基于小波变换的图像分解与重构编码的实现_韩明华

图 1 部分小波函数
2 小波图像分解与合成及阈值测试 在众多的小波中 , 选择什么样的小波对信号进行分析
是一个至关重要的问题 。因为即使对于同一个问题 , 使用 的小波不同 ,会产生不同的结果 , 这将直接关系到使用小 波分析能否达到的分析的目的 。
haar 小波是小波分析中最早用到的一个正交小波函 数 , 由于它计算简单 ,因此常用于对图像的分析上 。
haar 小波定义为 : 1 0 ≤ x <1/2
g(x)= -1 1/2 ≤ x <1 0 其他
假设现在有一幅分辨率为 8 个像素的一维图像 , 对应 像素值为 :
[ 32 10 9 65 4 6 7 23] 用 haar 小波分解的过程如下[ 2] : (1)计算相邻像素对的平均值(averaging), 得到一幅 只有 4 个像素的新图像 , 该图像分辨率为原图像的 1/2 , 其像素值为[ 21 37 5 15] 。 (2)计 算差 值(differe nce)。经过 平均 值 的计 算 所得 到 的新图像由于只有 4 个像素 ,造成图像信息的部分丢失 , 要想从 4 个像素组成的图像重构出 8 个像素的原图像 , 就 需要把每个像素对的第一个像素值减去该像素对的平均 值 , 该平均值称为图像的细节系数(detail coefficient), 作用
摘 要 :在讨论小波分析应用于图像的分解与重构的基础上 , 利用数学软件工具 MA TLAB 6.1 实现了不同阈值下的 haar 和 db9 两种小波的 3 级图像分解和重构, 结果表明, 对于一种小波选取的阈值越大, 重构图像的失真程度越高 。 在相同阈 值下, db9 小波的重构图像质量要略优于 haar 小波 , 但 haar 小波重构图像要比 db9 小波的重构图像小得多, 说明在对图像 质量要求不高的场合 , 采用 haar 小波进行图像压缩是比较有效的。 关键词 :小波分析 ;图像分解与重构编码;阈值 中图分类号 :TN 911.73 文献标识码 :A 文章编号 :1005-3751(2003)11-0125-03
2.Dahongying Vocatio nal Technical College , Ningbo 315175 , China)
Abstract:By discussi ng t he image const ruction and decomposition of w avelet t ransf orm , it uses t he M A TLA B6 .1 w hich realize the image coding of t hree -levels const ruction and decomposit ion based on haar and db9 at diff eren t t hresholds .The results indicate t hat t he greater thresholds , the more dist ortion .To same t hresholds, t he result of db9 is bett er than t hat of haar .It show s that using haar is an effecti ve method under t he si tuat ion not asking good image quality . Key words :w avelet t ransform ;image decomposition and coding of const ruction ;th reshold
这样可以减少计算量 。 具体的做法是进行阈值的设置 , 设 一个阈值 δ,把细节系数中 ≤δ的值置为 0 , 如上例中如果 设阈值为 5 , 经过变换后将得到 :[ -9 .5 0 0 11 0 0 0] , 去 掉了 5 个细节系数 ,在此基础上通过小波逆变换就可得到 重构图像 。
3 小波图像分解与合成的编码实现 以上分析了小波图像分解与合成的过程 , 为了验证图
分是它的低频部分 , 因此对低频部分进行递归分解输出 ,
而去掉图像高频部分就可以得到进一步的分解结果 , 如图 3 所示 。
图 3 多级小波分解示意图
经过小波变换后得到了一系列分辨率不同的图像 ,如 前例就可以得到分辨率为 1 ,2 , 4 , 8 的图像 , 同时通过变换 产生了一些细节系数 ,在图像进行重构时事实上可以去掉 某些细节分量而不会对重构图像的质量产生较大的影响 ,
图 4 用 haar 小波实现真彩图像三级分解图 图像矩阵 每次用 haar 小波分解生 成四个子图 像矩 阵 :低频(粗糙)图像(LL), 水平高频(细节)图像(HL), 垂 直高频 (细 节)图像(LH), 对 角高 频(细节)图 像(HH)。 在对原始图像经过小波变换后就得到了一系列分辨 率不同的图像 , 利用 haar 小波进行图像分解子图像矩阵 随分解级数的增加而呈递减的趋势 ,下一级分解的子图像 矩阵为上一级分解子图像矩阵的一半 。
第
13 卷 第 2003 年 11
11 月
期
Micro微com p机ute r 发De ve展lopm
ent
V
ol.13 N o .11 Nov .2003
基于小波变换的图像分解与重构编码的实现
韩明华1 , 叶如意2
(1.宁波大学 商学院 , 浙江 宁波 315211 ;2.宁波大红鹰职业技术学院 , 浙江 宁波 315175)
0 引 言 小波分析是近十几年来才发展起来的一门新兴学科 ,
它是继 一百 多年前 的 傅 里 叶(F ourie r)分 析 之 后的 一 个 重 大突破 ,近年来小波分析更被广泛地应用到图像处理 、语 音分析 、信号多尺度边缘检测 、医学成像与诊断 、计算机视 觉 、计算机图形等众多领域 。
在数学上 , 小波被定义为在有限间隔而且其平均值为 零的一种函数 , 具有有限的持续时间和突变的频率和振 幅 。小波分析方法则是一种窗口面积固定但其形状可改 变 、时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法 。 在小波分析应用的众多领域 ,图像处理是小波变换应用较 多的领域之一 。图像处理是图像的数值表示 , 例如 , 对于 一个黑白图像来说 , 它是一个二元函数 ;而对于一幅彩色 图来说 ,它则是一个二元向量值函数 。 小波分析应用于图 像处理 ,主要包括 :编码 、量化与压缩 、识别与诊断 、分解与 重构 、消噪等等 。
1 a2
< f , ga, b
>ga , b(x)dadb
傅里叶变换可以在变换后将不同频率分量分离 ,即频
率的局部化 ,但却缺乏时间/空间局部化的能力 。而小波
变换不仅具有频率局部化的特点 , 还具有时间局部化的特
点 , 也就是说在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的
时间分辨率 ,而在高频部分具有较高的时间分辨率和较低
Realization of Image Decomposition and Coding of Construction Based on Wavelet Transform
HAN Ming-hua1 , YE Ru-yi2
(1.Institute of Commerce , Ningbo U niversity , Ningbo 315211, China ;
是为了在图像重构时找回丢失的信息 。经过(1)、(2)步的 计算 , 原图像可表示为 :[ 21 37 5 15 11 -28 -1 -8] 。
(3)第一层变换得到的图像重复步骤(1)、(2), 进行进 一步分解 ,过程如表 1 所示 。
表 1 haar 小波 变换过程
分辨率 8 4 2 1
平均值 [ 32 2 8 64 4 6 7 23]
· 12 6 · 微 机 发 展 第 13 卷
W {f (x)}=W f (a , b)=<f , ga, b >=
·g
x -b a
dx
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其反变换(重构)公式为 :
∫ 1
|a
|·
f (x)
g
∫∫ f
(x
)=
1 Cg
R′ R
1 小波变换
小波函数是对给定函数局部化的函数 ,它是由某个基
本小波 ψ(x)经伸缩和平移得来的 。
对于实函数 g(x)∈ L2(R )(L2(R)是在平方可积 的实数空间), g(x)的傅里叶变换为 G(ω), 若傅里叶变
换 G(ω)满足条件 :
∫ Cg =
g
|G(ω)|2 |ω|
d ω< ∞
则称 g(x)为一个基本小波 , 对基小波 g(x)进行平
对于一幅 2 —D 图像 , 可以把它看成由许多像素值组 成的二维矩阵 , 对这个图像进行 haar 小波分解时 , 考虑到 haar 矩阵是正交矩阵 , 具可分离变换性质 , 因此对于二维 的像素矩阵 , 可由连续 2 次运用一维的 haar 小波变换来 实现 , 即对像素矩阵的每一行计算相邻像素对的平均值和 差值作变换 , 对其每一列也作同样的变换可得二维 haar 小波变换 。同时根据行列变换次序 haar 小波变换又可分 为标准分解和非标准分解 。如果先行变换再列变换则称 为标准分解 ;行和列像素值进行交替变换则称为非标准分 解[ 3] 。
移和伸缩后就可以得到一个小波序列 :
ga , b (x)=|a |12 ＊g
x -b a
其中 , a 为进行缩放的缩放参数 , 它决定了某个小波
基函数的宽度 ;b 为进行平移的平移参数 , 它决定了小波 函数沿 x 轴的平移位置[ 1] 。对于任意函数 f (x)以小波
g(x)为基的连续小波变换定义为函数 f(x)和 ga, b(x) 的内积 , 为 :
收稿日期 :2003 -04 -12 作者简介 :韩明华(1973 —), 女 , 陕西西 安人 , 宁波 大学商学 院讲师 , 硕士研究生 , 主要从事信息管理及电子商务等方面的研究 。
文中主要讨论了 haar 小波应用于图像分解与重构 , 在此基础上提出了利用 haar 小波进行三级图像分解和重 构的编码的实现 。
经过一次 haar 小波变换得到图 像 的低 频 分 量 (L L )、高 频 的 水 平 边 缘分量(HL)、垂直边缘分量(LH)和 对角边缘分量(HH)值 , 如图 2 所示 。
图中左上角是原始图像在低分
辨率的一个 近似 , 是一个低 频子图
像 ,其余部分都是不同分辨率的高频 子图像 , 对一幅图像而言最主要的部 图 2 一级小波分解
的频率分辨率 。小波变换更符合低频信号变化缓慢 、高频 信号变化迅速的特点 , 因而具有更好的时频窗口特性[ 2] 。
小波分析所用到的小波函数并不是惟一的 ,而是具有
多样性的特点 。 因而形成了众多的小波基函数 , 如 haar
小波 、dbN 小波系 、Meyer 小波系 、coifN 小波系 、symN 小 波系等 ,如图 1 所示[ 2] 。
[ 21 37 5 15] [ 29 10] [ 19 .5]
细节系数
[ 11 -28 -1 -8] [ -8 -5 11 -28 -1 -8] [ -9.5 -8 -5 11 -28 -1 -8]
经过上述变换后 , 原先具有 8 个像素的图像可由[ 9 .5 -8 -5 11 -28 -1 -8] 表示 ,其中第一个数表示整 个像素值的平均值 , 后 7 个数代表细节系数 , 这个过程称 为 haar 小波分解 。对于像素值为[ 32 10 9 65 4 6 7 23] 的 图像 , 可作 3 层的分解 。
像压缩与重构的效果 , 使用数学软件工具 MATLAB 6 .1 设计了 3 级小波变换和重构图像程序 :
function [ ] =change() 并以分辨率为 256 ×256 的 PNG 真彩色照片作为测 试图像 ,并取阈值 δ分别为 0 , 5 , 10 , 20 , 30 和 50 , 以 haar 小波完成图像分解 和重构过程 。 该程序可 对 MAT LAB 所支持的 bmp , jpg , pcx , png , tif 等图像格式进行处理 , 并 且对于其他小波(如 dbN 小波)也同样适用 。 分解过程如 图 4 所示 。