高二数学《面面垂直的判定和性质》ppt课件

建筑工人砌墙时， 建筑工人砌墙时 ， 常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 大家知道其中的理论根据吗？ 大家知道其中的理论根据吗？ 那么所砌的墙面与地面垂直。 那么所砌的墙面与地面垂直。
问题
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
例2题目 1) 例2解答 题目 解答
2) 例2解答 解答
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 应用 小结 作业
垂直于☼ 所在的平面 所在的平面， 为垂足 为垂足， 例2、已知直线 垂直于☼O所在的平面，A为垂足，AB 、已知直线PA垂直于 的直径， 是圆周上异于 是圆周上异于A、 的一点 的一点。 为☼O的直径，C是圆周上异于 、B的一点。 的直径 1) 求证：平面PAC⊥平面 求证：平面 ⊥平面PBC； ； 证明： 证明：
判定定理
判定方法 证明 证明过程 判定方法
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
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问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论
注
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
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在刚才的命题中，直线 ，平面α 平面β有以下三种关系： 在刚才的命题中，直线AB，平面α ，平面β有以下三种关系：
小结
作业
α A
D
α A β
D B C
β
B C
练习2 问题 发现 猜想 证明 证明过程
结论
注 注
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
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直线AB 平面β 直线AB⊥ 平面β 在刚才的三个条件中， 在刚才的三个条件中， ⇒平面α 平面β。 平面α 平面β ⊥ 直线AB 平面α 直线AB⊂ 平面α
再选取两个条件作为前提，另一个条件作为结论构造命题， 再选取两个条件作为前提，另一个条件作为结论构造命题，即
平面α 平面β ⊥ 平面α 平面β 直线AB 平面α 。 ⇒直线AB⊂ 平面α 直线AB 平面β 直线AB⊥ 平面β
请判断命题的真假。 请判断命题的真假。 若是真命题，请给出证明； 若是真命题，请给出证明； 若不是，那么添加什么条件可使命题为真？ 若不是，那么添加什么条件可使命题为真？
α A
D
β
E B C
问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论
注
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
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已知：平面 平面β 平面α 平面β=CD β=CD， 已知：平面α ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD， A∈平面 ， AB⊥CD且AB交CD于B。 平面α 平面 AB⊥CD且AB交CD于 求证：直线AB⊥平面β 求证：直线AB⊥平面β。 AB⊥平面 证明： 证明： 在平面β内过B点作BE⊥CD， 在平面β内过B点作BE⊥CD， BE⊥CD
注
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 性质定理 小结 作业
平面与平面垂直的性质定理是： 平面与平面垂直的性质定理是： 如果两个平面相互垂直， 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α 直线AB 平面α 直线AB⊂ 平面α 直线AB 平面β 。 A ⇒直线AB⊥ 平面β ∩ 平面α 平面β 平面α 平面β=CD D AB ⊥CD
B C
平面α 平面β ⊥ 平面α 平面β
β
猜想 问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论
注
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
AB是圆O AB是圆O的直径 是圆 BC⊥ ⇒BC AC 是圆周上异于A 的一点 C是圆周上异于A、B
已知：直线 ⊥平面β 直线AB⊂平面α 求证：平面α ⊥平面β。 求证：平面α 平面β 已知：直线AB⊥平面β，直线 ⊂平面α。 在平面β内过B点作BE⊥CD BE⊥CD。 在平面β内过B点作BE⊥CD。 证明： β=CD， 证明：设α ∩ β=CD，则AB ∩ β=B ，
AB ⊥β AB ⇒AB⊥ CD ⇒∠ABE是二面角α CD−β ABE是二面角 − 是二面角α CD ⊂β BE ⊥ CD 的平面角
α A
D
α A β
D
β
B C
B C
那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，可使命题为真？ 那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，可使命题为真？
发现 问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论
注
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
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猜想， 猜想，得： 若增加条件AB⊥ ，则命题为真， 若增加条件 ⊥CD，则命题为真，即
——它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。 它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。 它就是本节课的内容之一
问题
问题2 问题 引入
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
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判定定理
证明
证明过程 判定方法
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
α A
D
AB ⊥β AB⊥ ⇒ AB BE ⇒∠ABE = 90° BE ⊂β
⇒二面角α CD −β为直二面角 二面角α − 。
β
E B C
⇒平面α 平面β。 平面α 平面β ⊥
证明 证明过程 判定方法 退出
判定定理
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
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平面与平面垂直的判定定理是： 平面与平面垂直的判定定理是： 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面相互垂直。 垂线，那么这两个平面相互垂直。
α A
D
β
B C
判定定理 判定定理 证明 证明过程 判定方法
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
面面垂直的判定方法： 面面垂直的判定方法： 1、定义法： 、定义法： 找二面角的平面角
小结
作业
说明该平面角是直角。 说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。） 一般通过计算完成证明。） 2、判定定理： 、判定定理： 要证两个平面垂直， 要证两个平面垂直， 两个平面垂直 只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。 另一个平面的一条垂线。 （线面垂直⇒面面垂直） 线面垂直⇒面面垂直）
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
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例1
例2
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
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垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 所在的平面， 为垂足 为垂足。 例1、已知直线 垂直正方形 、已知直线PA垂直正方形 所在的平面 求证：平面 求证：平面PAC⊥平面 ⊥平面PBD。 。
请判断命题的真假。 请判断命题的真假。 问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 问题
注
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
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该命题是假命题。 该命题是假命题。 不一定能与平面β 由平面α ⊥平面β，平面α 内的直线 不一定能与平面β垂直。 平面α 平面β 平面α 内的直线AB不一定能与平面 垂直。
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建筑工人砌墙时， 建筑工人砌墙时 ， 常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？ 那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
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问题
问题2 问题 引入
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α A
D
β
B C
问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论
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1) 面面垂直⇒线面垂直； 面面垂直⇒线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线） 线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线） 平面α 平面β 要过平面α 内一点引平面β的垂线， 2) 平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β的垂线， 只需过这一点在平面α 内作交线的垂线。 平面α 内作交线的垂线。 平面
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已知：直线 ⊥平面β 直线AB⊂平面α 已知：直线AB⊥平面β，直线 ⊂平面α。 求证：平面α 平面β 求证：平面α ⊥平面β。
小结
作业
α A
D
β
E B C
证明 判定定理 证明 证明过程 判定方法
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直线AB 平面β 直线AB⊥ 平面β 平面α 平面β ⊥ ⇒平面α 平面β。 直线AB 平面α 直线AB⊂ 平面α
如果仍然选取其中两个条件作为前提，另一个条件作为结论 如果仍然选取其中两个条件作为前提， 构造这样的一个命题： 构造这样的一个命题：
平面α 平面β ⊥ 平面α 平面β 直线AB 平面β 。 ⇒直线AB⊥ 平面β 直线AB 平面α 直线AB⊂ 平面α
AB ⊥ CD ABE是二面角 − 是二面角α ⇒∠ABE是二面角α CD−β BE⊥ BE ⊥ CD ⇒∠ABE = 90°。 的平面角 α ⊥ α β
A
D
⇒AB BE AB⊥ AB⊥ AB CD
β
E
B C
BE ⊂β CD ⊂β
⇒AB β。 AB⊥
BE∩CD = B
证明过程 问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
已知：平面 平面β 平面α 平面β=CD β=CD， 已知：平面α ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD， A∈平面 ， AB⊥CD且AB ∩ CD=B。 平面α 平面 AB⊥CD且 CD=B。 求证：直线AB⊥平面β。 求证：直线AB⊥平面β AB⊥平面 在平面β内过B点作BE⊥CD 在平面β内过B点作BE⊥CD
P
A
D
O
B C
例1题目 题目
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垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 所在的平面， 为垂足 为垂足。 例1、已知直线 垂直正方形 、已知直线PA垂直正方形 所在的平面 求证：平面 求证：平面PAC⊥平面 ⊥平面PBD。 。
P
证明： 正方形ABCD ABCD中 C 证明： 正方形ABCD中，A ⊥ BD
A
D
O
B C
平面ABCD PA ⊥ 平面ABCD ⇒PA ⊥ BD 平面ABCD BD ⊂ 平面ABCD 平面PAC PAC， 平面PAC AC ⊂ 平面PAC，PA⊂ 平面PAC AC∩PA = A
⇒ BD 平面PAC ⇒平面PAC 平面PBD BD⊥ 平面PAC PAC⊥ 。 平面PAC 平面PBD BD⊂ 平面PBD BD 平面PBD
例1题目 题目
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垂直于☼ 所在的平面 所在的平面， 为垂足 为垂足， 例2、已知直线 垂直于☼O所在的平面，A为垂足， 、已知直线PA垂直于 AB为☼O的直径，C是圆周上异于 、B的一点。 的直径， 是圆周上异于 是圆周上异于A、 的一点 的一点。 为 的直径 1) 求证：平面PAC⊥平面 求证：平面 ⊥平面PBC； ； 2) 若PA=AB=a, AC = 6 a，求二面角A− PB− C的大小。 求二面角A 的大小。 3