2|)()23110953515i P Y P Y X i P X i =======+⨯+⨯=∑故Y 的分布律为：012131()555YP Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1.4 设A 与B 是概率空间(),,P Ω上的事件，且()01P B <<，试证明：A 与B独立的充要条件为：()()|=|P A B P A B 。
应用随机过程第五版张波商豪教案
应用随机过程第五版张波商豪教案摘要：随机过程是概率论中的重要内容，通过对随机过程的学习和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
本教案分析了应用随机过程的相关案例，并结合张波商豪教授的第五版教材进行教学设计。
引言：应用随机过程是一个有趣且实用的领域，它可以帮助我们了解和模拟现实世界中的随机现象。
在现代科学和工程领域，应用随机过程的知识和方法被广泛应用于通信、金融、电力系统、生物医学工程等诸多领域。
通过学习和应用随机过程，我们可以更好地理解和预测这些领域中的随机现象，提高问题解决的效率和准确性。
主体：1. 应用随机过程的基本概念和性质1.1 随机过程的定义和分类1.2 随机过程的性质：平稳性、独立增量性、Markov性2. 马尔可夫链的建模和分析2.1 马尔可夫链的定义和特性2.2 马尔可夫链的转移概率矩阵2.3 马尔可夫链的平稳分布2.4 马尔可夫链的应用案例3. 排队论的应用3.1 排队论的基本概念和模型3.2 M/M/1排队模型3.3 M/M/1排队模型的应用4. 随机过程在金融工程中的应用4.1 随机过程模型在金融衍生品定价中的应用4.2 随机过程模型在风险评估中的应用4.3 随机过程模型在投资组合优化中的应用5. 随机过程在通信系统中的应用5.1 随机过程模型在信道建模中的应用5.2 随机过程模型在网络性能评估中的应用5.3 随机过程模型在调度算法设计中的应用结论：应用随机过程是一个广泛而深入的领域，通过学习和应用随机过程的方法，我们可以更好地理解和解决实际问题。
本教案以张波商豪教授的第五版教材为基础，结合相关案例进行教学设计，旨在帮助学生掌握随机过程的基本概念和方法，并将其应用到实际问题中。
通过本教案的学习，学生将能够提高问题解决的能力和创新思维，为将来的学习和研究打下坚实的基础。
2016应用随机过程讲义第一篇
第一篇 概率论基础
§1.概率测度与概率空间 在概率论的发展早期，拉普拉斯（Laplace）给出了概率 的古典定义；但随着概率论研究范围的扩大，古典定义的局 限性也凸显出来。人们通过对“事件”和“概率”的长期研 究发现：事件的运算与集合的运算完全类似， “概率”也与 “测度”有着完全相同的性质。 19 世纪以后，数学界广泛流行着公理化浪潮，它们主张 把最基本的假定公理化，其它结论则由这些公理演绎导出。 这种背景下，出现了诸多的概率论的公理化结构，其中广泛 被接受的是 1933 年前苏联的柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov） 提出的公理化结构，从而使概率论成为严谨的数学分支。 所谓公理化的概率论，其实就是测度论式的概率论，是 建立在集合论与测度论基础上的概率论。 一、 事件域（事件 -代数） 用概率度量事件发生的可能性时，希望用简单事件的概 率来推算复杂事件的概率；那么一般情况下， 1.是否对任何基本事件都能给出概率？ 2. 当给出基本事件的概率后，是否可推算出其它事件的概 率？ 对于可列样本空间 ，结论是肯定的；但对一般的样本 空间， 答案却是否定的。 因为几何概型只对 的可测子集 （即: 有长度、 有面积、 有体积） 有定义， 而可测集远不能穷尽 的 一切子集。 这样， 一方面我们不必把 的一切子集作为事件； 另一方面，又必须把“感兴趣”的事件都包括进来；比如： 若 A 是事件，则 A （或 Ac ）也应是事件；若 A, B 是事件， 则 A B 也应是事件， 当然也要考虑可列并的情形； 此外， 作
2
为事件应是必然事件。我们把事件的全体记为 F ，则其应满 足：1） F ；2）若 A F ，则 A F ；3）若 An , n 1 F ，即：
n 1, An F ，则
n 1
大学应用随机过程完整版
k
概率空间
0 P ( A)
k A
e
λ
λ λ λ e 1; k ! kΩ k!
k
k
3) 设 Ai F , ( i 1,2, ), Ai A j , ( i j ),
k λ λ 有 P Ai e k! i 1 k Ai
概率空间
1) P(φ)=0; 2)有限可加性: 若
Ai F , i 1,2, , n; Ai A j , ( i j )
则
n P Ai i 1
P ( A );
i 1 i
n
推论1: P ( A ) P ( A ) 1;
推论2 (单调性):若 B A ，则
概率空间
Ex.1 在编号为1,2, …, n 的 n个元件中取一件. 1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为
Ak { k }
样本空间为
( k 1,2, , n )
Ω {1,2, , n}
构造如下事件: Ak , s Ak As k , s 1,2, , n , Ai , k , s Ai Ak As i , k , s 1,2, , n ………
i 1 i 1
i 1
i 1
概率空间
4.对差运算封闭,即若 A F, B F,则 A B F.
A B A B F
二、概率的公理化定义 柯氏公理体系是现代概率论的基石. 定义(概率)：设(Ω, F )是一可测空间,对A F 定义在F上的实值集函数P(A), 满足 1) 非负性：对 A F, 0 P ( A) 1; 2) 规范性:P(Ω) = 1;
应用随机过程(第三章)解析
是一个强度为λp的Poisson过程。
PM t m
PM t m Nt n m PNt n m
n0
Cmmn pm 1 p
e n t mn t
m n !
n0
et
pt m 1 p t n
m!n!
n0
et
pt m
m!
1 p t n
E
E
N t
t
i 1
Ti
N
N t 是强度为3的Poisson过程
PN
4
N
0
n
12n n!
e
12
PN
4
N
0
9
129 9!
e12
例3.2.2
• 假定某天文台观测到的流星流是一个 Poisson过程，以往资料统计，平均每小时 观察到3颗流星，试求上午8：00 ～12：00 期间，该天文台没有观测到流星的概率？
N t 是强度为3的Poisson过程
PNt h Nt 2 oh
定理3.1.1 满足上述条件(1) ′ ～(4) ′的计数过程
Nt,t 0 是Poisson过程。
反过来Poisson过程一定满足这四个条件。
例3.1.3
事件A的发生形成强度为λ的poisson过
程Nt,t 0 ，如果每次事件发生时以概率
p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t
n
Tn X i
i 1
Xi独立且服从相 同的指数分布
指数分布分n=1的Γ分布，且具有可 加性。定理得证。
证明2 Nt n Tn t
PTn t PNt n
et
t j
j!
jn
应用随机过程riemann-stieltjes积分_理论说明
应用随机过程riemann-stieltjes积分理论说明1. 引言1.1 概述随机过程是概率论与数学统计中的重要研究对象，它描述了随时间变化的随机现象。
而Riemann-Stieltjes积分作为一种重要的积分形式，广泛应用于众多数学和科学领域。
本文旨在探讨应用随机过程riemann-stieltjes积分理论的相关问题，以期揭示其在实际应用中的潜在意义。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、Riemann-Stieltjes积分理论、随机过程简介、Riemann-Stieltjes积分在随机过程中的应用以及结论与展望。
首先，在引言部分将简要介绍本文研究的背景和目标；接下来，将详细阐述Riemann-Stieltjes 积分理论及其定义、性质和应用；然后，介绍随机过程的基本知识、分类和特点；然后，深入讨论Riemann-Stieltjes积分在随机过程中的具体应用，包括引入、计算方法和实例研究；最后，在结论与展望部分总结文章内容发现，讨论不足之处并展望Riemann-Stieltjes积分在随机过程中更多的应用方向。
1.3 目的本文旨在探究Riemann-Stieltjes积分理论在随机过程中的应用。
首先，将介绍Riemann-Stieltjes积分的定义和性质，为后续的讨论奠定基础。
接着，重点关注随机过程的概念、分类和特点，以揭示其与随机变量之间的区别。
随后，在具体应用方面，将深入研究Riemann-Stieltjes积分在随机过程建模中的引入、计算方法和实例研究，并探讨其在实际应用中的意义。
最后，对本文进行总结归纳，并提出可能存在的不足之处，并展望Riemann-Stieltjes积分在随机过程中更多的潜在应用方向。
2. Riemann-Stieltjes积分理论:2.1 Riemann-Stieltjes积分的定义:Riemann-Stieltjes积分是一种对函数在有限区间上进行积分的扩展。
第一次课应用随机过程简介1
❖ [16] 谢衷洁，平稳时间序列分析，北大出版 社， 1990。
❖ [17] 赵达纲, 应用随机过程, 机诫工业出版社， 1993。
❖ [18] Robert.B.Ash,Topics in the Stochastic Processes , Academic Press INC.New york,1975
❖ 从1942年开始，日本数学家伊藤清（Itó）引进了随 机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究 的新道路，而且为一门意义深远的数学新分支—— 随机分析的创立与发展奠定了基础.
❖ 1930年左右，Wiener对概率论布朗运动研究使人 们常常将此类运动称为Wiener过程；另外，他在时 间序列的预测与滤波之理论建立亦做出贡献.
❖ [3] 复旦大学：《概率论第三册——随机过程》， 人民教育出版社，1981。
❖ [4] A.M.雅格龙：平稳随机函数导论，数学进展， 第2卷，第1期，1955。
❖ [5] 汪荣鑫编：《随机过程》，西安交通大学出版 社，2001
❖ [6] 安鸿志等：《时间序列的分析与应用》，科学 出版社，1986。
❖ [19] K.L,Chung.Lectures from Markov Processes to Brownian Motion,SpringerVerlag,1982
❖ [20] Edward,An Introduction to Stochastic Processes,Wadsworth Publishing Company(China Mashine Press,1997)
❖ 1931年Kolmogrov用分析的方法奠定了 Markov过程之理论基础；Kolmogrov之后， 在此研究中作出重大贡献而影响了整个概率 论的重要代表人物有P. Levy，（18861971）、辛钦（Khinchine 1894-1959）、
应用随机过程(第一章)
定理1.5.5 条件期望的基本性质
• 9.设X、及XY 的期望存在，且Y为G可测的 则： E XY G YE X G a.s.
• 10.若X，与G相互独立，则
E X G E X a.s
定理1.5.5 条件期望的基本性质
11.若G1，G2是两个子σ代数，使得G1 G2 F 则 EE X G2 G1 E X G1 a.s. 12.若X,Y是两个独立的随机变量，函数 G（x,y）使得 E g x, y ，则有：
§1.4 收敛性
• 定义1.4.1 • （1）设 X n , n 1 是随机变量序列，若存 在随机变量X使得：
p : X lim X n 1
n
则称随机变量 X n , n 1 几乎必然收敛于X 记为 a.s X n X , a.s 或 Xn X
几乎必然收敛 依概率收敛 依分布收敛 p次均方收敛 依概率收敛 依分布收敛
例1.4.1 1 Yki 0 n Z n 0
1 r
1, i i k k 1, i i k k
0, 1 n 0, 1 n
f1dp
则f的积分存在，且有：
f n d P fd P
定理1.4.3 Fatou引理
• 设随机变量 X n , n 1 的期望存在，则：
E lim inf X n lim inf E X n n n lim sup E X n E lim sup X n n n
随机变量的独立性
（4）设 X i , i I 是Ω上的一族随机变量，如 果σ代数族 X i , i I 是独立事件类，则称
随机过程与应用案例解析
随机过程与应用案例解析随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，它研究了随机现象在时间或空间上的演化规律。
它是一个随时间变化的随机变量序列，可以用于描述各种实际问题中的随机现象。
随机过程在科学研究和工程应用中起着重要的作用，下面我们将通过一个应用案例来解析随机过程在实践中的应用。
案例背景某电子产品制造公司生产的一款手机零件存在一定的故障率。
为了提高产品的质量，公司需要分析该手机零件的故障发生概率，并根据相关数据制定出合理的改进方案。
解析过程1. 数据收集首先，公司需要收集大量的该手机零件的故障数据。
可以通过对一批零件进行长时间的稳定测试，记录每个零件在不同时间段内是否发生了故障。
这些数据将用于建立随机过程模型。
2. 随机过程建模根据收集到的数据，我们可以将该手机零件的故障情况看作是一个随机过程。
可以选用一些常见的随机过程模型来描述手机零件的故障率，如泊松过程、马尔可夫过程等。
通过对数据进行分析，可以确定合适的模型并估计模型参数。
3. 概率计算在建立了随机过程模型之后，我们可以通过该模型计算出手机零件在不同时间段内故障的概率。
这将为公司提供了评估产品质量和改进方案的依据。
比如，我们可以计算出某个时间段内零件不发生故障的概率，进而估计出该时间段内的平均故障率。
4. 风险评估通过概率计算，公司可以对手机零件故障率的分布进行分析，进而评估产品的风险。
通过对风险的评估，公司可以制定出合理的改进方案，以提高产品的质量和可靠性。
5. 具体应用根据随机过程的分析结果，公司可以根据不同的时间段制定合理的维修计划。
比如，在故障率较高的时间段加大对零件的检测力度，并提前准备足够的备件。
同时，对于频繁出现故障的零件，可以进一步研究故障原因并提出改进措施，以降低故障率。
通过以上的案例解析，我们可以看到随机过程在实际应用中的重要性和灵活性。
它可以帮助我们分析和处理各种带有随机性的问题，并提供决策依据。
随机过程不仅在电子产品制造领域有广泛的应用，也被广泛应用于金融工程、通信网络、系统可靠性和排队论等领域。
第五章(1)--应用随机过程
其中γ为固定利率， {Xn，n ≥1}是一Markov链 ，转移概率为：
Sn Sn1 1 X n
pxy F y 1 x
Sn x , Sn1 y X n Sn 1 Sn1
n步转移概率与C－K方程
定义５.１.５ 称条件概率
n pij PX mn j X m i, i, j S ; m 0; n 1
定义5.1.1 随机过程过程 X n , n 0,1,2, 称作Markov链，若它只有有限或可列个值（ 若不另外说明，以非负整数集｛0，1，2， …｝来表示），并且对任意的n≥0，及任意 状态 i, j, i0 , i1, in1 ，有
PX n1 j X 0 i0 , X1 i1,, X n1 in1, X n i PX n1 j X n i
1 q P 0 0
0 0 q 0
0 p 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 1 n1 n1
例5.1.3 （带反射壁的随机游动 ）
在上例中若赌徒输光时有人给他1以让 他继续赌下去，就像在在左端有一个反射 壁一样。
定义 5.1.3 时齐Markov链
当Markov链的转移概率
pij PX n1 j X n i
只与状态i，j有关，而与时刻n无关时，称 之为时齐Markov链；否则，就称之为非时 齐的。
有限链、无限链。
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应用随机过程讲义 第一讲
9
n 1 k n
( Ak ) lim An lim sup An
n n
n 1 k n
( Ak ) lim An lim inf An
n n n n
如果 lim An lim An， 则定义 lim An lim An lim An .
k 1 k 1
2018/10/12
n
n
应用随机过程讲义 第一讲
19
4.
A, ( AB) 若B A P( A B) P( A) P( B)
5. 6.
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
若A B, 则P( A) P( B)
2018/10/12
应用随机过程讲义 第一讲
20
7.
Ak ,1 k n, n 2, P( Ak ) P( Ak )
k 1 k 1 n n 1i j n
P( A A ) P( A A A )
i j 1i j n i j k
... (1) n 1 P( A1 A2 ...An )
概率空间 (, , P) ：集合，样本空间 ：集类， 代数 A：的元素，事件 P( A)：事件的概率
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P：完全可加的集函数， 概率
应用随机过程讲义 第一讲
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1. 古典概型 A
( A) A中的样本点数目 P( A) () 中的样本点数目
应用随机过程
清华大学数学科学系
林元烈 主讲
教材：《应用随机过程》（第三次印刷）
林元烈，清华大学出版社
学习要求
• 不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想
• 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
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学习重点
1. 用随机变量表示事件及其分解——基本理 论 2. 全概率公式——基本技巧 3. 数学期望和条件数学期望——基本概念
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公理化定义
集类
粗略地说，由的子集作为元素构成的 的集合 称为集类。 {, }是最简单的集类。
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概率
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概率的性质
1. 2. 3.
显然有＝ ... ，P() P(),
k 1
由概率非负性即得
P() 0
P( A) 1 P( A)
有限可加性
由P() 0及完全（可列）可加性 即得
若A1 , A2 ,...An , 且AA ＝(i j ), 则 P( Ak ) P( Ak )
事件的关系与运算
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事件序列{ A, n 1} 若An An 1 , 称之为单调不减序列。
n 1
An lim An
n
若An 1 An , 称之为单调不增序列。
n 1
An lim An
n
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隐含了等可能条件 2. 几何概型 A点集的面积 P( A) 点集的面积 隐含了等可能条件
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概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。 可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的 点集即为可测集；反之称为不可测集。
林元烈，清华大学出版社
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• Buffon试验：最早用随机试验的方法求 某个未知的数。 • 测度：满足非负性、可列可加性的集函 数。
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第一讲
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随机事件与概率
随机试验
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要点： • 在相同条件下，试验可重复进行； • 试验的一切结果是预先可以明确的，但每 次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结 果。
n n n
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示性函数
1, A I A ( ) 0, A 事件{ : I A ( ) 1} A 事件{ : I A ( ) 0} A
是最简单的随机变量
用随机变量来表示事件
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用示性函数的关系及运算来 表示相关事件的关系及运算
min(a, b) a b, 取下端 max(a, b) a b, 取上端 I A B ( ) I A ( ) I B ( ) I A B ( ) I A ( ) I B ( ) 若A B, 则I A－B ( ) I A ( )－I B ( ) A B I A ( ) I B ( ) A B I A ( ) I B ( ) ，
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样本点 对于随机试验E，以ω表示它的一个可能 出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。
样本空间 样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。 Ω ＝{ω}
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随机事件 粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件， 用大写英文字母A、B、C等来表示。
8. 可列次可加性
P( Ak ) P( Ak )
k 1 k 1
9. 概率连续性
若{ An , n 1}为单调事件序列，则 P(lim An ) lim P( An )
n n
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这部分的详细讨论可以参见
《随机数学引论》