二叉树方法

衍生证券定价的二叉树方法
基本思想 一般方法 风险中性定价 应用
数值方法分类
二叉树
Binomial Trees
金融定价中的数值方法
Numerical Methods in Finance
Monte Carlo模拟
Monte Carlo Simulation
有限差分
Finite Difference Methods
S0d4 , q4
S t,i S 0 u t id i,t 0 T ,i 0 t pt,i Cti ptiqi
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衍生证券的价格
S0, 1
S0u2, p2
S0u, p
S0ud, 2pq
… …
S0d, q
…
S0d2, q2
… …
S0uT, pT S0uT-1d , CT1pT-1q
231.36 66.65
424.19 0.00
356.73 0.00
300.00 0.00
252.29 47.71
212.17 87.83
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衍生证券的价格－期权
美式看跌期权
424.19
0.00 389.00
356.73
0.00
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二叉树模型－基本思想
假设基础资产价格的运动是由大量的小幅 度二值运动构成，在每个小的时间间隔内 资产的价格只有两种运动的可能：上升或 者下降
p
S0u
S0
1-p
S0d
通过现金流再造技术和无套利原理求解衍 生证券的价格
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衍生证券的价格－期权
看涨期权（欧式、美式）
f0 ,0 e rT T i 0p T ,im a x {S T ,i K ,0 )
欧式看跌期权
f0 ,0 e rT T i 0p T ,im a x {K S T ,i,0 )
美式看跌期权
f t , i m a x { m a x { K S 0 u t i d i , 0 } ,e r D t ( p f t 1 , i q f t 1 , i 1 ) }
执行期权
等待
按照以上算法，只要给定 fT, 0 … fT, T ，就可以通过逆 推的法则求出美式看跌期权在当前时间的价格f0, 0
p Su S
1-p Sd
风险中性世界
Dt
Δt内的均值： pu(1p)d e rDt
Δt内的方差： pu2(1p)d2e2rDt 2 D t
附加条件
(1) u 1 perD td,ueD t,deD t
d
ud
(2) p 1 u e ( r 2 /2 ) D tD t,d e ( r 2 /2 ) D tD t 2
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二叉树模型－基本思想
Dt=1
单期树
Dt=1/2
Dt=1/n
二期树
n期树
正态 分布
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二叉树模型－基本思想
1 0.5 0.5
-1 Dt=1
时间跨度：t
E[ZDt ]0 Var[ZDt ]1 E[Zt]tE[ZDt]0 V a r[Z t]tV a r[Z D t]t
基 础 资 产 ： S 0 e r T p S 0 u ( 1 p ) S 0 d
根据衍生证券的类型求其期望终值和现值
衍 生 证 券 ： f 0 e r T p f u ( 1 p )f d
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二叉树模型-参数估计
基础证券波动率，不支 付红利，无风险收益率r
252.29
231.36
424.19 424.19 124.19
356.73 389.00 356.73
300.00
89.00 0
252.29
212.17
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奇异期权
障碍期权，knock－out，B＝ 360
424.19 359.41 59.41
356.73 345.72 322.20
300.00
45.72 22.20
252.29
212.17
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奇异期权
障碍期权，knock－in，B＝ 360
389.00
356.73
327.14
327.14
300.00
300.00
275.11
275.11
212.17
Max(68.64, 66.65)
87.83
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衍生证券的价格－期权
精度分析
欧(美) 式看涨
期权
4期 23.3793
欧式看 跌权
4期 15.4850
B-S模型结果 24.6196
二叉树结果 40期
24.4908
B-S模型结果 16.7253
二叉树结果 40期
16.5965
400期 24.6066
400期 16.7124
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奇异期权
亚式看涨期权
300.00
327.14 275.11
356.73 300.00 252.29
389.00 327.14 275.11 231.36
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当 n时，根据中心极限定理，Z t 趋向于布朗运动
特征1： Dz Dt ε服从标准正态分布
特征2：对任意不同时间间隔Dt，Dz相互独立
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二叉树模型－一般方法
基础证券: S0 衍生证券: f0 ?
基础证券: S0u 衍生证券: fu 基础证券: S0d 衍生证券: fd
如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好程 度无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性世 界中进行分析，所得的结果在真实世界同样成立
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二叉树模型－风险中性定价
风险中性定价的步骤
构建二叉树
p S0u
设定 S0、u、d
1-p S0d
根据基础资产的价格信息求风险中性概率
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Go 18
衍生证券的价格－期权
例子：S0＝300；K＝300；r＝8%； q＝0%；＝
30%；T＝4m
求解思路
把4个月分为4个周期
Dt1m =0.0833y e-rDt=0.9934
设定u＝1/d
ue Dt 1.0905 de Dt 0.9170
e(rq)Dt d
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二叉树模型－风险中性定价
现实世界 VS. 风险中性世界
在一个掷硬币的赌博中，假设硬币完全对称，正面朝 上可以赢得2000元，反面朝上1分钱也收不回，要下 多少钱的赌注人们才会来参加？
公平赌博：结果的预期等于入局前持有的赌注
赌注＝2000×0.5＋0×0.5=1000
风险厌恶者：只愿意在赌注<1000时参加赌 博
风险中性者：愿意参与公平赌博 风险追求者：愿意在赌注>1000时参加赌博
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二叉树模型－风险中性定价
风险中性假设的合理性
资产价格与投资者风险偏好无关 二叉树定价的结果与投资者风险偏好无关
二叉树定价的一般方法:无套利均衡分析 无套利均衡分析:无需假设投资者的风险偏好
356.73
327.14
0.00 327.14
0.00
300.00
5.73
300.00
0.00
300.00
16.87
11.95
0.00
275.11
275.11
29.03
252.29
24.89
252.29
Max(47.71, 45.72)
47.71
231.36
47.71
Max(24.89, 22.90) 68.64
无风险收益率为r，组合终值对应的现值为
(S0uDfu)erT(或(S0dDfd)erT)
组合的成本应该等于其现值
S0D f0 (S0uDfu)erT
f0 S 0 D (S 0 u D fu )e r T
D
fu S0u
fd S0d
衍生证券价格的决定因素：标的资产的当前价格和 未来价格、衍生证券的类型和期限、无风险利率
14.96
275.11
0.00
7.68
252.29
0.00
252.29
0.00
0.00
231.36
f0 ,0 e e 0 rT .0 8 1 3 ( T i0 0 .5 p 1 T 6 ,i9 m 4 a x 1 { 2 f 4 T .1 ,i9 K 4 , 0 ) 0 .5 1 6 9 3 0 .00 0.4 8 3 1 25 16 20. ..7 103 70)
p
0.5169
ud
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衍生证券的价格－期权
欧（美）式看涨期权
389.00
424.19 124.19
356.73
90.99
356.73
327.14
60.71
327.14
56.73
300.00
38.35
300.00
29.13
300.00
23.38
275.11
衍生证券未来价值的期望：pfu＋(1－p)fd
衍生证券的价值是其未来期望价值按无风险利率贴
现得到的现值
基于虚拟概率
p的期望值！
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二叉树模型－一般模型的推广
e rT d p
时基础证券未来的期望价格
ud
E(ST)＝pS0u＋(1－p)S0d
p
S0u
＝pS0 (u－d)＋S0d
基 础 资 产 ： S 0 e r T p S 0 u ( 1 p ) S 0 d
衍 生 证 券 ： f 0 e r T p f u ( 1 p )f d
引入风险中性世界的意义
简化问题的分析
二叉树定价的 风险中性模型
明确模型的经济意义
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S0udT-1, CTT-1pqT-1
S0dT , qT
执行远期和约：ft,i S 0 u t id i K ,t 0 T ,i 0 t 执行看涨期权：f t,i m a x { S 0 u t id i K ,0 } ,t 0 T ,i 0 t 执行看跌期权：f t,i m a x { K S 0 u t id i,0 } ,t 0 T ,i 0 t
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二叉树模型－一般模型的推广
f0S 0D (S 0u D fu)e rT ， D S 0 fu u S fd 0 d 一般模型
f0 e rT p fu (1 p )fd 其中
p
erT d ud
新模型
p : 基础资产价格上升的概率 1-p : 基础资产价格下降的概率
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20பைடு நூலகம்0/3/22
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二叉树模型－简介
John C. Cox，Stephen Ross and Mark Rubinstein. Option Pricing: a Simplified Approach. Journal of Financial Economics, 1979（7）：229-263
组合：买入Δ份基础证券、卖出1份衍生证券
(1) 基础证券价格上升，组合终值：S0uΔ-fu
(2) 基础证券价格下降，组合终值：S0dΔ-fd
当(1)、(2)价值相等时
S0uΔ-fu =S0dΔ-fd
D fu fd S0u S0d
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二叉树模型－一般方法
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衍生证券的价格－期权
欧式看跌期权
300.00 15.49
327.14 5.27
275.11 26.63
356.73 0.00
300.00 10.99
252.29 43.74
389.00 0.00
327.14 0.00
275.11 22.90
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多期二叉树
S0, 1
S0u, p S0d, q
S0u2, p2
S0u3, p3 S0u2d, 3p2q
S0ud, 2pq S0ud2 , 3pq2
S0d2, q2
S0d3 , q3
S0u4, p4 S0u3d , 4p3q S0u2d2 , 6p2q2 S0ud3 , 4pq3
＝ S0erT
1-p S0d
基础证券的价格以无风险利率增长
设定基础证券价格上升的概率等于p就等价于 假设基础证券的收益率等于无风险利率
风险中性世界
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二叉树模型－风险中性定价
风险中性世界（risk-neutral world）
资产收益率：无风险利率 投资者：对风险无所谓的态度 资产价格：期望价值的现值(按无风险利率贴现)