系统动力学第3讲_

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经典碰撞理论是在球状刚体碰撞实验中建立的，其理论还有待进一步 完善 从碰撞前后的速度、冲量、能量损失等出发，对恢复系数有不同的理 解和定义形式； 对碰撞过程中含摩擦的多体动力学建模将更为复杂，Kane在将这一理 论推广到处理一般性物体的碰撞问题时发现某些系统碰撞后的动能大 于碰撞前的动能，导致系统能量的增加，即所谓Kane动力学之谜； 经典碰撞理论是在一系列简化假定基础上建立的，将其原封不动地引 入含间隙多体系统动力学模型是有缺陷的，特别是对于非线性较强的 柔性系统，经典假设“碰撞过程瞬间完成，碰撞物体均作为刚体”不 能满足。
分离状态
接触状态
接触变形阶段：
Mq + Kq + Φ q T λ = Q + F g Φ (q, t ) = 0
Fg－－接触力
轴孔 分离状态 接触状态
销轴
F
相对于广义坐标 q 的广义力列阵
接触变形模式的动力学模型
－－碰撞接触力的处理 －－
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两构件接触变形，产生一个接触区，存在法向接触力、切 向接触力和阻力矩。 法向接触力可以采用接触力学理论确定，由于其模型复杂， 常简化为弹簧阻尼力表征； 切向接触力包括摩擦力（切向变形产生的接触力）和切向 阻尼力。 对于两接触体之间有滚动、旋转运动，还存在阻力矩，常 常表现为摩擦力矩。
M v(i ) = v Fn(i )
M v(i ) －接触点i处的等效滚动摩擦力矩
旋转摩擦力矩： 旋转摩擦力矩
( M ωi ) = ω ( Fn( i ) ) nω
v －滚动摩擦系数
(i M ω ) －接触点i处的等效转动摩擦力矩
n ω －幂指数 ω －转动摩擦系数
接触变形模式的动力学模型
－－运动模式识别方程 －－
第三讲 运动副精确建模
讲授内容
一、含间隙机构动力学研究背景 二、间隙模型 三、含间隙机械系统动力学模型 四、含间隙机构运动方程的数值解法 五、含间隙可展机构动力学模拟举例
一、含间隙机构动力学研究背景
连接铰间隙的概念
由于制造工艺和装配误差的原因，铰间间隙难以避免 为确保运动副的灵活性和重复性，必然存在间隙
则在该时间间隔内 [t t , t ] 至少存在一个切换点。 数值解算时，给定一个小的正数 S (q (t ), t ) ≤ ε
ε
，当满足
则认为时刻 t 为拓扑结构切换点。
接触变形模式的动力学模型
－－运动模式识别方程 －－
考察球铰或平面旋转铰（假定轴线不偏斜），设Pi和Pj分别为轴销i 和孔体j的轴心点，其相对位置矢量 d ij 为：
Fn = K n δ e + C (δ )δ
Fn －－接触点处法向接触力 K n －－等效接触刚度
C (δ ) －－与有关的阻尼因子
e －－幂指数
e ≥1
δ δ
－－接触点处法向穿透深度 －－接触点处法向相对速度 可通过对 K n 、 C (δ ) 和 e 的取值 得到不同类型的间隙模型
接触变形模式的动力学模型
含间隙机械系统动力学建模中的关键问题
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间隙铰内碰撞过程的处理 间隙内碰撞模型与多体系统动力学模型的集成。
二、间隙铰模型
销轴自由运动受到孔体空间的限制，一般会产生内碰撞。 销轴自由运动受到孔体空间的限制，一般会产生内碰撞。 根据运动副元素（轴销与孔体）相对运动关系的不同假设， 根据运动副元素（轴销与孔体）相对运动关系的不同假设，间 隙模型主要分四类： 隙模型主要分四类： 1. 连续接触模型 2. 有限元模型 3. 经典碰撞模型 4. 接触变形模型
经典碰撞模式的动力学模型 经典碰撞模式的动力学模型
在间隙铰的销轴与孔体接触前，系统动力学方程可表达为
自由运动
(1)
接触
T Mq + Kq + Φ q λ = Q Φ (q, t ) = 0
碰撞
过渡
Φ 式中，q为广义坐标列阵；M、K、 q 和分别为多体系统的广义 质量阵、刚度阵、约束方程的雅可比阵和广义速度二次项及广 义力阵； λ 为Lagrange乘子列阵。 约束方程:
C2
C2 B1 B2 C1
C1 B1 B2
A2 A1 D1 D2
A2
A1
D1
D2
带铰间隙四杆机构
机构等效模型
有限元模型
间隙有限元模型需建立碰撞体接触后的准确动边界条件， 采用弹塑性有限元方法全面求解两物体的碰撞－接触变形过程。 这种建模方法可以得到碰撞体间作用力随时间和随空间的分布 规律。 但这种模型复杂，计算量较大，加之其处理刚体大位移的 局限性，目前还难以用于对复杂多体机械系统动力学数值模拟。
自由运动
接触
碰撞
过渡
接触变形模型
接触变形模型考虑精细的碰撞过程，采用无惯性的弹簧和阻尼器描述碰 撞体的变形和能量损失，目前一般采用Dubowsky等提出的“碰撞铰”模型。 此类模型需要构造接触体力－变形位移关系，由Hertz提出的静态接触 问题经典描述被多数研究者所采用，能量耗散一般考虑变形位移和变形速度 的综合作用。对于接触面较小的碰撞，此种模型比较适用。
Φ (q, t ) = 0
经典碰撞模式的动力学模型 经典碰撞模式的动力学模型
碰撞时的系统动力学方程： 碰撞时的系统动力学方程：
自由运动
接触
碰撞
过渡
若间隙铰元素产生碰撞，考虑碰撞前后碰撞体有速度“阶跃”和能量 损失，需根据广义冲量－动量定理确定系统反力的广义冲量和系统速度突 变。假定两体碰撞时是刚性的，在 t i < t < t i+ 极短的时间区间内产生碰撞， [t i碰撞前后系统位形保持不变，即系统的各广义坐标未发生变 , ti+ ] 且在 化， q(t ) = q(t + )。 i i 碰撞时的系统动力学方程：
P = Lim ∫ F (t )dt t →0 t
i
t+ i
i
F(t)－－间隙铰碰撞力
S (q, t ) －－碰撞点间的距离列阵
经典碰撞模式的动力学模型 经典碰撞模式的动力学模型
对上述方程数值求解，可求出广义速度增量和碰 撞冲量，得到碰撞后的初始状态。
经典碰撞模式的动力学模型的缺陷 经典碰撞模式的动力学模型的缺陷
经典碰撞模型
假定： 组成间隙铰的销轴与孔体是刚性的 碰撞瞬时完成，在碰撞前后碰撞体有速度“阶跃”和能量损失 采用动量定理和恢复系数计算碰撞分离后的动量分配。 这种间隙铰模型不考虑碰撞过程细节，是一种刚性碰撞模型，不能计 算实际的碰撞载荷大小，只能采用反作用力冲量衡量冲击造成的严重程度。
含间隙转动副 运动的三个状 态
一、含间隙机构动力学研究背景
桁架式展开机构、太阳能帆板、对接机构、锁定机构等
一、含间隙机构动力学研究背景
由于连接铰间隙导致的工程问题举例
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1997年5月，我国发射的东三通信卫星由于铰关节间隙的 存在，出现颤振 1999年2月，俄国宇航员在太空中未展开一面巨大的太空 镜子，使“人造月亮计划”失败 1990年，美国Hubble太空望远镜入轨后，因太阳能帆板连 接处存在间隙再加之昼夜温差的影响而导致帆板的“卡死 －滑动”周期性运动 ，使其不能精确定位
接触变形模式的动力学模型
－－碰撞接触力的处理 －－
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目前，按法向接触力描述可将间隙模型归结为三种类型： 基于Dubowsky线性化处理的碰撞铰模型 基于Hertz接触理论的接触模型 基于非线性的弹簧阻尼模型 等效弹簧-阻尼模型广义形式 等效弹簧 阻尼模型广义形式可表示为 阻尼模型广义形式
分离状态
接触状态
两状态模型
轴孔 分离状态 接触状态
销轴
三、含间隙机械系统动力学模型பைடு நூலகம்
经典碰撞模式 接触变形模式
分离状态
自由运动
接触
接触状态
轴孔 分离状态 接触状态
销轴
碰撞
过渡
1. 经典碰撞模式的动力学模型：着重考察系统动力学的整体行为，不 能预测碰撞过程中铰关节局部接触力的变化历程。 2. 接触变形模式的多体系统动力学模型：考虑了碰撞体间的法向和切 向接触力，以及阻力矩，该模型能够求解系统运动过程中间隙铰轴 销与孔体的碰撞力。
d ij = r i + A i d i r j A j d
j
r i 和 r j 分别为体i和体j的体坐标系在系统惯性坐标系下的位置矢量； j i d i 和 d j分别为点 P 和 P 在体坐标系下的位置矢量； A i 和A j 分别为轴销i和孔体j的局部坐标系与系统惯性坐标系的转换矩阵
矢量 d ij 的方向确定了法向接触力的作用方向 间隙铰k的运动模式识别方程： s k = d ij d ij δ k2 = 0
接触变形模式的动力学模型
由于间隙铰元素间一般为低速内碰撞，可将间隙铰销轴与孔体的接触 －变形－恢复－脱离接触的接触碰撞过程归结为“自由运动－接触变形” 两种状态。当间隙铰两元素碰撞接触时，在碰撞体间引入等效接触力。 自由运行阶段：
T Mq + Kq + Φ q λ = Q Φ (q, t ) = 0
空间机构动力学影响因素 变拓扑结构（自由度变化） 1.变拓扑结构（自由度变化） 2.间隙单边约束 无根、失重、光压、真空、温差等） 3.空间环境(无根、失重、光压、真空、温差等） 碰撞、阻尼、 4.碰撞、阻尼、摩擦等干扰
一、含间隙机构动力学研究背景
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连接间隙导致两种状态：带有摩擦的滑动和空转下 的内撞击。 运动副间隙的接触模型及其碰撞特性是最基本的问 题之一。 含铰接间隙的机构动力学，从力学本质上看是一种 非定常的、含碰撞的、变结构的、非线性的动力学 过程，连接铰间隙是结构非线性和无源阻尼的主要 来源。
Fs －在接触处的静摩擦力与滑移力之差； s －静摩擦系数。
接触变形模式的动力学模型
－－碰撞接触力的处理 －－
考虑两接触体的切向变形，切向接触力 切向接触力： 切向接触力
Fc = K t ε (t )
K t －等效切向接触刚度
滚动摩擦力矩： 滚动摩擦力矩
ε (t )
－接触点的切向局部弹性变形， 当有相对滑动时，为常数
M Φ q H
T Φq 0 0
H T q 0 0 P λ = 0 0 P Ψ
t+ i
q
Pλ
－－广义速度增量列阵
Ψ = (1 + e) Hq(t i )
P = Lim ∫ λdt t →0 t
λ
－－约束反力的广义冲量列阵
P－－广义力的广义冲量列阵
H = S / q
一、含间隙机构动力学研究背景
间隙的危害
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在机构运行期间，间隙不可避免地存在于各活动铰连接处， 活动铰关节元素存在失去接触的现象，待再接触时会产生 碰撞。 间隙使实际机构与理想机构的运动发生偏离，激起系统的 高阶振动，降低了机构运动精度； 间隙内碰撞引起冲击动载荷，影响系统载荷的传递，容易 造成运动副破坏和失效。
对间隙铰轴销与孔体的“分离－接触”过程的切换点不能提前 预知，可由间隙铰两接触体对应点的相对位置监测系统运行状态。 设 S (q(t t ), t t ) 和 S (q(t ), t ) 分别为在 t t 和 t 时刻的间隙铰销轴 与孔体欲接触对应点的相对位置列阵，若满足
S (q (t ), t ) T S (q (t t ), t t ) < 0
连续接触模型
1.
早期：连续接触模式。 早期：连续接触模式。
假定运动副元素始终处于连续接触状态 忽略运动副元素的微小变形和运动副间的摩擦力 将间隙视为无质量的刚性杆－间隙杆， 将间隙视为无质量的刚性杆－间隙杆，将原来的含间隙机构转化为多杆无间 隙机构。 隙机构。 优点：建模方法简单，易于计算。 优点：建模方法简单，易于计算。 缺点：没有考虑运动副的刚度、阻尼、摩擦系数和恢复系数， 缺点：没有考虑运动副的刚度、阻尼、摩擦系数和恢复系数，难以描述运动 副元素间的动力学特性，以及碰撞对系统动力学的影响。 副元素间的动力学特性，以及碰撞对系统动力学的影响。
－－碰撞接触力的处理 －－
两体切向运动分为两种情况：相对滑动和粘滞。 当间隙铰构件碰撞接触后在接触区的切平面内运动状态为接触滑移模 式时，摩擦模型可选择库仑摩擦定律，即滑动摩擦力与正压力成正比， 其方向与相对滑移速度方向相反， 滑动摩擦力: F = F sgn(v) v ( q , q, t ) ≠ 0
f d n
F f －接触处滑动摩擦力； d －动摩擦系数； v(q, q, t ) －接触点处的相对滑移速度。
当间隙铰构件碰撞接触后在接触区的切平面内运动状态为接触静止模式时， Fc 切向接触力 小于最大静摩擦力。 存在静摩擦力： Fs = s Fn Fc > 0 v(q, q, t ) = 0