二元函数的泰勒公式

§10.4. 二元函数的泰勒公式
一、高阶偏导数
二元函数),(y x f z =的两个（一阶）偏导数y
z
x z ∂∂∂∂,仍是x 与y 的二元函数.若它们存在关于x 和y 的偏导数，即
.,;,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y z y z x z x z y z x z x z 称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个.通常将它们表为：
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x z 表为 22x
z
∂∂ 或 ).,(y x f xx
'' ⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂x z y z 表为
y x z ∂∂∂2 或 ).,(y x f xy '' （混合偏导数） ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂y z x z 表为 x y z ∂∂∂2 或 ).,(y x f yx
'' （混合偏导数） ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂∂∂y z y z 表为 22y
z ∂∂ 或 ).,(y x f yy
'' 一般地，二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有n 2个.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号
k k n n y
x z
∂∂∂- 或
),()(y x f n y x k k n -
表示二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数，其次接着对
y 求k 阶偏导数.
二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.
例1. 求函数 332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.
解：
.233.63223232xy x y x y
z
y xy y x x z
+-=∂∂+-=∂∂ .66322y xy x
z
-=∂∂
.269222y x y x x y z +-=∂∂∂ .2692
22y x y x y x z +-=∂∂∂ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂=∂∂∂x y z y x z 22 .26322x y x y
z
+=∂∂
例2. 证明：若,)()()(,1
222c z b y a x r r
u -+-+-==则
.0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u
y u x u
证明： 由§10.3.例2，有
.,,333r
c
z z u r
b
y y u r
a x x u --=∂∂--=∂∂--=∂∂
6
2
32
2
3)(r x r
r a x r x u
∂∂---=∂∂ ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∂∂r a x x r 6
2
33)(r r a
x r a x r ----=.)(3125
3a x r r -+-=
同样，可得
.)(31,
)(3
12
5
32225322c z r
r z u b y r r y u -+-=∂∂-+-=∂∂ 于是，])()()[(3
322253222222c z b y a x r r z u y u x u -+-+-+-=∂∂+∂∂+∂∂
.03
333=+-
=r
r
定理1. 若函数),(y x f 在点),(00y x P 的邻域G 存在二阶混合偏导数),(y x f xy
''与),(y x f yx
''，并且它们在点),(00y x P 连续，则
),(),(0000y x f y x f yx xy
''='' )1(
证明 令),(y x F ∆∆[]),(),(0000y x x f y y x x f ∆+-∆+∆+= []),(),(0000y x f y y x f -∆+-，
①令),(),()(00y x f y y x f x -∆+=φ.对)(x φ在],[00x x x ∆+上应用拉格朗日中值定理,得 x x x y x F ∆∆+'=∆∆)(),(10θφ
[]x y x x f y y x x f x x ∆∆+'-∆+∆+'=),(),(010010θθ y x y y x x f xy
∆∆∆+∆+''=),(2010θθ； ②令),(),()(00y x f y x x f y -∆+=ψ.同样方法可以得到
y x x y x x f y x F yx
∆∆∆+∆+''=∆∆),(),(4030θθ.于是有 =∆+∆+''),(2010y y x x f xy
θθ),(4030x y x x f yx ∆+∆+''θθ. 令0,0→∆→∆y x ,取极限得(1)式.
例3. 证明：若,sin ,cos ),,(ϕρϕρ===y x y x f z 则
.112
22222222ρρϕρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂f
f f y f x f 证明：
ρρρ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂y y f x x f f .sin cos ϕϕy f
x
f ∂∂+∂∂=
ϕϕϕ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y y f x x f f .cos sin ϕρϕρy
f
x f ∂∂+∂∂-= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ϕϕρρρρsin cos 22y f
x f f f f f .sin cos sin cos sin cos 222222
22ϕϕϕϕϕϕy f x y f y x f x f ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ϕρϕρϕϕϕϕcos sin 22y f x f f f f f ϕρϕϕρϕρcos cos sin sin 222
222x f y x f x
f ∂∂-∂∂∂-
∂∂=
.sin cos cos sin 222222ϕρϕρϕϕρy f
y
f x y f ∂∂-∂∂+∂∂∂-
于是，)cos (sin )sin (cos 112
22
2222222222ϕϕϕϕρρϕρρ+∂∂++∂∂=∂∂+∂∂+∂∂y f x f f f f ρ
ϕ
ρϕρϕρϕsin cos sin cos y f x f y f x f ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-
.2222y
f x f ∂∂+∂∂= 即 .11222222222ρ
ρϕρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂f
f f y f x f
★说明：定理1的结果可推广到n 元函数的高阶混合偏导数上去.例如，三元函数),,(z y x f 关于z y x ,,的三阶偏导数按照不同的顺序共有六个：
.,,,,,333333x
y z f
y
x z f
y
z x f
x
z y f
z
x y f
z
y x f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 若它们在点),,(z y x 都连续，则它们相等.若二元函数),(y x f 所有的混合高阶偏导
数都连续，则偏导数（亦称一阶偏导数）有二个，二阶偏导数只有三个)(yx xy
f f ''=''，三阶偏导数只有四个.一般情况，n 阶偏导数只有1+n 个.
二、二元函数的泰勒公式
讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数.应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式.
为了将二元函数),(y x f 在点),(k b h a Q ++的函数值),(k b h a f ++在点
),(b a P 展成泰勒公式，作辅助函数
,10),,()(≤≤++=t kt b ht a f t ϕ
即 .10,,
),
,()(≤≤+=+==t kt b y ht a x y x f t ϕ
显然，).,()1(,1);,()0(,0k b h a f t b a f t ++====ϕϕ于是，函数),(k b h a f ++在点),(b a P 展成的泰勒公式就是一元函数)(t ϕ在点0的泰勒公式（即麦克劳林公式）在1=t 的值.
定理2. 若函数),(y x f 在点),(b a P 的邻域G 存在n+1阶连续的偏导数，则
G k b h a Q ∈++∀),(，有
+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=++),(!21),(!11),(),(2
b a f y k x h b a f y k x h b a f k b h a f ,10),,()!1(1),(!11
<<++⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++θθθk b h a f y k x h n b a f y k x h n n n
（4）
其中符号),(b a f y x l i
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂表示偏导数l i l i y x f ∂∂∂+在),(b a P 的值， ),(),(0b a f y x k h C b a f y k x h i m i m i
m i m
i i m m
--=∂∂∂=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∑.
（4）式称为二元函数),(y x f 在),(b a P 的泰勒公式.
在泰勒公式（4）中，令0,0==b a ，就得到二元函数),(y x f 的麦克劳林公式（将h 与k 分别用x 与y 表示）：
+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=)0,0(!21)0,0(!11)0,0(),(2
f y y x x f y y x x f y x f 10),,()!1(1)0,0(!11
<<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++θθθy x f y x x n f y y x x n n n
（5）
在泰勒公式（4）中，当0=n 时，有
k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x ),(),(),(),(θθθθ++'+++'+=++，
或10,),(),(),(),(<<++'+++'=-++θθθθθk k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x .
（6）
（6）式二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个θ.
在泰勒公式（4）中，当1=n 时，有
k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x ),(),(),(),(θθθθ++'+++'=-++
)
7(.10},),(),(2),({2
1
22<<++''+++''+++''+θθθθθθθk k b h a f hk k b h a f h k b h a f yy
xy xx
例4. 将函数y x e y x f +=),(展成麦克劳林公式.
解： 函数y x e y x f +=),(在2R 存在任意阶连续偏导数，且
1)0,0(,
=∂∂∂=∂∂∂+++f y
x e y x f
l
m l
m y x l m l m ， m 与l 是任意非负整数.由公式（5），有
.
10,)()!
1(1
)(!
1
)(!21)(1)(12<<++++++++
++=+++θθy x n n y x e y x n y x n y x y x e
三、二元函数的极值
1. 极值点的定义
定义 设函数(,)f x y 在点(,)P a b 的邻域G 有定义.若(,)a h b k G ∀++∈，有
(,)(,)
((,)(,))f a h b k f a b f a h b k f a b ++≤++≥，
则称(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点（极小点）.极大点（极小点）的函数值(,)f a b 称为函数(,)f x y 的极大值（极小值）.
极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.
例如，点(1,2)是函数22(,)(1)(2)1f x y x y =-+--的极小点，极小值是
(1,2)1f =-.
事实上，(,)x y ∀，有
22(1)(2)0x y -+-≥， 于是 (,)(1,2).f x y f ≥
2. 极值点的必要条件
定理3. 若函数(,)f x y 在点(,)P a b 存在两个偏导数，且(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点，则
(,)0x f a b '= 与 (,)0y f a b '=.
证明：已知(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点，即x a =是一元函数(,)f x b 的极值.根据一元函数极值的必要条件，a 是一元函数(,)f x b 的稳定点，即
(,)0x f a b '=. 同法可证， (,)0y f a b '=.
方程组 (,)0,
(,)0,x y
f x y f x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 的解（坐标平面上某些点）称为函数(,)f x y 的稳定
点.
★定理3指出，可微函数(,)f x y 的极值点一定是稳定点.反之，稳定点不一定是极值点.例如，函数（双面抛物面） 22(,)f x y x y =-. 2,
2.x y f x f y ''==-
显然，点(0,0)是函数22(,)f x y x y =-的稳定点.但点(0,0)并不是函数
22(,)f x y x y =-的极值点.
3. 极值点的充分条件
定理4. 设函数(,)f x y 有稳定点(,)P a b ，且在点(,)P a b 的邻域G 存在二阶连续偏导数.
令 (,),(,),(,).xx
xy
yy
A f a b
B f a b
C f a b ''''''=== 2.B AC ∆=-
1）若0∆<，则(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点：
（ⅰ）0(A >或C>0)，(,)P a b 是函数(,)f x y 的极小点. （ⅱ）0(A <或C<0)，(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点. 2）若0∆>，则(,)P a b 不是函数(,)f x y 的极值点.
注：当判别式0∆=时，稳定点(,)P a b 可能是函数(,)f x y 的极值点，也可能不是函数(,)f x y 的极值点.例如，函数
2222222123(,)(),
(,)(),
(,).f x y x y f x y x y f x y x y =+=-+=
不难验证，(0,0)P 是每个函数唯一的稳定点，且在稳定点(0,0)P 每个函数的判别式20B AC ∆=-=.显然，稳定点(0,0)P 是函数2221(,)()f x y x y =+的极小点；
是函数2222(,)()f x y x y =-+的极大点；却不是函数23(,)f x y x y =的极值点.
求可微函数f(x,y)的极值点的步骤：
1）求偏导数，解方程组(,)0,
(,)0,x y
f x y f x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩求稳定点.设其中一个稳定点是(,)P a b .
2）求二阶偏导数，写出
2
(,)(,)(,).xy xx
yy f x y f x y f x y ''''''⎡⎤-⎣⎦ 3）将稳定点(,)P a b 的坐标代入上式，得判别式
2
(,)(,)(,).xy xx
yy f a b f a b f a b ''''''⎡⎤∆=-⎣⎦ 再由∆的符号，根据下表判定(,)P a b 是否是极值点：
例6. 求函数333z x y xy =+-的极值. 解： 解方程组
2
2
(,)320,
(,)330.x y
f x y x y f x y y x '⎧=-=⎪⎨'=-=⎪⎩ 解得两个稳定点（0，0）与（1，1）.求二阶偏导数
(,)6,(,)3,(,)6.xx
xy
yy
f x y x f x y f x y y ''''''==-= 2[(,)](,)(,)936.xy
xx yy f x y f x y f x y xy ''''''-=- 在点(0,0),90,(0,0)∆=>不是函数的极值点.
在点(1,1),270,∆=-<且60,(1,1)A =>是函数的极小点，极小值是 33(1,1)
(3)
1x y xy +-=-.
4. 二元函数f （x ，y ）在实际问题中的最大、最小值
一般来说，求函数(,)f x y 在D 的边界上的最大（小）值是很困难的.但是，在很多实际问题，根据问题的实际意义，函数(,)f x y 的最大（小）值必在区域D （D 可以是无界区域）内某点P 取得，又函数(,)f x y 在D 内只有一个稳定点P ，
那么函数(,)f x y 必在这个稳定点P 取得最大（小）值.
例7. 用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱，问怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板.
解： 设水箱长、宽、高分别是,,x y z .已知xyz V =，从而高V
z xy
=.水箱表面的面积
11(22)2V
S xy x y xy V xy x y ⎛⎫=+
+=++ ⎪⎝⎭
， S 的定义域{}(,)0,0D x y x y =<<+∞<<+∞.
这个问题就是求函数S 在区域D 内的最小值.
解方程组
22
221220,1220.
S V y V y x x x S V x V x y y y ⎧∂⎛⎫
=+-=-= ⎪⎪∂⎝⎭⎪
⎨⎛⎫∂⎪=+-=-= ⎪⎪∂⎝⎭⎩
在区域D
内解得唯一稳定点.求二阶偏导数
22
34,S V
x x
∂=∂ 21S x y ∂=∂∂， 2234S V y y ∂=∂. 2
2222
2233161S S S V x y x y
x y ⎛⎫∂∂∂-⋅=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭.
在稳定点，30∆=-<，且20A =>
，从而，稳定点是S 的极小点.因此，函数S
在点取最小值.
当x y ==
z ==
即无盖长方形水箱2
x y z ===
，所需钢板最省. 例8. 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 解：设三角形的三个边长分别是,,x y z .面积是ϕ.由海伦公式，有
ϕ= （8）
已知22x y z p z p x y ++==--或，将它代入（8）式之中，有
ϕ=因为三角形的每边是正数而且小于半周长p ，所以ϕ的定义域 {}(,)0,0,D x y x p y p x y p =<<<<+>.
已知ϕ的稳定点与2
p ϕ的稳定点相同.为计算方便，求
2
()()()p x p y x y p p
ϕψ=
=--+-
的稳定点.解方程组
(,)()()()()()(22)0.(,)()(_()()()(22)0.x y x y p y x y p p x p y p y p x y x y p x x y p p x p y p x p y x ψψ'=--+-+--⎧⎪=---=⎪
⎨'=--+-+--⎪⎪=---=⎩
在区域D 内有唯一稳定点22,33p p ⎛⎫
⎪⎝⎭.求二阶偏导数 (,)2(),(,)2()3,xx
xy x y p y x y x y p ψψ''''=--=+- (,)2().yy x y p x ψ''=--
22
2
2
[(,)](,)(,)444885.
xy xx yy x y x y x y x xy y px py p ψψψ''''''-=++--+
在稳定点22,33p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，220,033p A p ∆=-<=-<.从而，稳定点22,33p p ⎛⎫
⎪⎝⎭
是函
数ψ，即ϕ的极大点.由题意，ϕ在稳定点22,33p p ⎛⎫
⎪⎝⎭
必取到最大值.当23p x =，23p y =
时，223p
z p x y =--=，即三角形三边长的和为定数时，等边三角形的面积最大.。