《数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]
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第十一章 反常积分复习自测题
一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题：
1、正确地判断下列反常积分的敛散性：
（1）1d p a
x x
+∞⎰（0a >）；（2）01d a p x x ⎰（0a >）；（3）01
d p x x +∞⎰（0a >）。 2、正确地判断下列反常积分的敛散性：
（1）1d (ln )
p
a
x x x +∞⎰
（1a >）；（2）1
1d (ln )
a p
x x x ⎰
（1a >）；（3）1
1d (ln )
p
x x x +∞⎰
。
3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1）
2
1d 1x x
+∞+⎰
；
（2）2
1d 1x x
+∞-∞
+⎰；
（3）10
x ⎰；（4）11
x -⎰
。
4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶
函数的积分特征）
（1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记
()lim ()x F f x →+∞
+∞=，
则无穷积分()d a
f x x +∞⎰
收敛⇔()lim ()x F f x →+∞
+∞=存在，且
()d ()
a
f x x F x a
+∞+∞=⎰
。
（2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记
()lim ()x F f x →+∞
+∞=，()lim ()x F f x →-∞
-∞=，
则无穷积分()d f x x +∞-∞
⎰
收敛⇔()lim ()x F f x →+∞
+∞=和()lim ()x F f x →-∞
-∞=都存在，且
()d ()
a
f x x F x a
+∞+∞=⎰
。
（3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且l i m ()()x f x g x →+∞
存在，则无穷积分
()()d a
f x
g x x +∞'⎰
收敛⇔
()()d a
f x
g x x +∞'⎰
收敛，且
()
()()d ()()()()d a
a
f x
g x x f x g x f x g x x a
+∞+∞+∞''=
-
⎰
⎰
，
其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞
+∞+∞=。
（4）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()x t ϕ=在[,)αβ（其中β为有限数或+∞）上连续可导，且严格单调递增，([,))[,)a ϕαβ=+∞，则无穷积分()d a
f x x +∞⎰收敛⇔积分(())()d f t t t βα
ϕϕ'⎰
收
敛，且
()d (())()d a
f x x f t t t β
α
ϕϕ+∞'=
⎰
⎰。
（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续， 若()f x 为偶函数，则()d f x x +∞-∞
⎰
收敛⇔
()d f x x +∞⎰
收敛，且
()d 2()d f x x f x x +∞+∞
-∞
=⎰
⎰
；
若()f x 为奇函数，则()d f x x +∞-∞
⎰
收敛⇔
()d f x x +∞⎰
收敛，且()d 0f x x +∞-∞
=⎰
。
提示：注意由换元法可得
000
()d ,()d ()d ()d ()d ,x t
f t t f f x x f t t f t t f t t f +∞=-+∞+∞
-∞
+∞
⎧⎪=-
-=
-=⎨
⎪-⎩⎰⎰
⎰
⎰
⎰为偶函数
为奇函数。 二、举例说明下面关系不一定成立：
1、瑕积分()d b a
f x x ⎰
收敛不一定能推出瑕积分2
()d b a
f x x ⎰
；无穷积分()d a
f x x +∞⎰
收敛也不
一定能推出无穷积分2
()d a
f x x +∞⎰
收敛；
注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。 2、无穷积分()d a
f x x +∞⎰
收敛不一定能推出无穷积分()d a
f x x +∞⎰
收敛；
注：注意与定积分的绝对值性质的区别。 3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d a
f x x +∞⎰
收敛，则lim ()0x f x →+∞
=不一定成立；
三、通过下面的问题探索lim ()x f x →+∞
的情况：
1、设函数()f x 定义在[,)a +∞上，且在任何[,][,)a u a ⊂+∞上可积，()d a
f x x +∞⎰
收敛，若
lim ()x f x A →+∞
=存在，则lim ()0x f x →+∞
=；
2、利用1探索：
（1）设函数()f x 在[,)a +∞上单调，且()d a
f x x +∞⎰
收敛，则lim ()0x f x →+∞
=；
（2）设函数()f x 在[,)a +∞上连续可导，且()d a
f x x +∞⎰
与()d a
f x x +∞'⎰
都收敛，则
lim ()0x f x →+∞
=；